7第6讲双曲线.docx

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7第6讲双曲线

第6讲双曲线

1.双曲线定义

平面内与两个定点Fi,

〈知识理》

F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|FiF2|）的点的轨迹叫做双

曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P={M||MFi|—|MF2||=2a},|FiF2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.

（1）当2a<|FiF2l时,P点的轨迹是双曲线.

（2）当2a=IFiHl时,P点的轨迹是两条射线.

⑶当2a>|FiF2|时,P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

X2y2孑-?

=1

—22

却-1

（a>0,b>0）

（a>0,b>0）

r,

ft

甘*

I

范围

x>a或xw—a,y€R

yw—a或y>a,x€R

对称性

对称轴：

坐标轴，对称中心：

原点

顶点

Ai（—a,0）,A2（a,0）

Ai（0,—a）,A2（O,a）

渐近线

离心率

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段B1B2

叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实

轴长，b叫做双曲线的半虚轴长

a、b、c

的关系

c2=a2+b2（c>a>0,c>b>0）

3.等轴双曲线及性质

（1）等轴双曲线：

实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作:

X2—y2=X炉0）.

（2）等轴双曲线？

离心率e=U2?

两条渐近线y=±（相互垂直.

关注双曲线的几个常用结论

1•双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2.若P是双曲线右支上一点，Fi,F2分别为双曲线的左、右焦点，贝y|PF1|min=a+c,|PF2|min=C—a.

3•同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为=，异支的弦中

a

最短的为实轴，其长为2a.

4.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点，其中A,B关于原点对称，直线PA,PB

b2

斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为孑

1

则SAPFiF2=b2—，其中0为/FiPF2.

e

tan^

<诊断自测？

O判断正误（正确的打“V”，错误的打“X”）

（1）平面内到点Fi（0,4）,F2（O,—4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（）

⑵椭圆的离心率e€（0,1），双曲线的离心率e€（1,

22

⑶方程m—n=1（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线.

（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于72.（

答案：

（1）X

（2）V（3）X（4）V

S（教材习题改编）双曲线2x2—y2=8的实轴长是

B.

D.4迈

2

弋=1,故实轴长为4.

2^2

C.4

2

解析：

选C.双曲线2x2-y2=8的标准方程为；-

®（教材习题改编）双曲线方程X2—2y2=1，则它的右焦点坐标为（）

A.俘,。

）漕

D.（V3,0）

22

解析：

选C.因为原方程可化为V—y—1,

11

2

所以a2—1,b2—1，所以c2—a2+b2—舟，所以右焦点坐标为徑,0）

22

0若方程J—1表示双曲线，则m的取值范围是•

2+mm+1

22

解析:

因为方程一一一—1表示双曲线，所以（2+m）（m+1）>0，即卩m>—1或m<

2+mm+1

-2.

答案:

m>—1或m<—2

22

P是双曲线16—20—1上一点，F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|—9,

则|PF2|=

解析：

由题意知PFi|=9

答案：

17

22

@以椭圆X+y-—1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为

43

2

解析：

设要求的双曲线方程为X2—

a

222

¥=1（a>0,b>0），由椭圆X+"3—1,得焦点为（±,

0）,顶点为（±,0）•

所以双曲线的顶点为（±,0），焦点为（±,0）.

所以a—1,c—2,所以b2—c2—a2—3,

所以双曲线标准方程为

2答案：

x2—3—1

双曲线的定义（多维探究）

口角度一利用定义求轨迹方程

已知圆C1：

（X+3）2+y2—1和圆C2：

（X—3）2+y2—9，动圆M同时与圆6及圆

C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为

【解析】如图所示，设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于

|MCi|-|ACi|=|MA|,

|MC2|-|BC2|=|MB|,

因为|MA|=|MB|,所以

|MCi|-|ACi|=|MC2|-|BC2|,

即|MC2|-|MCi|=|BC2|-|ACi|=2，所以点M到两定点Ci、C2的距离的差是常数且小于

CiC2|=6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与Ci

的距离小）,

2

【答案】X2-y=i（xw—i）

8

口角度二利用定义解决“焦点三角形”问题

理2已知Fi,F2为双曲线C:

x2-y2=2的左，右焦点，点P在C上,|PFi|=2|PF2|,则cos/FipF2=

【解析】由双曲线的定义有

|PFi|-|PF2|=|PF2|=2a=2^2,

所以|PFi|=2|PF2|=W2,

则cos/FiPF2=

|PFi|2+|PF2f-|FiF2|2

2|PFi||PF2|

（4返）2+（2问2-423

【答案】3

4

［迁移探究i］（变条件）将本例中的条件“|PFi|=2|PF2|”改为“/FiPF2=60°”，则

△FiPF2的面积是多少？

解：

不妨设点P在双曲线的右支上，则|PFi|-|PF2|=2a=W2,

在^FiPF2中，由余弦定理，得

|PF1|2+|PF2|2—|F1F2|21cos/F1PF2==2,

2|PFi|IPF2I

所以PFi||PF2|=8,

1

所以S^^1PF2=2|PF1|PF2|sin6O°=2V3.

