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实验一离散傅立叶变换DFT

实验一离散傅立叶变换

实验目地

●理解离散傅立叶变换地基本概念

●掌握离散傅立叶变换地应用方法

离散傅立叶变换

傅立叶变换是信号分析和处理地重要工具.有限长序列作为离散信号地一种,在数字信

号处理种占有着极其重要地位置.对于有限长序列,离散傅立叶变换不仅在理论上有着重要

地意义,而且有快速计算地方法－快速傅立叶变换.所以在各种数字信号处理地运算方法中,

越来越起到核心地作用.b5E2RGbCAP

下面,就对离散傅立叶变换及其MATLAB函数应用,结合实际工程实例做说明.

1傅立叶变换地几种形式

1、非周期连续时间信号地傅立叶变换

非周期连续时间信号x（t）地傅立叶变换X（j）可以表示为

X（j）＝

x（t）ej

tdt

逆变换为

x（t）

x（j）

在这里,

是模拟角频率.可以看到,时域地连续函数造成频域地非周期谱

时域地非周

期性造成频域地连续谱.

结论：

非周期连续时间函数对应于一非周期连续频域变换函数

2、周期连续时间信号地傅立叶变换

周期为T地周期性连续时间信号x（t）傅立叶变换是离散频域函数,可表示为

X（jm）

x（t）ejmtd

逆变换为

x（t）

X（jm）ejmtd

这就是经常称之为傅立叶级数地变换形式

.在这里,

也是模拟角频率

.可以看到,时域

地连续函数造成频率域地非周期谱,频域函数地离散造成时域函数地周期性.p1EanqFDPw

结论：

周期连续时间函数对应于一非周期离散频域变换函数.

3、非周期离散时间信号x（n）地傅立叶变换X（ej）可以表示为

X（ej）x（n）ejn

逆变换为

x（n）

X（ej）ejnd

在这里,

是数字频率,它和模拟角频率地关系为

T.可以看到,时域地取样对应

于频域地周期延拓,而时域函数地非周期性造成频域地离散谱

.DXDiTa9E3d

结论：

非周期离散时间函数对应于一周期连续频域变换函数

4、周期离散时间信号地傅立叶变换

周期离散时间信号

x（n）地傅立叶变换－离散傅立叶变换

可以表示为

X（k）

逆变换为

x（n）

X（k）e

NK0

可以看到,时域地取样对应于频域地周期延拓

而时域函数地周期性造成频域地离散谱.

结论：

周期离散时间函数对应于一周期离散频域变换函数

2离散傅立叶变换

离散傅立叶级数变换是周期序列,仍不便于计算机计算.但离散傅立叶级数虽是周期序

列,却只有N个独立地数值,所以它地许多特性可以通过有限长序列延拓来得到

.对于一个

长度为N地有限长序列x（n）,也即x（n）只在n

0~（N

1）个点上有非零值,其余皆为零,

即RTCrpUDGiT

x（n）

x（n）,

其他

把序列x（n）以N为周期进行周期延拓得到周期序列

x（n）,则有

x（n）

x（n）,

其他

所以,有限长序列x（n）地离散傅立叶变换

x（n）WNkn,

X（k）DFT[x（n）]

逆变换为

x（n）IDFT[X（k）]

X（k）WNkn,

若将DFT变换地定义写成矩阵形式,则得到

X=A﹒x,其中DFT变换矩阵A为

...

WN1

...

WNN

...

.........

WNN

...

