第三章一元一次方程教案.docx

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第三章一元一次方程教案

一元一次方程

一、课题一元一次方程

（1）

二、教学目标

1．使学生了解一元一次方程的概念，并牢固地掌握最简单一元一次方程的解法；

2．培养学生观察、分析、概括的能力以及准确而迅速的运算能力．

三、教学重点和难点

重点：

一元一次方程的概念和方程ax=b（a≠0）的解法．

难点：

正确地解方程ax=b（a≠0）．

四、教学手段

引导——活动——讨论

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

1．针对前二节所学内容，请学生回答下列问题

（1）什么叫等式？

等式应具备什么性质？

（2）什么叫方程？

方程的解？

解方程？

（3）（投影）某数的4倍减去9等于3，列出方程，并检验x=2，x=3是不是该方程的解．

（让一名学生在黑板上板演本题，其余学生在练习本上完成，教师巡视，发现问题，及时纠正）

请找出它们具有的特点？

（①只含有一个未知数；②未知数的次数都是一次）

2．在学生回答完上述问题的基础上，引出课题

我们将具备上述特点的方程叫做一元一次方程．请学生回答：

什么叫一元一次方程？

根据学生的回答，教师板书一元一次方程的概念．

这时，教师还需指出：

“元”是指未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数项的最高次数．

本节课我们来学习最简单的一元一次方程的解法．（板书课题）

（二）、师生共同讨论得出最简一元一次方程的解法

例 解下列方程：

分析：

利用等式性质2，在方程的两边都除以未知数x的系数，将其系数化1，即可得到原方程的解．最后还需检验所得的数是否为原方程的解．

（2）（3）（4）略．

（让学生先回答本题，教师追问根据，然后，老师根据学生的回答将方程

（1）的解答过程板书．方程

（2）（3）（4）的解答过程请三名学生板演，师生共同讲评）

最后，教师可追问学生，方程ax=b（a≠0）的解是什么？

根据是什么？

（三）、课堂练习

解下列方程：

（投影）

（本题的作用是进一步巩固学生对最简一元一次方程的解法的掌握，使之运用得灵活、自如．这样做也为后继课的学习做好铺垫）

（四）、师生共同小结

采用师生一问一答的方式，小结本节课所学的内容．最后教师指出：

据是等式性质2．

2．不要把两个方程用等号连接起来．如-x=1=x=1．

3．问题：

若a=0，则方程ax=b的解又是什么呢？

（思考）

七、练习设计

解下列方程，并检验：

思考题

解关于x的方程：

（关于x的方程，就是把方程中除x以外的字母看成已知数，解此类问题要注意已知数a，b的取值范围）

八、板书设计

一元一次方程

（1）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

九、教学后记

一元一次方程

一、课题一元一次方程

（2）

二、教学目标

1．使学生掌握移项的概念，并能利用移项解简单的一元一次方程；

2．培养学生观察、分析、概括和转化的能力，提高他们的运算能力．

三、教学重点和难点

重点：

移项解一元一次方程．

难点：

移项的概念

四、教学手段

引导——活动——讨论

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

1．等式的性质是什么？

2．什么叫一元一次方程？

方程ax=b（a≠0）的解是什么？

3．（投影）解方程：

（让学生口答本题，发动其余学生及时纠正出现的错误，做到一题多用）

我们已经学习了解最简单的一元一次方程ax=b（a≠0），今天学习把某些简单的一元一次方程化为最简的一元一次方程，从而求得其解．（教师板书课题：

一元一次方程的解法

（二）

（二）、师生共同研究解简单的一元一次方程的方法

例1 解方程3x-5=4．

在分析本题时，教师应向学生提出如下问题：

1．怎样才能将此方程化为ax=b的形式？

2．上述变形的根据是什么？

（以上过程，如学生回答有困难，教师应作适当引导）

解：

3x-5=4，

方程两边都加上5，得

3x-5+5＝4+5，

即   3x=4+5，

3x=9，

x=3．

（本题的解答过程应找多名学生分别口述，教师严格、规范板书，并请学生口算检验）

例2 解方程7x=5x-4．

（此题的分析与解答过程的教学设计可仿照例1重复进行）

针对例1，例2的分析与解答，教师可提出以下几个问题：

3．将方程3x-5=4，变形为3x=4+5这一过程中，什么变化了？

怎样变化的？

4．将方程7x=5x-4，变形为7x-5x=-4这一过程中，什么变化了？

怎样变化的？

（-5变为+5，并由方程的左边移到方程的右边；5x变为-5x，并由方程的右边移到方程的左边）

我们将方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．利用移项，我们可以将例2按以下步骤来书写．

解：

7x=5x-4，

移项，得7x-5x=-4，

合并同类项，得2x=-4，

未知数x的系数化1，得x=-2．

至此，应让学生总结出解诸如例1、例2这样的一元一次方程的步骤，并强调移项要变号．

（三）、课堂练习（用投影给出）

解方程：

（这个练习，应找部分学生板演，其余学生在下面自行完成，其间，教师要巡视，发现问题及时纠正，并鼓励同学间互相讲评，同时，教师还应要求学生严格参照例2的解题格式完成这个练习，并要求口算检根）