[迁移探究2]（变条件）将本例中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“弗1-PF2=0”，则

△F1PF2的面积是多少？

解：

不妨设点P在双曲线的右支上，则

|PF1|—|PF2|=2a=2返，由于PF1PF2=0,

所以PF1IPF2,所以在△F1PF2中，有

|PFi|2+|PF2|2=|FiF2|2,

即|PFi2+|PF2|2=16,所以|PFi|PF2|=4,

1

所以saF1pf2=2|pf1|pf2|=2.

口角度三利用定义求解最值问题

22

M3若双曲线X4—y=1的左焦点为F,点

P是双曲线右支上的动点，A（1,4），则|PF|

+|FA|的最小值是（）

C.10

D.12

22

【解析】由题意知，双曲线X—12=1的左焦点F的坐标为（一4,0），设双曲线的右

焦点为B，贝yB（4,0），由双曲线的定义知|PF|+|FA|=4+|PB|+|PA|》4+AB|=4+

寸（4-1）2+（0—4）2=4+5=9，当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等

号.

所以|PF|+|PA|的最小值为9.

双曲线定义的应用

（1）判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程.

⑵在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PFi|—|PF2||=2a,运用平方的方法，建立|PFi|与PF2|的关系.

［提醒］在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.

2

i.设双曲线X—y=i的两个焦点为Fi,F2,P是双曲线上的一点，且|PFi|:

|PF2|=3:

4,

8

则^PFiF2的面积等于（）

A.

B.8^3

D.i^/5

i^3

C.8^5

解析：

选C.依题意|FiF2|=6,|PF2|-|PFi|=2,因为|PFi|：

|PF2|=3:

4,所以|PFi|=6,|PF2|

=8，所以等腰三角形PF1F2的面积S=2X8X§2—毎）=8yf5.

2.AABC的顶点A（—5,0）,B（5,0）,△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是.

解析：

如图，△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.

|CE|=|CF|,

|AG|=|AE|=8,|BF|=|BG|=2,

所以|CA|-|CB|=8—2=6.

2

由双曲线方程x2—y=1可知，a=1,c=3,

8

故F（3,0）,Fi（—3,0）.

当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|—|PFi|=2,

所以PF|=|PFi汁2,从而△APF的周长为|AP汁|PF|+|AF|=|AP汁|PFi|+2+AF|.

因为|AF|=p32+（6品2=15为定值,

所以当AP|+|PFi|最小时,

△APF的周长最小.

由图象可知，此时点P在线段AFi与双曲线的交点处（如图

由题意可知直线AF1的方程为y=2寸6x+6^/6,

jy=^/6x+6^/6,由$2V2

[x2-y8=1,

得y2+^6y—96=0，解得y=2*6或y=—级/6（舍去），所以S/apf=S/AFiF—S^PFiF

11

=尹6X6承—[X6X2yJ6=12承.

双曲线的标准方程（师生共研）

2

妙」④（一题多解）

（1）与椭圆x+y2=1共焦点且过点p（2,1）的双曲线方程是（）

22

X2.oX2.

A.4—y=1B.^—y=1

222

尙-Vt1D.x2-Vt1

⑵若双曲线的渐近线方程为y=gx,且经过点（4,73），则双曲线的方程为

222

【解析】

（1）法一：

椭圆7+y2=1的焦点坐标是（±3,0）.设双曲线方程为^2—*=

4ab

2

1（a>0,b>0），所以4—古=1,a2+b2=3,解得a2=2,b2=1，所以所求双曲线方程是专—

y2=1.

⑵法一：

因为双曲线的渐近线方程为y=gx

所以可设双曲线的方程为X2—4y2=20）.

1

法二：

因为渐近线y=-X过点（4,2）,而需<2,

【答案】

（1）B

（2）X^—y2=1

规〕律防需

（1）求双曲线标准方程的答题模板

植擔条件判断双曲蜿的焦点在X轴上.还是在y軸上,还是两个址标轴都有可能規据上述判新设标堆方程*或设出含其他待

完系数的方程

根据已知条件，強立方程（组｝，求出特定系软

（2）

利用待定系数法求双曲线方程的常用方法

②若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的方程可设为

③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为

1（mn<0）.