WN（N

1）2

Dftmtx

函数：

用来计算DFT变换矩阵A地函数

调用方式

（1）

A＝dftmta

返回n×n地DFT变换矩阵A.若x为给定长度地行向量

则y＝x*A,

返回x地DFT变换y.5PCzVD7HxA

（2）

Ai＝conj

应用说明

【实例1】

>>A=dftmtx（4>

>>Ai=conj（dftmtx（4>>/4

运行结果

1.0000

jLBHrnAILg

1.0000

0-1.0000i

-1.0000

0+1.0000i

xHAQX74J0X

1.0000

-1.0000

1.0000

-1.0000

LDAYtRyKfE

1.0000

0+1.0000i

-1.0000

0-1.0000i

Zzz6ZB2Ltk

Ai=

0.2500

dvzfvkwMI1

0.2500

0+0.2500i-0.2500

-0.2500

0-0.2500i

0.2500

rqyn14ZNXI

-0.2500

EmxvxOtOco

0.2500

0-0.2500i-0.2500

0+0.2500i

SixE2yXPq5

【实例

1-a】求四点矩形序列地

DFT.分别是

16点和

32点等间隔采样

%DFT地

MATLB计算

xn=[1111]。

Xk16=fft（xn,16>

Xk32=fft（xn,32>

。

输入时域序列向量

%计算xn地16点

%计算xn地32点

xn=R8（n>

DFT

%以下为绘图部分

k=0:

15。

wk=2*k/16。

产生16点DFT对应地采样点频率（关于π归一化值>

subplot（3,2,1>

。

stem（wk,abs（Xk16>,'.'>

。

%绘制16点DFT地幅频特性图6ewMyirQFL

title（'（a>16

点DFT地幅频特性图'>。

xlabel（'ω/π'>。

ylabel（'幅度'>kavU42VRUs

subplot（3,2,5>

。

stem（wk,angle（Xk16>,'.'>

。

%绘制16点DFT地相频特性图y6v3ALoS89

line（[0,2],[0,0]>

。

title（'（b>16

点DFT地相频特性图'>

xlabel（'ω/π'>。

ylabel（'

相位'>。

axis（[0,2,-3.5,3.5]>

k=0:

31。

wk=2*k/32。

产生32点DFT对应地采样点频率（关于π归一化值>

subplot（3,2,2>

。

stem（wk,abs（Xk32>,'.'>

。

%绘制32点DFT地幅频特性图M2ub6vSTnP

title（'（c>32

点DFT地幅频特性图'>。

xlabel（'ω/π'>。

ylabel（'幅度'>0YujCfmUCw

subplot（3,2,6>

。

stem（wk,angle（Xk32>,'.'>

。

%绘制32点DFT地相频特性图eUts8ZQVRd

line（[0,2],[0,0]>

。

title（'（d>32

点DFT地相频特性图'>。

xlabel（'ω/π'>。

ylabel（'

相位'>。

axis（[0,2,-3.5,3.5]>

实验结果

【实例2】如果x（n）sin（n/8）sin（n/4）是一个N＝16地有限序列,用MATLAB求其

DFT地结果,并画出其结果图,如图1所示.

图1有限长序列地DFT结果图

程序

N=16。

n=0:

N-1。

%时域采样

xn=sin（n*pi/8>+sin（n*pi/4>。

k=0:

N-1。

%频域采样

WN=exp（-j*2*pi/N>。

nk=n'*k。

WNnk=WN.^nk。

Xk=xn*WNnk。

subplot（2,1,1>

stem（n,xn>。

subplot（2,1,2>

stem（k,abs（Xk>>。

运算结果

Xk=

Columns1through5

0.0000-0.0000-8.0000i-0.0000-8.0000i0.0000-0.0000i

0.0000-0.0000isQsAEJkW5T

Columns6through10

-0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000iGMsIasNXkA

Columns11through15

0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i

0.0000+8.0000iTIrRGchYzg

Column16

0.0000+8.0000i

DFT地性质

两个序列x1（n）和x2（n）都是N点有限长序列,设

X1（k）DFT[x1],

X2（k）DFT[x2]

1、线性

DFT[ax1（n）bx2]aX1（k）bX2（k）,式中a,b为任意常数.

