江苏省青华中学届高三上学期期末数学试题5.docx

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江苏省青华中学届高三上学期期末数学试题5

江苏省青华中学2018届高三上学期期末数学试题（5）

一．填空题：

1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U（M∪N）＝．

2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中具有初级职称的职工为10人，则样本容量为．

3．若抛物线y2＝2px（p>0）的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝．

4．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥MABCD的体积小于的概率为．

5．已知a∈R，若为实数，则a＝．

6．设向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），则“a∥b”是“tanθ＝”的条件．

（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）．

7．已知点P（x，y）的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为．

8．椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于MF2，则椭圆的离心率为．

9．若实数

，

，且

，则

的最小值为．

10．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧

上，

且∠COB＝30°．若

＝λ

＋2μ

，则

＝．

11．设数列{an}的前n项和为Sn，若的值为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”，这个常数称为数列{an}的“吉祥数”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则它的“吉祥数”是．

12．如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝．

13．已知直线x＋y－k＝0（k＞0）与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|

＋

|≥|

|，那么k的取值范围是．

14．若不等式

在实数集R上恒成立，则正整数

的最大值是．

[参考数据：

]

........

二、解答题：

．

15．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（1）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：

C1F∥平面ABE．

16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足＝．

（1）求角C的大小；

（2）设函数f（x）＝cos（2x＋C），将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值．

17．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．

（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠（如图

（1）建立平面直角坐标系），新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？

4

（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠（如图

（2）建立平面直角坐标系），使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

（图1）

（图2）

18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

的左、右焦点分别为

、

，定点A（－2,0），B（2,0）．

（1）若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的范围；

（2）已知点

在椭圆C上．

①求椭圆C的方程；

②记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若

，

．求λ＋μ的值．

19．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*．

（1）求证：

数列为等比数列；

（2）记Sn＝＋＋…＋，若Sn<100，求最大正整数n；

（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？

如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．

20．已知

，

为实数，函数

，函数

．

（1）当

时，令

，若

恒成立，求实数

的取值范围；

（2）当

时，令

，是否存在实数

，使得对于函数

定义域中的任意实数

，均存在实数

，有

成立？

若存在，求出实数

的取值集合；若不存在，请说明理由．

附加题

21．已知矩阵A＝将直线l：

x＋y－1＝0变换成直线l′．

（1）求直线l′的方程；

（2）判断矩阵A是否可逆？

若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A－1；若不可逆，请说明理由．

22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

23．已知f（x）＝（1＋x）m＋（1＋2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．

（1）求x2的系数取最小值时n的值；

（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

24．已知动圆Q过定点M（2,0）且与y轴截得的弦MN的长为4．

（1）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；

（2）已知点P（－2,1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：

在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？

若存在，请求出定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．{1,6}；2．40；3．8；4．；5．－；6．必要不充分；7．2；

8．－1；9.

；10．

；11．

；12．；13．[，2）；14．

．

15．（本小题14分）．

（1）证明：

在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC且AB⊂平面ABC.

所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，

所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE.

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.-------------6分

（2）证明：

取AB中点G，连结EG，FG.

因为E，F分别是A1C1，BC的中点，

所以FG∥AC，且FG＝AC.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1.

所以四边形FGEC1为平行四边形．

所以C1F∥EG.

又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.------------------------14分

16．（本小题14分）．

解：

（1）∵a，b，c是△ABC的内角A，B，C所对的三边，且＝，

∴由正弦定理得＝，

即（sinA－sinB）cosC＝cosBsinC，

即sinAcosC＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin（B＋C）．

∵A＋B＋C＝π，

∴sin（B＋C）＝sinA≠0，

∴cosC＝1，即cosC＝.

∵C是△ABC的内角，

∴C＝.--------------------------------8分

（2）由

（1）可知f（x）＝cos，

g（x）＝f＝cos＝cos（2x－）.

∵0≤x≤，

∴－≤2x－≤，

∴g（x）在

时，（不写扣2分）

最大值为1-----------------------------14分

17．（本小题14分）．

（图1）

解建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为

，由已知点

在抛物线上，得

，所以抛物线的方程为

.

