人教版数学初二下册1821矩形.docx

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人教版数学初二下册1821矩形

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

基础闯关全练

1．（2018山东淄博高青一模）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A．AB=CD

B．AD=BC

C．AB=BC

D．AC=BD

2．（2018广西南宁马山期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A．对角相等

B．对边相等

C．对角线相等

D．对角线互相平分

3．如图18-2-1-1．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（）

A．4

B．3

C．2

D．1.

4．（2018天津河西三中期中）如图18-2-1-2，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB=1，∠AOB=60º，则AD=_______.

5．如图18-2-1-3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______.

6．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（）

A．测量对角线是否互相平分

B．测量两组对边是否分别相等

C．测量一组对角是否都为直角

D.测量三个角是不是直角

7．如图18-2-1-4，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）

A．AB=CD

B．AC=BD

C．当∠ABC=90º时，它是矩形

D.AC与BD互相平分

能力提升全练

1．（2018四川内江中考）如图18-2-1-5，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC=62º．则∠DFE的度数为（）

A．31º

B．28º

C．62º

D．56º

2．（2018四川成都中考）如图18-2-1-6，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：

①分别以点A和C为圆心，以大于

AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为_______．

3．（2018四川攀枝花中考）如图18-2-1-7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足

，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值是_______.

三年模拟全练

一、选择题

1．（2018湖北宜昌东部期中，10，★★☆）八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8．计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（）

A．48盆

B．49盆

C．50盆

D．51盆

2．（2018重庆巴蜀期末，8，★☆☆）如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD中，AC与BD相交于D，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15º，则∠COE的度数为（）

A．75º

B．85º

C．90º

D．65º

3．（2018江西萍乡期末，9，★☆☆）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）

A．梯形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

4．（2018四川资阳期末，9，★★☆）如图18-2-1-10．在△ABC中，∠C=90º，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（）

A．1.2

B．2.4

C．2.5

D．4.8

二、填空题

5．（2017重庆荣昌盘龙中学期中，17，★☆☆）如图18-2-1-11，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，可添加的条件是___________.

6．（2018陕西西安东仪中学期末，13，★★☆）如图18-2-1-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD=5．则EF的长为_________.

三、解答题

7．（2018安徽桐城期末，20，★★☆）如图18-2-1-13，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.

（1）求证：

BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

五年中考全练

一、选择题

1．（2018上海中考，5，★☆☆）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A．∠A=∠B

B．∠A=∠C

C．AC=BD

D．AB⊥BC

二、填空题

2．（2018福建中考，13，★☆☆）如图18-2-1-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=6，D是AB的中点，则CD=________．

3．（2018湖南株洲中考，14，★☆☆）如图18-2-1-15，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．

4．（2018黑龙江龙东中考,3，★☆☆）如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是矩形．

5．（2018广西贵港中考,16,★★☆）如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50º，则∠BEF的度数为________.

三、解答题

6．（2018山东青岛中考,21,★★☆）如图18-2-1-18，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.

（1）求证：

AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120º，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

核心素养全练

1．阅读以下材料，然后解答下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：

三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：

（2）如图18-2-1-19②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90º．在图18-2-1-19②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图18-2-1-19③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．

2．长与宽之比为

：

1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：

（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明．

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：

第一步：

沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图18-2-1-21甲）；

第二步：

沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG（如图18-2-1-21乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；

第三步：

沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合．

请你探究：

矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由．

（3）不难发现：

将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=

，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？

探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长．

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

1．D添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD是矩形，故选D．

2．C矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．

3．A因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC，所以BD的长为4．

4．答案

解析∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=90º，∴AO=BO,

∵∠AOB=60º，∴AO=BO=AB=1.

∴BD=2,∴AD=

．

5．答案10

解析∵AD⊥BC，E为AC的中点，

∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴AC=2DE=10.

又AB=AC,∴AB=10.

6．D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形．

7.B因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AC与BD互相平分，当∠ABC=90º时，它是矩形，所以选项A、C、D中结论正确，故选B．

1．D∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，∠ADC=90º，

∴∠FDB=90º-∠BDC=90º-62º=28º,

∵AD∥BC,∴∠CBD=∠FDB=28º，

∵矩形ABCD沿对角线BD折叠,∴∠FBD=∠CBD=28º，

∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28º+28º=56º.

2．答案

解析如图，连接AE，由作图可知MN垂直平分AC，

∴EA=EC=3，∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90º．

∴在Rt△ADE中,AD=

，

∴在Rt△ADC中，AC=

.

