一次函数知识点总结.docx
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一次函数知识点总结
v变量和函数
1、变量：
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
例如：
y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：
y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1
3、定义域：
一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数取值范围的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义
v函数的表示方法
1、三种表示方法
列表法：
一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
公式法：
即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：
形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2、列表法：
列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）
3、公式法：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。
用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
4、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）
第一步：
列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
v一次函数性质、图像
1、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：
一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数
k（称为斜率）表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度，b称为截距
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
（1）解析式：
y=kx+b（k、b是常数，k0）必过点：
（0，b）和（-，0）
（3）走向：
依据k、b的值分类判断，见下图
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：
|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移：
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
（上加下减，左加右减）
（7）b的正、负决定直线与y轴交点的位置
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数
2、正比例函数性质：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：
正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零
（1）解析式：
y=kx（k是常数，k≠0）必过点：
（0，0）、（1，k）
（2）走向：
k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
（3）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（4）倾斜度：
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：
经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：
是先选取它与两坐标轴的交点：
（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
4、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）.上加下减，左加右减
5、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：
k1=k2且b1b2
（2）两直线相交：
k1k2
（3）两直线重合：
k1=k2且b1=b2（4）两直线垂直：
即k1﹒k2=-1
（5）两直线交于y轴上同一点:
b1=b2
v用待定系数法确定一次函数解析式
1、一般步骤（一设二代三解四还原）：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
2、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：
当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
3、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：
当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
4、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
5、关于点的距离的问题
方法：
点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；
任意两点的距离为；
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
点到原点之间的距离为
6、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.
直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=
7、对称性：
若直线与直线关于
（1）x轴对称，则直线l的解析式为
（2）y轴对称，则直线l的解析式为
（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为
（4）直线对称，则直线l的解析式为
（5）原点对称，则直线l的解析式为
基础篇
一、填空题
1、在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、下列函数
（1）y=πx
（2）y=2x-1（3）y=（4）y=2-1-3x（5）y=x2-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
3、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）
A．y=B．y=C．y=D．y=·
4、函数中自变量x的取值范围是___________.
5、已知函数，当时，y的取值范围是（）
A.B.C.D.
6、正比例函数，当m时，y随x的增大而增大.
7、若是正比例函数，则b的值是（）
A.0B.C.D.
8、若关于x的函数是一次函数，则m=，n=.
9、当k_____________时，是一次函数；
10、若函数是正比例函数，则k的值为_______.
11、已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_______.
12、当m=_______时，函数是一次函数.
13、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为_______.
14、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______.
15、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是_______.
16、某商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润，下表体现了其数量x（个）与售价y（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是_______________。
数量x（个）
1
2
3
4
5
售价y（元）
8+0.2
16+0.4
24+0.6
32+0.8
40+1.0
二、选择题
1、下面哪个点在函数y=x+1的图象上（）
A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，0）D．（-2，0）
2、下列函数中，y是x的正比例函数的是（）
A．y=2x-1B．y=C．y=2x2D．y=-2x+1
3、一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）
A．一、二、三B．二、三、四
C．一、二、四D．一、三、四
4、若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）
A．k>3B．05、已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）
A．y=-x-2B．y=-x-6C．y=-x+10D．y=-x-1
6、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（）
7、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车
耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）
8、一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为（）
A．y=-2x+3B．y=-3x+2C．y=3x-2D．y=x-3
9、一次函数y=kx+b满足kb>0且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
10、一次函数y=ax+b，若a+b=1，则它的图象必经过点（）
A、（-1,-1）B、（-1,1）C、（1,-1）D、（1,1）
三、解答题
1、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。
2、已知一次函数
（1）当m取何值时，y随x的增大而减小？
（2）当m取何值时，函数的图象过原点？
3．根据下列条件，确定函数关系式：
（1）y与x成正比，且当x=9时，y=16；
（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．
4、已知y+2与x-1成正比例，且x=3时y=4。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y=1时，求x的值。
5、一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，
相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
6、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，
相应的函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数的解析式。
7、已知y=，其中=（k≠0的常数），与成正比例，求证y与x也成正比例。
8、一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，
这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，
问他一共带了多少千克土豆？
9、如图所示的折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象
（1）写出y与t之间的函数关系式．
（2）通话2分钟应付通话费多少元？
通话7分钟呢？
10、某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（L）与工作
时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）一箱油可供拖位机工作几小时？
提高篇
一、填空题
1、若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．
2、已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．
3、若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）
4、已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组的解是________．
5、已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为。
6、若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________.
7、当m 时，函数y=（m－2）+5是一次函数，此时函数解析式为 。
8、已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为.
9、一次函数的图象过点和两点，且，则，的取值范围是.
10、为时，直线与直线的交点在轴上.
二、选择题
1、已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=－x+2上，则y1、y2大小关系是（）
A.y1>y2B.y1=y2C.y12、若直线y=3x－1与y=x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．
A.k1D.k>1或k<
3、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（）．
A．6B．12C．3D．24
4、已知一次函数与的图像都经过，且与轴分别交于点B，，则的面积为（）
A．4B．5C．6 D．7
5、三峡工程在2003年6月1日至2003年6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h（米）随时间t（天）变化的是：
（）
6、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：
甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a7、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）
2
4
200
0
400
t/h
S/km
2
4
200
0
400
t/h
S/km
2
4
200
0
400
t/h
S/km
2
4
200
0
400
t/h
S/km
ABCD
三、解答题
1、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。
2、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?
请你设计出来；
（2）生产A、B两种产品获总利润是y（元），其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明
（1）中的哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
3、有两条直线，，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－2），学生乙因把c抄错了而解出它们的交点坐标为，求这两条直线解析式
4、如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图像都经过点P（a，1），且一次函数图像与y轴交于Q点。
（1）求a、b的值；
（2）求△PQO的面积。
5、已知:
一次函数的图象与正比例函数Y=－X平行，且通过点（0,4）,
（1）求一次函数的解析式.
（2）若点M（－8,m）和N（n,5）在一次函数的图象上，求m，n的值
6、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）
路程/千米
运费（元/吨、千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
（1）设甲库运往A地水泥吨，求总运费（元）关于（吨）的函数关系式，画出它的图象（草图）.
（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？
最省的总运费是多少？
7、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数的解析式
中考篇
一、选择题
1、（四川宜宾）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相等
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
2、（黑龙江龙东·3分）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
3、（湖北黄石·3分）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4、（湖北荆门·3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
5、（内蒙古包头·3分）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0）C．（﹣，0） D．（﹣，0）
6、（陕西·3分）已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7、（湖北武汉·3分）将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为_________．
8、（四川眉山·3分）若函数y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 二、四 象限．
9、（重庆市B卷·4分）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 120 秒．
10、（江西·6分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
11、（2016·四川泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
12、（湖北荆门·12分）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元
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