以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A,O两点（O为坐标原点）,则双曲线C的方程

2.经过点P（3，2羽），Q（—6迄,7）的双曲线的标准方程为

22

答案：

25-75=1

22

xy、22

—+L=1（mn<0）或mx+ny=mn

22

得A5，所以所求双曲线的标准方程为7—y；—1.

520

22

答案：

1-茅1

考点③1

双曲线的几何性质（多维探究）

b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,

S角度一求双曲线的焦点（距）、实、虚轴长页⑥已知离心率为¥的双曲线C：

予-b2=1（a>0,

M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM丄MF2,O为坐标原点，若OMF2=16,则

双曲线的实轴长是（）

B.16

C.84

【解析】由题意知F2（c,0），不妨令点M在渐近线y=上，由题意可知|F2M|=—bC

aV

=b，所以|OM|=#C2—b2=a.由S8MF2=16,可得2ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,|=¥,所以a=8,b=4,c=4寸5，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

【答案】B

口角度二求双曲线的渐近线方程

3HB

（1）（2019武汉调研）已知双曲线C:

mjz-*=1（m>0,n>0）的离心率与椭圆

1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为（）

4x±3y=0

3x±4y=0

B,双曲线左顶点为C,若/ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±3x

【解析】⑴由题意知，椭圆中a=5,b=4,所以椭圆的离心率-后15

所以双曲线的离心率为、=3所以m=3所以双曲线的渐近线方程为y=芈

=±3x,即卩4x±3y=0.故选A.

⑵如图所示，连接OA,OB,

设双曲线a?

-b7=l（a>0,b>0）的焦距为2c（c>0），贝UC（—a,0）,F（—c,0）.

11

由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于X轴对称，则/ACO=/BCO=^/ACB=㊁

X120°=60°.

因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形，所以/AOC=60°

因为FA与圆O切于点A,所以OA丄FA,

在Rt△AOF中，/AFO=90°-/AOF=90°-60°=30。

，所以|OF|=2|OA|,即卩c=2a,

所以b=pc2-a2（2a）2—a2=J3a,

22

故双曲线字—b?

=1（a>0,b>0）的渐近线方程为

y=±bx,l卩y=±3X.

【答案】

（1）A

（2）A

口角度三求双曲线的离心率（或范围）

则双曲线C的离心率为（

D.

V5

B.

A.V2

C.2

B

da/5

【解析】⑴由题意得，双曲线C的渐近线方程为y=±ax,得a=2，又a2+b2=c2,所以心4c2,所以e=a=¥，故选A.

⑵如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为（X—1）+y2=7①，将X2+y2=a2记为

2

②式，①一②得x=a-，则以OF为直径的圆与圆X2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x

c

=0，即e4—4e2+4=0，解得e=72，故选A.

【答案】

（1）A

（2）A

与双曲线几何性质有关问题的解题策略

（1）求双曲线的离心率（或范围）:

依据题设条件，将问题转化为关于a,c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得.

（2）求双曲线的渐近线方程：

依据题设条件，求双曲线中a,b的值或a与b的比值，进

而得出双曲线的渐近线方程.

的方程.

O为坐标原点.若|P0|=|PF|,则^PFO的面积为（）

B.普

D.W2

解析：

选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2=6,所以|OF|=^/6.

又tan/POF=a=¥，所以等腰三角形POF的高h=¥^¥=¥，所以Szpfo=〉｛6

2.（2019四省八校双教研联考）已知Fi,F2是双曲线E的左、右焦点，点P在双曲线E

以|PFi|=273c,由双曲线的定义，可得^3c—2c=2a,所以双曲线E的离心率e=-=

故选D.

的垂线与双曲线交于B,C两点.若AiB丄A2C，则该双曲线的渐近线方程为（

y=爭

解析：

选C.

所以AiB=（c+a,

因为AiBIA2C,所以AiBA2C=0,

b2b2

即（c+a）（c—a）—=0,

即c2—a2—》=0,

b4b2

即-=i.

a

所以b2—与=0，故i,

aa

［基础题组练］

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

k>25，

2

所以k<9”是“方程^―+—J=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.

25—kk—9

解析：

选A.法一：

由题意知，e=a=萌，所以c=75a，所以b=pc2—a2=屆，所以

:

二^/^所以该双曲线的渐近线方程为y=±bx=±7!

x，故选A.

=^3,得a={2,所以该双曲线的渐近线方程为y=拿=±2

X,故选A.

