浅谈初中数学的列方程解应用题.docx

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浅谈初中数学的列方程解应用题

乡土教材

浅谈初中数学的列方程解应用题

目录

一、问题的背景：

二列方程的步骤、

三、列方程中的“设元”

四、应用题中的相等关系

五、列方程的一般规律：

一、问题的背景：

应用性试题，是指有实际背景或实际意义的数学问题。

随着课程改革的不断深入，应用性试题所涉及的知识领域越来越广，除了传统的行程、工程、测量、浓度等问题外，还包括具有时代气息的营销决策，生产计划安排，银行存款，租船租车，旅游方案，国民总产值和人口增长率等问题，题目取材于现实生活，情景新颖，立意独特，包含大量的数学知识。

它也是今后中考命题的一个热点问题。

应用题常见的题型有：

方程型应题、不等式型应用题、函数型应用题、统计型应用题、几何型应用题。

而方程应用题是学习其他应用题的基础，学生必须学会列方程解应题。

二列方程的步骤、

1、认真审题：

弄清题意和题中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；

2、找相等关系：

找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；

3、列方程：

根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；

4、解方程：

解所列出的方程，求出未知数的值；

5、答：

根据问题的实际意义，写出答案（包括单位名称）

三、列方程中的“设元”

设元是学生必须掌握的一种技能，也是列方程解应用题的关键步骤之一。

恰当地设元，往往能收到事半功倍的神奇效果。

如何设元，需要根据具体问题的条件确定。

下面通过具体例题简要说明列方程解应用题中常见的四种设元方法。

（一）、直接设元

直接设元，就是将题目中要求的量设为未知元，即问什么设什么。

例1、一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？

解、设这批夹克每件的成本价是x元，根据题意得，

（1+50%）×80%x=60解得x=50答：

略。

（二）、间接设元

所设的量不是所求的，但容易找出符合题意的数量关系，这种把题中要求的量以外的其他量设为未知元的方法，称之为间接设元。

例2甲，乙二人分别后，甲沿着铁轨方向反向而行。

此时，一列火车均速地向甲应面驶来，列车在甲旁驶过，用了15秒；然后在乙身旁开过，用了17秒。

已知两人的步行速度都是3.6千米/时，这列火车有多长？

解设这列火车的速度为X米/秒，根据题意，得（X+1）15=（X-1）17（注：

3.6千米/时＝1米/秒）

解得X＝16

所以（16+1）15＝255（米）答：

略

（三）、辅助设元

辅助设元，也叫设而不求。

有些应用题中隐含一些未知的量，这些量对于求解无直接关系，但如果不知指明这些量的存在，则难以求解。

因此需把这些未知的量设为未知元，以便建立等量关系，称之为辅助设元.

例3某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专长音乐会。

入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的2／3。

若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，公售出团体票数3/5，零售票每张16元，共售出零售票数的一半。

如果在六月份内，团体票按每张16元出售。

那么零售票应按每张多少元定价才能使则两个月的票款收入持平？

解设总票数为A张，六月份零售票应按每张X元定价，依题意，得

2/3A×3/5×12+1/3A×1/2×16=2/3A×2/5×16+1/3A×1/2X

解得X＝19.2

答：

略

例4山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间内流入池塘的水量相同）不停地向池塘中流淌。

现池塘中有一定深度地水，若是一台A型抽水机则1小时后正好把池塘中地水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中地水抽完，若用3台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好能把池塘中水抽完？

