初三奥数竞赛试题.docx
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初三奥数竞赛试题
初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不
填、多填或错填都得0分）
1•设a「232-；3，则a•1的整数部分为（）
a
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解答】由a2=2•、、322--3■■■：
.2--3•2-3=6，知,6。
（a-）2=62」=8丄，4：
.（a丄）2：
：
9。
a66a
1
因此，a•丄的整数部分为2
a
-6）
（注：
a「十■严二4一云3.•4二「3=31「3"=
v2v2v2v2
2.方程2x•（士）一3的所有实数根之和为（）
A.1B.3C.5D.7【答案】A
【解答】方程2x（」）2=3化为2x（x-2）2x2=3（x-2）2。
x—2
即x3-5x210x-6=0，（x-1）（x2-4x6）=0。
解得x=1o经检验X=1是原方程的根。
•••原方程所有实数根之和为1o
3.如图，A、B、C三点均在二次函数y=x2的图像上，M为线段AC的中点，BM//y轴，且MB=2。
设A、C两点的横坐标分别为t、t2仁2丸），则t27的值为（）
A.3B.2、入C.-2.2D.2.2
【答案】D
22
由BM//y轴，且BM=2,
知B点坐标为（t1匕上色一2）
22
22由点B在抛物线y=x2上，知」_2=（」）2。
22
整理，得2t"・2t；-8•2tit2tf，即仇-ti）2=8。
结合t2-ti，得t2-1|=2'、2o
由D为线段BC的中点，知BD=DCo
又AE二EF，因此，AB二CF=3o
结合AC=7,•ABC=90，利用勾股定理得，BC=2・.10
BC2i10
所以，cos-ACB=
AC7
（Saoab'Saoac）'（Saoab'Saobc）'（Saobc'Saoac）
Saabc
又OA=OB=OC=R=4，
ADBE
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6.记函数y=x2-2x•3（-仁x乞2）的最大值为M，最小值为m，则M•m的值为。
【答案】8
【解答】Ty=x2-2x3=（x-1）22，-仁x乞2，
二x=1时，y取最小值，即m=2;x--1时，y取最大值，即M=6。
Mm=8。
7•已知二次函数y二ax2•bx•c（a0）的图像与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数图像的顶点，AB=2。
若AABC是边长为2的等边三角形，贝Ua二。
【答案】.3
【解答】依题意ax2+bx+c=0有两个不同的实根，设为x1，x2，则A^|x^-x2|=2。
..丄bc
-X1X2，X1X2：
aa
2
二（片一x2）2=（%x2）2—4x^2=（_b）2「4c=-24a^=4，即b2_4ac=4a2。
aaa
又由八获bxcm舟）2吕c，及a0，知-j
.3，即b2-4c=43a「。
8.女口图，在△ABC中，AD为BC边上的高，M
.BAD=/DAM=/MAC。
若AB=2，贝U△ABC内切圆的半径为
【答案】・、3一1
为线段BC的中点，
【解答】依题意，易知D为BM中点，型=丄。
MC2
又AM平分.DAC,
AD=些=1。
结合ad_DC，得.ACD二30
ACMC2
.DAC=60，.BAC二90。
AC=2」3，BC=4。
△ABC内切圆半径为223一4=、、3-1。
2
（第8题）
2
9.若二次函数y=x2•（4a-3）x•3a（a--）的图像与直线
3
y=2-x在y轴左侧恰有
个交点，则符合条件的所有a的值的和为
29
【答案】仝
12
【解答】依题意，关于x的方程有1个负根或者两个相等的负根。
有下列三种情形：
（1）方程有两个相等的负根。
贝q△二（4a-2）--4（3a-2）=0
:
为+x2=_（4a_2）<0，
22
x（4a-3）x3a=2-x，即x（4a-2）x3a-2=0恰
解得心或W。
均满足a_|。
3
因此，a=1，a二空符合要求。
4
（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。
1为％=3&-2=022
则丙2，解得a上。
满足a—2。
i为十x2=—（4a_2）芝033
因此，a二-符合要求。
3
（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。
22
则xix2=3a-2：
：
：
0,解得a上。
不满足a_土。
33
综合
（1）、
（2）、（3）,得符合条件的a的值为1，-，2
43
因此，符合条件的所有a的值的和为1•?