3．答案4

解析如图，设点P到AB的距离是h，则

AB•h=

AB•AD，即

×4h=

×4×3,∴h=2，可见点P是直线EF（EF∥AB,且EF与AB间的距离是2）上的动点，作点B关于EF的对称点B′，连接AB′交EF于点P，则此时PA+PB的值最小，最小值为AB′=

．

一、选择题

1．A∵矩形的对角线互相平分且相等，∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,∴还需要从花房运来红花49-1=48盆，故选A．

2．A由题意知∠CDE=∠CED=45º，又∠BDE=15º，所以∠CDO=60º，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC=OD=CE，∠DCO=60º，∠OCB=30º，进而求得∠COE=

=75º．

3.B因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形．故选B．

4.D连接PC，∵PE⊥CA,PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90º，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，又∵当CP⊥AB时，PC最小，且AC=6，BC=8，∴由勾股定理得AB=10．因此由等面积法，得PC=

=4.8，故选D．

二、填空题

5．答案EF⊥FC（答案不唯一）

解析连接AC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=

AC，同理，HG∥AC,HG=

AC，∴EF∥HG、EF=HG、∴四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH是矩形，则需有一个角为直角，如EF⊥FG．答案不唯一．

6．答案5

解析根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10．根据三角形的中位线性质，可得EF=

AB，因此EF=5．

三、解答题

7．解析

（1）证明：

由题意知AF∥BD,∴∠AFE=∠ECD，∵E为AD的中点，∴AE=DE，又∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC（AAS）,∴AF=CD，又AF=BD，∴BD=CD.

（2）四边形AFBD为矩形，

证明：

∵AB=AC，

由

（1）知BD=CD，

∴AD⊥BC（三线合一），

即∠ADB=90º．

又∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD为平行四边形，

∴四边形AFBD是矩形，

一、选择题

1．B∵∠A=∠B，AD∥BC,∴∠A=∠B=90º，故A选项能判定：

∵∠A=∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判定：

∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定，∵AB⊥BC,∴∠B=90º，故D选项能判定．故选B．

二、填空题

2．答案3

解析∵∠ACB=90º，D为AB的中点，∴CD=

AB=

×6=3．

3．答案

解析∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10,OD=

BD，∴OD=5，∵P,Q分别为AO、AD的中点，∴PQ=

OD=

．

4．答案AC=BD或∠ABC=90º或∠BCD=90

或∠CDA=90

或∠DAC=90

或AB⊥BC等（答案不唯一）

解析根据矩形的判定可知：

添加AC=BD或∠ABC=90º或∠BCD=90º或∠CDA=90º或∠DAC=90º或AB⊥BC等条件后可使平行四边形ABCD是矩形．

5．答案70º

解析依题意得∠B=∠B′=∠B′MD+∠B′EA=90º，所以∠B′EA=90º-50º=40º．所以∠B′EB=180º-∠B′EA=140º，又∠B′EF=∠BEF，所以∠BEF=

∠B′EB=70º．

三、解答题

6．解析

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD,∴∠AFC=∠DCF,

∵G为AD的中点，∴GA=GD，又∠AGF=∠DGC，

∴△AGF≌△DGC（AAS）,∴AF=CD,∴AB=AF.

（2）四边形ACDF是矩形，

证明：

∵AF=CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形．

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD=120º，∴∠FAG=60º,

∵AB=AC=AF，∴△AGF是等边三角形，∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC,∴FG=CG=

CF,

∵AG=GD=

AD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．

1．解析

（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：

三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．

（2）如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD、矩形ABEF．

易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，所以，Rt△ABC的两个“友好矩形”的面积相等．

（3）如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．

证明如下：

易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S，矩形BCDE，

CAFG及ABHK的周长分别为L₁，L₂，L₃，BC=a，CA=b，AB=c，

则L₁=

+2a,L₂=

+2b,L₃=

+2c,

L₁-L₂=（

+2a）-（

+2b）=-

（a-b）+2（a-b）=2（a-b）•

∵ab＞S,a＞b,∴L₁-L₂＞0，即L₁＞L₂,

同理可得，L₂＞L₃,∴L₁＞L₂＞L₃，

∴L₃最小，即矩形ABHK的周长最小．

2．解析

（1）证明：

∵矩形纸片ABCD是标准纸，且AB＜BC，

∴

.

由对开的含义知AF=

BC，∴

∴矩形纸片ABEF是标准纸．

（2）是标准纸．理由如下：

设AB=CD=a，a＞0．

由图形折叠可知△ABE≌△AFE，

∴∠BAE=∠FAE，∴∠DAE=

∠BAD=45º，

由图形折叠知DG⊥EM，

∴∠AGD=90º,∴△ADG是等腰直角三角形，

又由图形折叠知DG=CD=a，

∴在Rt△ADG中，AD=

，

∴

.∴矩形纸片ABCD是标准纸，

（3）

∴第5次对开后所得的标准纸的周长为

，

第2018次对开后所得的标准纸的周长为

．