（四）、师生共同小结

首先，采取师生一问一答的形式回顾本节课学习了哪些内容？

采用了什么样的思维方法？

在解题时需要注意什么？

然后，教师需指出，采用了将“未知”转化为“已知”的思维方法，这是一种非常重要的思维方法，它在后继课的学习起着非常重要的作用．同时再次强调移项要变号．

最后，教师可引申，若所给方程中的某一项或某几项有括号，我们应如何求出方程的解？

（为下节课埋下伏笔，引出悬念，从而激发学生的学习兴趣）

七、练习设计

解下列方程：

思考题

解关于x的方程：

（1）ax=bx； 

（2）（a2+1）x=（a2-1）x．

八、板书设计

一元一次方程

（2）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

九、教学后记

一元一次方程

一、课题一元一次方程（3）

二、教学目标

1．使学生掌握解一元一次方程的移项规律，并且掌握带有括号的一元一次方程的解法；

2．培养学生观察、分析、转化的能力，同时提高他们的运算能力．

三、教学重点和难点

重点：

带有括号的一元一次方程的解法．

难点：

解一元一次方程的移项规律．

四、教学手段引导——活动——讨论

五、教学方法启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

1．解方程ax=b（a≠0），并指出解法根据．

2．什么叫做移项？

移项的根据是什么？

移项时应当注意什么？

3．（投影）解下列方程：

本节课我们继续学习移项应注意的问题和含有括号的一元一次方程的解法．

（二）、师生共同研究讨论解一元一次方程的移项规律

例1 解方程5x+2=7x-8．

在分析本题时，教师向学生提出如下问题：

1．利用什么方法可将所给方程化为ax=b的形式？

2．怎样移项呢？

根据学生回答的情况，得到的下面两种解法．

解法1 5x+2=7x-8，

移项，得5x-7x=-8-2，

合并同类项，得

-2x=-10

系数化1，得

x=5．

解法2 移项，得

2+8=7x-5x，

合并同类项，得

10=2x，

系数化1，得

x=5．

最后，请学生口算验根．

结合本例题的解法1和解法2，启发学生总结出求解像上述例题这样的一元一次方程时，它的移项规律是什么．（一般地，把含有未知数的项移到一边，不含未知数的项移到另一边）

（若学生回答有困难，教师应做适当引导）

然后，教师应指出，习惯上多把含有未知数的项移到左边，有时为了简单也可以移到左边．

（三）、师生共同探讨得出带有括号的一元一次方程的解法

例2 解方程2（x-2）-3（4x-1）=9（1-x）．

解：

（怎样才能将所给方程转化为例1所示方程的形式呢？

请学生回答）

去括号，得2x-4-12x+3=9-9x，

移项，得2x-12x+9x=9+4-3，

合并同类项，得-x=10，

系数化1，得x=-10．

（本题解答过程应首先由学生口述，教师板书，然后，请学生检验-10是否为原方程的根）

此时，启发学生总结遇有带括号的一元一次方程的解法．（方程里含有括号时，移项前，要先去括号）

（四）、课堂练习（投影）

1．下列方程的解法对不对？

若不对怎样改正？

解方程2（x+3）-5（1-x）=3（x-1）

解：

2x+3-5-5x=3x-1，

2x-5x-3x＝3+5-3，

-6x=-1，

2．解方程：

（1）2x+5=25-8x；       

（2）8x-2=7x-2；            （3）2x+3=11-6x；

（4）3x-4+2x=4x-3；    （5）10y+7=12-5-3y；     （6）2.4x-9.8=1.4x-9．

3．解方程：

（1）3（y+4）12；                           

（2）2-（1-z）=-2；

（3）2（3y-4）+7（4-y）=4y；             （4）4x-3（20-x）=6x-7（9-x）；

（5）3（2y+1）=2（1+y）+3（y+3）．

（五）、师生共同小结

师生采用一问一答的形式，一起总结本节课都学习哪些内容？

哪些思想方法？

应注意什么？

在此基础上，教师应着重指出①在运用移项规律解题时，一般情况下，应把含有未知数的项移到等号的左边，但有时依具体情况，也可灵活处理；②将“复杂”问题转化为“简单”问题，将“未知”问题转化为“已知”问题，将“陌生”问题转化为“熟悉”问题，这种思考问题的方法是一种非常重要的数学思考方法．本节课的例题、练习题的解答就充分地体现这一点．

七、练习设计解下列方程：

1．8x-4=6x-20x-6+3；                          2．3x-26+6x-9=12x+50-7x-5；

3．4（2y+3）=8（1-y）-5（y-2）；                   4．15-（7-5x）=2x+（5-3x）；

5．12-3（9-y）＝5（y-4）-7（7-y）；               6．16（1-2x）-4（11-2x）=7（2-6x）；

7．3x-4（2x+5）=7（x-5）+4（2x+1）；           8．2（7y-2）+10y=5（4y+3）+3y．

思考题

解下列方程：

1．2|x|-1=3-|x|；2．2|x+1|=|x+1|．

八、板书设计

一元一次方程（3）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

九、教学后记

一元一次方程

一、课题一元一次方程（4）

二、教学目标

1．使学生掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；

2．培养学生观察、分析、归纳及概括的能力，加强他们的运算能力．

三、教学重点和难点

重点：

含有以常数为分母的一元一次方程的解法．

难点：

正确地去分母．

四、教学手段

引导——活动——讨论

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

1．什么叫移项？

解一元一次方程的移项规律是什么？

2．（投影）解下列方程：

（请学生口答）

3．求几个数的最小公倍数的方法是什么？

本节课，我们继续来学习含有以常数为分母的比较复杂的一元一次方程的解法．

（二）、师生共同研究解含有以常数为分母的比较复杂的一元一次方程的方法

在分析本题的解法时，向学生提出如下问题：

（1）怎样才能将它化成上节课中所学的方程的类型？

（去分母）

（2）如何去分母？

（方程的每一项都乘以分母的最小公倍数）

去分母，得 5y-1=14，

移项，得5y=15，

系数化1，得y=3．

解：

（本题应如何去分母？

学生答）

去分母，得

4（2x-1）-（10x+1）=3（2x+1）-12，

去括号，得

8x-4-10x-1＝6x+3-12，

移项，得

8x-10x-6x＝3-12+4+1，

合并同类项，得

-8x=-4，

系数化1，得

针对本题的解答过程，应向学生提出如下问题：

（3）为了去分母，方程两边应乘以什么数？

（4）去分母应注意什么？

（以上问题，若学生回答有困难，或不完整，教师应做适当的引导，补充）

（本题的解答过程，应由学生口述，教师板书来完成）

教师启发学生总结解含有以常数为分母的一元一次方程的思路是什么．（利用去分母的方法，将它转化为上一节所学的方程的形式）

（三）、课堂练习

解下列方程：

（四）、师生共同小结

首先，应让学生回答下列问题：

1．本节课学习了什么内容？

2．用什么样的方法将本节所学的新的类型方程转化为上节课我们熟悉类型的方程？

3．为了去分母，方程两边应乘以什么数？

这个数是如何选取的？

4．去分母时应注意什么？

结合学生的回答，教师作补充．

去分母时需注意：

①所选的乘数是所有的分母的最小公倍数；②用这个最小公倍数去乘方程两边时，不要漏掉等号两边不含字母的“项”；③去掉分母时，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来．