•2=29。
4312
10.若正整数n恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n的正因数中有7个连续整数，则正整数n的最小值为。
【答案】25200
【解答】：
任意连续7个正整数的乘积能被1234567整除，•••n的正因数中必定有22，3，5，7这四个数。
•••正整数n具有形式：
n=2、3：
25：
37：
4L（：
•1，:
2，:
3，:
4为正整数，r_2）由正整数n恰有90个正因数，知^1'1）^2'1）03'1）0-4'1）k=90，其中k为正整数。
而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：
90=2335。
k=1，（:
“1）（：
21）（：
31）（：
41）=90=2335。
n的最小值为2432527=25200，此时n有连续正因数1，2，3，4，5，6，7
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11.求方程x22017y2=2018x的正整数解。
【解答】方程化为x2—2018x•2017y2=0。
将方程视为x的方程，得△=20182-42017y2=4（10092-2017y2）为完全平方数。
5分
•••10092-2017y2为完全平方数。
设10092-2017y2=t2（t为非负整数），贝U10092-t2=2017y2。
（1009-t）（1009t）=2017y2。
•••2017为质数，
2017（1009-t），或2017（1009t）。
10分
又t为非负整数，且t空1009。
t=1009，或t=1008。
15分
y=0（舍去），或y=1o
将y=1代入方程，得x2-2018x•2017=0，解得x=1，或x=1017。
「x=1「x=2017
•••原方程的正整数解为1，或2017o20分
Iy二1Iyi
12.如图，在等腰三角形ABC中，ACB=90,M是边AC的中点，D是边BC上一点,
.BED-AEM-MAE二.DCE。
又EBD二CBE，
△BDEBECo
BC=AC，
BE=CDo15分
（2）由
（1）CE_AD，AC_CD，知△CDEADC，
CEAC
CDAD
结合
（1）中BE=CD，可得些二_CE二匹二匹
ADCDEBDB
ADDB
20分
13•若存在正整数n，p（p6）使得-丿丄3成立，其中
12JI4JI6JIpj
1X1=X-丨x1，Ix1为不超过x的最大整数。
（1）求p的最小值；
（2）当p取最小值时，求使n---U3成立，且n乞2017的正整数n
I2JI4J16JIpJ
的个数。
【解答】
（1）v对任意正整数n,』J，n<3，-<5，-乞上1。
I2J2'[4J4'[6J6'[pfp
n
1
n
3
n
5
2-
，
2-
，
2-
，
2
2
4
4
6
6
n
—o
1212
14.将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。
证明：
（1）对任意正数a，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段；
（2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；
（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？
【解答】
（1）在平面内任作一个边长为a的等边△ABC。
则△ABC的三个顶点A、B、
C中必有两点同色。
所以，存在两端点同色，且长为a的线段。
因此，对任意正数a,无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段。
5分
（2）对任意正数a，如图，设A、D同色，且AD=a（由
（1）知，A、D存在）。
以AD为直径作圆0，设ABCDEF为圆0的内接正
六边形。
若B、C、E、F中存在一点与A、D同色，不妨设点B与A、D同色，贝U△ABD为直角三角形，其中.ABD=90，■ADB=30，且三顶点同色。
10分
若B、C、E、F都与A、D异色，则B、C、E、F四点同色.则△BCE为直角三角形，其中■BCE=90，■CEB=30，且三顶点同色。
因此，无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形。
15分
（3）由
（2）知，对任意正数a,无论如何染色总存在斜边长为a,有一个内角为30，且三个顶点同色的直角三角形。
当a=,82017时，该三角形面积S」（-a）F3a）38—2017=2017。
\V32228V3
因此，无论如何染色，平面上总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形。
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