（1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点

，则此时梯形APQB的面积

，

∴

令

，得

，

当

时，

，

单调递增，当

时，

，

单调递减，

所以当

时，

有最大值

，改挖后的水渠的底宽为

m时，可使填土的土方量最少.-----------7分

（图2）

（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图2，设切点

，

则函数在点M处的切线方程为

，

分别令

得

，

所以此时梯形OABC的面积

，当且仅当

时，等号成立，此时

.所以设计改挖后的水渠的底宽为

m时，可使挖土的土方量最少.-------------------14分

18．（本小题16分）．

（1）设点T（x，y），由＝，

得（x＋2）2＋y2＝2[（x＋1）2＋y2]，即x2＋y2＝2.

由得y2＝m2－m，（其中：

m=

）

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2.

所以椭圆的离心率e＝∈.-----------------6分

（2）①椭圆C的方程为

．-----------------10分

②法一：

设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

得

从而

因为＋y＝1，所以＋（λy1）2＝1，

即λ2＋2λ（λ－1）x1＋2（λ－1）2－1＝0.

因为＋y＝1，代入得2λ（λ－1）x1＋3λ2－4λ＋1＝0.

由题意知，λ≠1，故x1＝－，所以x0＝.

同理可得x0＝.

因此＝，所以λ＋μ＝6为定值．--------------16分

法二：

设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线AM的方程为y＝（x＋2），

将y＝（x＋2）代入＋y2＝1，得（x0＋2）2＋yx2＋4yx＋4y－（x0＋2）2＝0（*）．

所以x0x1＝－，所以x1＝－.

同理x2＝.

因为

，

所以λ＋μ＝＋＝＋＝＋＝6，

即λ＋μ＝6为定值．

19．（本小题16分）．

[解]　

（1）因为＝＋，

所以－1＝－.

又因为－1≠0，所以－1≠0（n∈N*）．

所以数列为等比数列．---------------4分

（2）由

（1）可得－1＝·n－1，

所以＝2·n＋1.

Sn＝＋＋…＋＝n＋2

＝n＋2·＝n＋1－，

若Sn<100，则n＋1－<100，

因为函数y=n＋1－单调增，（不写扣2分）

所以最大正整数n的值为99.----------------10分

（3）假设存在，则m＋n＝2s，

（am－1）（an－1）＝（as－1）2，

因为an＝，

所以＝2，

化简得3m＋3n＝2·3s.

因为3m＋3n≥2·＝2·3s，

当且仅当m＝n时等号，又m，s，n互不相等，所以不存在．-------------16分

20．（本小题16分）．

【解】

（1）

（4分）

（2）当a＝－1时，假设存在实数b满足条件，则G（x）＝lnx≥1在x∈（0，1）∪（1，＋∞）上恒成立．（5分）

1）当x∈（0，1）时，G（x）＝lnx≥1可化为（bx＋1－b）lnx－x＋1≤0，

令H（x）＝（bx＋1－b）lnx－x＋1，x∈（0，1），

问题转化为：

H（x）≤0对任意x∈（0，1）恒成立（*）；

则H

（1）＝0，H′（x）＝blnx＋＋b－1，H′

（1）＝0.

令Q（x）＝blnx＋＋b－1，则Q′（x）＝.

①b≤时，因为b（x＋1）－1≤（x＋1）－1<×2－1＝0，

故Q′（x）<0，所以函数y＝Q（x）在x∈（0，1）时单调递减，Q（x）>Q

（1）＝0，

即H′（x）>0，从而函数y＝H（x）在x∈（0，1）时单调递增，

故H（x）

（1）＝0，所以（*）成立，满足题意；（7分）

②当b＞，Q′（x）＝＝，

因为b>，所以－1<1，记I＝∩（0，1），则当x∈I时，x－>0，

故Q′（x）>0，所以函数y＝Q（x）在x∈I时单调递增，Q（x）

（1）＝0，

即H′（x）<0，从而函数y＝H（x）在x∈I时单调递减，所以H（x）>H

（1）＝0，此时（*）不成立；

所以当x∈（0，1），G（x）＝lnx≥1恒成立时，b≤；（9分）

2）当x∈（1，＋∞）时，G（x）＝lnx≥1可化为（bx＋1－b）lnx－x＋1≥0，

令H（x）＝（bx＋1－b）lnx－x＋1，x∈（1，＋∞），问题转化为：

H（x）≥0对任意的x∈（1，＋∞）恒成立（**）；

则H

（1）＝0，H′（x）＝blnx＋＋b－1，H′

（1）＝0.