七、练习设计

解下列方程：

思考题

解关于x的方程：

（1）ax=bx； 

（2）（a2+1）x=（a2-1）x．

八、板书设计

一元一次方程（4）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

九、教学后记

一元一次方程

一、课题一元一次方程（5）

二、教学目标

1．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的步骤；

2．培养学生观察、分析、归纳的能力，并提高他们的运算能力．

三、教学重点和难点

解一元一次方程的步骤

四、教学手段

引导——活动——讨论

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

1．什么叫一元一次方程？

其最简形式是什么？

2．什么叫移项？

移项时需注意什么？

3．（投影）下列方程的解法对不对？

若不对，错在哪里？

怎样改正？

（1）解方程2x+1=4x+1．

解：

2x+4x=0，

6x=0，

所以         x=0．

解：

x+1=3x-1-1，

2x=3，

解：

4x+2-x+1=12．

3x=9，

所以               x=3．

（分别让三名学生分别解答本题，其他学生评判，并补充，以求得正确地解答）

然后，教师应指出：

一元一次方程的解法基本学习完了，现在对任何形式的一元一次方程都会解了．解一元一次方程的指导思想就是把原方程化为ax=b（a≠0）的形式．为了更迅速地解一元一次方程，下面我们一起来总结一下解一元一次方程的一般步骤．