4,则n的取值范围是（）

A.（—1,3）

C.（0,3）

B.（—1,73）

D.（0,V3）

解析：

选A.法一：

由题意可知：

c2=（m2+n）+（3m2—n）=4m2，其中c为半焦距,

所以2c=2X|2m|=4，所以|m|=1,

因为方程冷J——=1表示双曲线,

m+n3m—n

所以（m2+n）（3m2—n）>0,

所以—m'vn<3m2，所以—1

法二：

因为原方程表示双曲线，且焦距为4,

2

l：

m+n>0,

所以｛3m2—n>0,

Im2+n+3m2—n=4,

2

rm+n<0,

或｛3m2—n<0,

1—（3m2—n）—（m2+n）=4,

由①得m2=1,n€（—1,3）.②无解.故选A.

22

4.若双曲线C1：

y—匚

22

8=1与C2：

拿一*=1（a>0,b>0）的渐近线相同，且双曲线C2的

焦距为4近，则b=（

C.6

解析：

选B.由题意得，b=2?

b=2a,C2的焦距2c=4^/5?

c=\/a27b2=2^5?

b=4,

a¥

故选B.

22

5.（一题多解）（2019开封模拟）过双曲线^2—占=1（a>0,b>0）的左焦点ab

x2+y2=a2的切线，切点为E,延长FE交双曲线于点P,若E为线段FP

F（—c,0）作圆O:

的中点，则双曲线

的离心率为（）

A血

B.2

的中点，所以|OE|=JPF'|,又|OE|=a,所以|PF|=2a,根据双曲线的性质，|PF|—|PF'=2a,

222222

所以|PF|=4a，所以|EF|=2a,在Rt△DEF中，|OE|2+|EF|2=|OF|2,即卩a2+4a2=c2，所以e=75，故选A.

法二：

连接OE,因为|OF|=c,|OE|=a,OElEF，所以|EF|=b，设F为双曲线的右焦

点，连接PF',因为O,E分别为线段FF',FP的中点，所以|PF|=2b,|PF'|=2a,所以|PF|

—|PF'=2a，所以b=2a,所以e^J1+

C.2^/3

所以|MN|=V3|OM|=3,故选B.

曲线C的方程为x2-y4=1故选D.

22

&（2019河北邯郸联考）如图，F1,F2是双曲线C:

予—古=1（a>0,b>0）的左、右两个

焦点，若直线y=x与双曲线C交于P,Q两点，且四边形PFiQF2为矩形，则双曲线的离心

率为（

解析：

选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y=x代入双曲线C方程，可得

切线FM（切点为M）,交y轴于点P,若PM=2MF，则双曲线的离心率为（）

C.V3

解析：

选B.设P（0,3m），由PM=2mF，可得点M的坐标为身c,m）因为OM丄PF,

所以m如=—1,所以m2=|c2，所以皿影土寸2”）由|OM|2+|MF|2=OF|2,|OM|=a,3C

of|=C得,a2+gj+号=C2,a2=|c2,所以e=；=芈，故选B.

解析：

选A.由题意可知Fi（—C,0），设A（0，yo），因为A是FiB的中点，所以点B的

2

横坐标为C,又点B在双曲线的右支上，所以B（C，牛）因为直线FiB的倾斜角为30°,所

b!

—02

—a申，化简整理得=申，又b2=C2—a2,所以3c2—3a2—^pac=0,两边

c—（—C）32ac3同时除以a2得3e2—2j3e—3=0,解得e=Q3或e=—誓（舍去），故选A.

2x2

11.已知M（X0,y。

）是双曲线C:

2—y2=1上的一点，F1,F2是双曲线C的两个焦点.若

MFi•MF2

B.16，6丿

D.I3，3丿

A.（-净豹

C（—攀晋）

解析：

选A.由题意知a=寸2,b=1,c=寸3,

设Fi（—逅,0）,F2（V3,0）,

则MFi=（—羽—Xo,—yo）,MF2=（羽一xo,—yo）.

因为MFiMF2<0,

所以（一^/3—xo）（>/3—xo）+y0<0,

即x2—3+y0<0.

因为点M（xo,yo）在双曲线C上,

2

所以号一y0=1,即卩x2=2+2y2,

所以2+2y0—3+y0<0,所以一習<『0<曾.

22

12.（2019四川南充模拟）过双曲线x^—*=1（a>0,b>0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心

率的取值范围为（）

A.（1,迈）

B.（逅心+也）

C.（逅2）

D.（1,问U&2+72,+8）

^2=i（a>0,b>0）的左焦点为Fi（—C,0）,

22

解析：

选D.设双曲线：

x2—

a

222令x=—C,可得y=±a，可设A（—c,b^}B（—c,—号）

2

又设D（0,b）,可得AD=Gb—牛）

22aB=（O,—警）DB=（—c,—b—y

由^ABD为钝角三角形，可得/DAB为钝角或/ADB为钝角.

当/dab为钝角时，可得ADAb<0，即为0—2b•b—7）<0,化为a>b，即有a2>b2=