解：

设泉水每分钟流进池塘里地水X立方米，每台抽水机每分钟抽水Y立方米，池塘中原存水Z立方米，三台抽水机抽完池塘中水需要T分钟，根据题意得：

60X=Z①

60Y-2×20Y-20X=Z②

3TY-TX=Z③

-

得Ｙ＝2Ｘ

将

代入

得Z=60X

将

代入

得Z=12

即用三台A型抽水机同时抽，需要12分钟可把池塘中的水抽完。

（四）、整体设元

有些应用题未知量太多，而已知关系又太少，如果某一部分未知量存在一个整体关系，则可设这一部分为一个未知元，这样就减少了设元的个数，称为整体设元。

例5、有一个六位数，后三位数是857，将这个六位数乘以6以后，恰好前三位数与后三位数互换位置，求原六位数。

解：

设前三位数为x,则原六位数为1000x+857，根据题意得，

6（1000x+857）=857×1000+x

解这个方程得，x=142

∴原六位数=1000×142+857=142857

答：

略。

例6、古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟丢番图学习数学，有一天他向老师请教一个问题：

有四个数，把其中每三个相加，其和分别为22、24、27、20。

求这个四位数。

解：

设这个四位数之和为x，那么这四个数就分别为X–22，x-24，x-27，x–20，依据题意得

x=（x-22）+（x-24）+（x-27）+（x-20）

解得x=31所以这个四位数是9、7、4、11。

四、应用题中的相等关系

（一）、从关键词语中找等量关系：

在应用题中，等量关系往往通过一定的词语表现出来，所以在审题时，说先要留意描述它的语句。

这种语句，一般含有“是”、“一共”、“比……多”、“比……少”、“是几倍”、“比几倍多几”、“增加了”、“减少了”、“增加到”、“减少到”等词语，很容易找到。

（二）、从各种公式中找等量关系。

如几何形体的周长、面积、体积等公式的本身就表达了等量关系，列方程时经常要用到它。

（三）、从线段图中找等量关系。

有些比较复杂的应用题，不易立即看出等量关系，可以画出线段图帮助寻找。

（四）、从基本数量关系中找等量关系。

有的应用题等量关系比较隐蔽，必须熟悉基本的数量关系才能找到。

（五）、列方程解应用题的主要类型及其数量关系：

1、行程问题

基本关系：

路程＝速度×时间

基本类型：

直线型的相遇问题、追及问题、航行问题，环形问题。

常用的相等关系：

（1）、相遇问题：

同时不同地相向而行：

两者路程和＝两地距离；

两者所用时间相等

不同时不同地相向而行：

两者路程和＝两地距离

两者所用时间之差＝先行者先行时间

（2）、追及问题：

同时不同地：

快者路程＝慢者路程＋两地距离

快者时间＝慢者时间

同地不同时：

快者路程＝慢者路程

快者时间＝慢者时间－慢者先行时间

（3）、航行问题：

顺水速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度

（4）、环形问题：

同时同地同向而行：

第一次相遇：

快者路程－慢者路程＝环形周长；第二次相遇：

快者路程－慢者路程＝2个环行路长

同时同地背向而行：

同时同地同向而行：

第一次相遇：

快者路程＋慢者路程＝环形周长。

2、工程问题：

基本关系：

工作量＝工作效率×工作时间

相等关系：

各队工作量的和＝全部工作量

3、利润问题

相等关系：

利润＝售价－进价；利润＝利润率×进价

售价＝标价×打折数

4、年龄问题：

这类问题应抓住两个关键：

（1）两者年龄之差是一个不变量；

（2）两者增长的年龄数相同。

5、数字问题

此类问题多采用间接设元，注意数位上的数字关系和含数位的数字关系的不同。

6、比例问题：

比例问题多采用间接设元，例如三角形周长是60，三边之比是3：

4：

5，求三边之长。

可设三边长为3x、4x、5x。

列方程为3x+4x+5x＝60,使问题得到解决。

7、配套问题:

甲工件的数量=乙工件数量的几倍

8、单位面积产量、总面积和总产量的关系。

单位面积产量×总面积=总产量

9、单价、数量和总价的关系。

单价×数量=总价

10、每份数、份数和总数的关系。

每份数×份数=总数

11、大数、小数和相差数的关系

大数＋小数=相差数

12、部分和总数的关系。

一部分＋另一部分=总数

五、列方程的一般规律：

列方程解应用题是初中代数的重点内容之一，其关键是根据题意列出方程，而列方程的关键是寻找题目中的相等关系。

应用题中的相等关系看似纷杂无绪，但归结起来不外乎两类：

一类是题目中涉及的基本的相等关系，一类是题目中蕴含的特殊的相等关系；它们各有用途，前者一般用于寻找列方程需要的代数式，后者则多运用于设未知数和列出方程。

以上是列一元一次方程的办法。

（一般地、有几个特殊等量关系，就能列几个方程，组成方程组。

）

例1、（2006年、南京）某停车场的收费标准如下：

中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，现在停车场有50辆中小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中小汽车各有多少辆？