（二）、师生共同讨论，归纳出解一元一次方程的一般步骤

（学生口述，教师板书）

解：

去分母，得

6（x+3）＝22.5x-10（x-7），

去括号，得

6x+18=22.5x-10x+70，

移项，得

6x-22.5x+10x＝70-18，

合并同类项，得

-6.5x＝52，

系数化1，得

x=-8．

结合上面学生解答的例题，教师应首先让几名学生总结解一元一次方程的步骤；然后教师指出总结的不足之处，并结合投影，给以正确的叙述．

（三）、课堂练习

解下列方程：

（这组练习题的作用在于巩固并加深学生对一元一次方程解法步骤的理解及运用．教学时，可选好、中、差的学生分别在黑板上板演，发动学生改错、评议，以起到一题多用）

（四）、师生共同小结

首先，应让学生思考以下问题，并回答：

1．形式上比较复杂的一元一次方程是怎样求解的？

2．它的解法的主要思路是什么？

3．它的解法的主要步骤是什么？

结合学生的回答，教师应指出：

解一元一次方程的指导思想是把原方程化为ax=b（a≠0）的形式．其解法可分为两大步：

一步是化为ax=b的形式，再一步是解方程ax=b．

在计算或变形时，要养成良好的学习习惯，注意书写格式的规范性，避免在去分母，去括号、移项时易犯的错误．

七、练习设计

解下列方程：

1．17（2-3y）-5（12-y）＝8（1-7y）；

2．5（z-4）-7（7-z）-9＝12-3（9-z）；

3．3（x-7）-2［9-4（2-x）］=22；

4．3{2x-1-［3（2x-1）+3］}=5；

八、板书设计

一元一次方程（5）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

九、教学后记

一元一次方程

一、课题一元一次方程（6）

二、教学目标

1．使学生灵活运用解方程的一般步骤解题；

2．培养学生观察、分析、转化的能力，提高他们综合解题的能力．

三、教学重点和难点

重点：

灵活地运用解题步骤；

难点：

如何在“灵活”二字上下功夫．

四、教学手段

引导——活动——讨论

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

请学生回答：

一元一次方程的解题的一般步骤是什么？

针对学生的回答，教师应指出：

由于方程的形式不同，解方程时，不一定非按这样的顺序不可，其中有些步骤也可能用不到，可以灵活运用．

（二）、讲授新课

例1 解方程4（x-3）=32．

针对本题提问：

1．本题应如何解？

2．怎样解较好？

（分别请两名学生板演，然后比较他们的解法哪个较好）

解法1：

4x-12=32，

4x=44，

x=11．

解法2：

4（x-3）=32

x-3=8，

x=11．

通过比较，得出解法2比解法1好．

分析本题时可向学生提问：

先经过怎样的变形可使运算简便？

（结合学生的回答，教师应指出：

将方程的分母运用分数的基本性质化为整数后，再去分母．可使运算简便）

解：

原方程化为

去分母，得

30x-7（17-20x）=21，

去括号，得30x-119+140x=21，

合并同类项，得

170x=140，

系数化1，得

（以上过程，学生口述，教师板书）

（首先让学生思考如何解答可使运算简便？

结合学生的回答，教师适当点拨）

分析：

先去括号，再去分母方法较好．

解：

去括号，得

去分母，得

12x-6x+3x-3=8x-8，

移项，得

12x-6+3x-8x=-8+3，

合并同类项，得x=-5．

（请学生观察并思考本题，怎样去括号较为合理呢？

结合学生的回答，教师作适当补充）分析：

此题若先去括号显然不妥，如先去分母，同时也就去掉大括号，原方程化为：

两边乘以3，可去掉中括号．两边再乘以4，可去掉小括号．

解：

方程两边乘以2，得

方程两边乘以3，得

方程两边都乘以4，得

系数化1，得 x=5．