令Q（x）＝blnx＋＋b－1，则Q′（x）＝.

①b≥时，b（x＋1）－1>2b－1≥×2－1＝0，

故Q′（x）>0，所以函数y＝Q（x）在x∈（1，＋∞）时单调递增，Q（x）>Q

（1）＝0，即H′（x）>0，

从而函数y＝H（x）在x∈（1，＋∞）时单调递增，所以H（x）>H

（1）＝0，此时（**）成立；（11分）

②当b<时，

ⅰ）若b≤0，必有Q′（x）<0，故函数y＝Q（x）在x∈（1，＋∞）上单调递减，

所以Q（x）

（1）＝0，即H′（x）<0，

从而函数y＝H（x）在x∈（1，＋∞）时单调递减，所以H（x）

（1）＝0，此时（**）不成立；（13分）

ⅱ）若01，所以x∈时，Q′（x）＝＝<0，

故函数y＝Q（x）在x∈上单调递减，Q（x）

（1）＝0，即H′（x）<0，

所以函数y＝H（x）在x∈时单调递减，所以H（x）

（1）＝0，此时（**）不成立；

所以当x∈（1，＋∞），G（x）＝lnx≥1恒成立时，b≥.（15分）

综上所述，当x∈（0，1）∪（1，＋∞），G（x）＝lnx≥1恒成立时，b＝，从而实数b的取值集合为.（16分）

数学试题（附加题）

21．解：

（1）在直线l上任取一点P（x0，y0），

设它在矩阵A＝对应的变换作用下变为Q（x，y）．

则＝，∴即

又∵点P（x0，y0）在直线l：

x＋y－1＝0上，∴＋－1＝0，

即直线l′的方程为4x＋y－7＝0.-------------------5分

（2）∵≠0，∴矩阵A可逆．设A－1＝，∴AA－1＝，

∴解得∴A－1＝.-----10分

22．解：

（1）由ρcos＝1得ρ＝1.

从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.-------1分

当θ＝0时，ρ＝2，所以M（2,0）．-------3分

当θ＝时，ρ＝，所以N.----------5分

（2）因为M点的直角坐标为（2,0），N点的直角坐标为.

所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，

所以直线OP的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．-------10分

23．解：

（1）由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，------1分

x2的系数为C＋22C＝＋2n（n－1）

＝＋（11－m）＝2＋.

∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.------4分

（2）由

（1）知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3.

∴f（x）＝（1＋x）5＋（1＋2x）3.

设这时f（x）的展开式为f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，

两式相减得2（a1＋a3＋a5）＝60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.------10分

24．解：

（1）设Q（x，y），根据题意得＝，整理得y2＝4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2＝4x.--------3分

（2）设存在符合题意的定点G.

设直线l的方程为x＝ny＋m（n≠0且n∈R），则G（m,0）．

将x＝m＋ny代入y2＝4x中，整理得y2－4ny－4m＝0.

由题意得Δ＝16n2＋16m>0，即n2＋m>0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4n，y1·y2＝－4m，

kPA＝＝＝，kPB＝，

kPG＝＝－，

由题意得kPA＋kPB＝2kPG，即kPA＋kPB－2kPG＝0，

所以＋＋＝0，

即2（m＋2）y1y2（y1＋y2）＋16（m＋2）（y1＋y2）＋2[（y1＋y2）2－2y1y2]（2－m）＋（y1y2）2－32m＝0，

把y1＋y2＝4n，y1·y2＝－4m代入上式，

整理得（m－2）n＝（m＋2）（2－m），

又因为n∈R，所以解得m＝2，

所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为（2,0）．-------10分