分析：

本题的基本等量关系是：

总价＝单价×数量，特殊等量关系是：

①中型车数+小型车数＝50辆，②中型车收费+小型车收费＝230元。

用特殊等量关系①设未知数：

设中型汽车有X辆，则小型汽车有（50-X）辆。

用特殊等量关系②列方程：

中型车收费+小型车收费＝230，并用基本等量关系表示列方程所需的代数式：

中型车收费6X元，小型车收费4（50-X）元，则所列方程为6X+4（50-X）＝230

例2、某校举办的珠球比赛中规定：

胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

某班足球队参加了12场比赛，共得22分。

已知这个足球队输了2场，那么这个足球队胜了几场？

负了几场？

分析：

本题的基本等量关系是：

应得分数＝比赛场数×每场得分。

特殊等量关系是：

①胜的场数+平的场数+负的场数＝12场；②胜场得分数+平场得分数+负场得分数＝22分。

用特殊等量关系①设未知数：

设这个足球队胜X场，平（12-X-2）场。

用特殊等量关系②列方程：

胜场得分数+平场得分数+负场得分数＝22分，并用基本等量关系表示列方程所需的代数式：

胜场得分数＝3X分，平场得分数＝1×（12-X-2）分，负场得分数0×2分，则所列方程为：

3X+1×（12-X-2）+0×2＝22

例3、同学们到距学校15千米的生产基地去支农，一部分学生骑自行车先去，40分钟后，其余的人乘汽车去，结果同时到达。

已知汽车得速度是自行车的3倍，求两车的速度。

分析：

用s表示路程，v表示速度，t表示时间。

本题需要的基本等量关系是s＝vt,用它可以找出列方程所需要的两个代数式：

自行车行15千米用的时间是（15/v）小时，汽车行驶15千米用的时间是（15/3v）小时，本题中蕴含着两个特有的相等关系：

①ｖ汽＝3ｖ自②t汽＝t自-（2/3）

用①式设出未知数：

自行车速度为v千米/时，那么汽车的速度为3v千米/时；用②式可列方程（15/3v）＝（15/v）－（2/3）。

例4、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时个做多少个？

分析：

本题的基本等量关系是工作量＝工作时间×工作效率，两个特殊等量关系是：

①甲的工作效率＝乙的工作效率+6，②甲做90零件的时间＝乙做60个零件的时间。

用特殊等量关系①设未知数：

设甲的工作效率为X个/小时，则乙的工作效率为（X-6）个/小时。

用特殊等量关系②列方程T甲＝T乙。

用基本等量关系表示列方程所用的代数式，T甲＝90/X,T乙=60/（X-6）。

根据题意列方程为90/X＝60/（X-6）

例5、如图，将正方形ABCD一角折叠，折痕为AE,∠BAD比∠BAE大48ｏ，求∠BAE与∠BAE度数。

分析:

本题直接运用特殊等量关系

可解决问题。

特殊等量关系：

①∠BAD-∠BAE＝48ｏ，②（隐含等量关系）

∠BAD+2∠BAE＝90ｏ（如图

（2））

用特殊等量关系①设未知数：

设∠BAD为X度，

则∠BAE＝X-48ｏ。

用特殊等量关系②列方程,

则X+2（X-48ｏ）＝90ｏ

例6、某校办工厂生产的某种产品，今年的产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的产量达到1400件，求这个百分数。

分析：

本题的基本等量关系是：

明年的产量＝今年的产量×（1+增长百分数）。

特殊等量关系：

①每年的增长百分数相同，②三年的产量和＝1440件。

用特殊等量关系①设未知数：

设每年的增长百分数位X。

用特殊等量关系②列方程：

三年的产量和＝1440件。

并用基本等量关系表示列方程所用的代数式：

明年的产量＝200×（1+X），后年的产量＝200×（1+X）2。

列方程为：

200+200×（1+X）+200×（1+X）2＝1440

由上述可知，基本等量关系揭示了某一类问题的最基本量之间的关系，是列方程的基础，要透彻理解，灵活运用；特有相等关系①给出两个同类量之间的关系，是列方程的突破口；特有相等关系②，则表示另外两个同类量之间的关系，是列方程的关键。

这两个特有相等关系要求仔细审题，细心发现。

注意：

两个特有的相等关系一般不能重复使用，更不能漏用。

一般说，凡是有两个特殊等量关系的一元一次方程都可以列二元一次方程组，如例1：

设中型汽车有X辆，小型汽车有Y辆。

列方程为

X+Y=50

6X+4Y＝230

运用寻找基本等量关系和特殊等量关系能解决初中数学的简单的列一元一次方程、一元二次方程、分式方程及二元一次方程组问题，使学生做到规律性解题，摆脱题海战术的困扰，激发学习兴趣，提高学习效率，提高学生运用数学解决实际问题的能力。