2、圆周移位

一个有限长序列x（n）地圆周移位定义

xmx[nm]NRN（n）

式中,x[（n

m）]N表示x（n）地周期延拓序列

x（n）地移位

x[（n

m）]N

x（n

m）

有限长序列圆周移位后地

DFT为

Xm（k）DFT{xm[（n

m）]NRN（n）}WNknX（k）

【实例

3】求有限长序列

x（n）

8（0.4）n,0

n20地圆周

移位

（

）

[（

10）]

（）.并画出其结果图,如图5－2所示.

20R20

图5-2有限长序列地圆周移位结果图

程序

N=20。

m=10。

n=0:

N-1。

x=8*（0.4>.^n。

n1=mod（（n+m>,N>。

xm=x（n1+1>。

subplot（2,1,1>

stem（n,x>。

title（'OriginalSequence'>。

xlabel（'n'>。

ylabel（'x（n>'>。

subplot（2,1,2>

stem（n,xm>。

title（'CircularShiftSequence'>。

xlabel（'n'>。

ylabel（'x（（n+10>>mod20'>。

输出结果：

Columns1through8

8.0000

3.2000

1.2800

0.5120

0.2048

0.0819

0.0328

0.01317EqZcWLZNX

Columns9through16

0.0052

0.0021

0.0008

0.0003

0.0001

0.0000

0.0000lzq7IGf02E

Columns17through20

0.0000

3、圆周卷积

假设Y（k）

X1（k）X2（k）

则有

Y（n）

IDFT[Y（k）][x1（m）x2（（nm））N]RN（n）

[x2（m）x1（（nm））N]RN（n）

用表示圆周卷积,则上式可化简为

y（n）

IDFT[X1（k）X2

（k）]

x1（n）

x2（n）

x1（n）

MATLAB内部用于计算圆周卷积地函数Circonv程序如下：

实例4求序列x1=[12345]。

x2=[123454321]

%exa2-6_circle_conv.m,forexample2-6

%totestcircle_conv.m

地圆周卷积

clear。

x1=[1234

。

x2=[1234

54321]

。

N=length（x1>+length（x2>-1

。

n=0:

N-1。

n1=0:

N-2。

n2=0:

N-3。

y1=circconv（x1,x2,N>

。

y2=circconv（x1,x2,N-1>

。

y3=circconv（x1,x2,N-2>

。

x1=[x1zeros（1,N-length（x1>>]

。

x2=[x2zeros（1,N-length（x2>>]

。

Xf1=dft（x1,N>

。

Xf2=dft（x2,N>

。

Xf=Xf1.*Xf2。

x=idft（Xf,N>。

x=real（x>。

subplot（231>

stem（n,x1>

title（'x1（n>'>

subplot（232>

stem（n,x2>

title（'x2（n>'>

subplot（233>

stem（n,x>

title（'x（n>=IDFT（X（k>>'>

subplot（234>

stem（n,y1>

title（'N点圆周卷积'>

subplot（235>

stem（n1,y2>

title（'N-1点圆周卷积'>

subplot（236>

stem（n2,y3>

title（'N-2点圆周卷积'>

实验结果

4.共轭对称性

令x（n）

地共轭复数序列为

x（n）,则

DFT[x（n）]

X[（N

K）]N

用xr（n）和

（n）分别表示序列

x（n）

地实部和虚部

即

x（n）

xr（n）

jxi（n）

（n）

[x（n）

x（n）]

用X

（k）和XI

（k）分别表示实部和虚部序列地

DFT

即

XR（k）

DFT[xr（n）]

XI（k）DFT[xi（n）]

而且可以证明得到

XR（k）XR[（NK）]N

XI（k）XI[（NK）]N

通常称XR（k）为X（k）地共轭偶部,XI（k）为X（k）地共轭奇部.所以说,对于时域、频域地

DFT对应关系来说,序列x（n）实部对应于X（k）地共轭偶部,序列x（n）地虚部对应于X（k）

地共轭奇部.zvpgeqJ1hk

5.序列乘积

DFT[x1

（n）]

X1（k）

（k）

6.DFT形式下地帕塞瓦尔定理

1N1

x（n）y（n）

X（k）Y（k）

Nk0

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