（例3、例4的解答过程均采用学生口述，教师板演来完成，同时在解答过程，若学生某一步骤感到困难，教师应做适当引导）

针对诸如例2、例3、例4这样的形式上比较复杂的方程，教师应提醒学生：

在求解时，应注意分析方程的结构特点，灵活地安排解题步骤；同时，由于这类题目步骤繁多，容易出错，故学生必须检验．

（三）、巩固练习

解下列方程：

（四）、师生共同小结

首先，让学生回答：

学习了本节课的内容后，你的收获都有哪些？

其次，教师结合学生的回答还应进一步指出：

解方程的指导思想即把原方程化为ax=b（a≠0）的形式，这里，化为ax=b的三个步骤（去分母、去括号、合并同类项）可以灵活运用，要注意题目的特点，择优从之．

七、练习设计

解下列方程：

P1231、2、3题

八、板书设计

§5.1一元一次方程（6）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

九、教学后记

一元一次方程

一、课题一元一次方程（7）

二、教学目标

1．使学生熟悉一些公式，为今后学习物理、化学打好基础；

2．进一步培养学生观察、分析、转化的能力，加强学生分析问题和解决问题的能力．

三、教学重点和难点

重点：

认清公式中的已知量和未知量；由题意找等量关系．

难点：

公式的恒等变形．

四、教学手段

引导——活动——讨论

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

首先，让学生回答一元一次方程的解题的一般步骤是什么？

然后，针对学生的回答，强调要灵活运用这些步骤．

我们在学习了一元一次方程的知识以后，就可以利用一元一次方程来解决一些与此有关的数学问题．下面通过一些例题来说明．

（二）、讲授新课

例1、分析：

在这个公式中，共有4个量，当其中三个量是已知数时，就形成了一个只含有一个未知数的方程，可以转化为求代数式的值的问题，也可以转化为解一元一次方程的问题．

解这个以a为未知数的方程，得

5（a+36）=240，

a+36＝48，

所以  a=12．

（本题的解答过程，教师板书）

冽2、分析：

①此题的未知数是哪个？

②题中表示相等关系的“关键词”是哪个？

③用代数式分别将等号的左边和右边表示出来．

解：

设某数为x，由题意，得

3（x+2）-2（2x-3）=12，

3x+6-4x+6=12，

所以 x=0．

答：

某数为0．

（本题的解答过程，学生口述，教师板书）

对于本题的解答，教师需指出：

求出的某数0应既满足所列方程，又要合题意，不然所求的数就应舍去．

问题：

若将例1中的“某数”改为“某正数”，其余条件不变．求这个正数，其结果怎样？

（通过启发学生，发现它的解答过程与例2一样，只是在求出x=0时，与题目的要求不符，不合题意，故原题中要求的某数实际上不存在．此问题再次提醒学生“检验”的重要性）

冽3、分析：

①什么叫方程的解？

②如何将上述关于x的方程利用已知条件转化为关于m的方程？

故 m=-6．

答：

m值为-6．

（本题的解答应由学生口述，教师板书，不足之处，教师补充）

分析：

①什么叫两数互为相反数？

若a与b互为相反数，用数学式子应如何表示？

②利用①的结论，如何列出关于x的方程呢？

18+x+3x-3=0，

（本题的分析过程与解答过程，均采用提问—回答的方式进行，请一名学生板演解答过程，如有不妥之处，教师补充）

（三）、课堂练习

1．某数的20％减去15的差的一半是2，求某数；

2．若3x-2与2x-3互为相反数，求x值；

3．m为何值时，mx-8=17+m的解为-5．

利用投影打出，教师巡回指导，并规范板演学生的解题格式．

（四）、师生共同小结

在师生共同回顾本节课内容的基础上，教师指出：

需要找出题中的相等关系时，要注意“等于”、“是”、“得”、“相同”等关键词，若没有上述关键词，则要从题中的语句里找出蕴含在其中的相等关系；对于求出的待定字母的值，需检验它是否既符合题意，又适合方程．

七、练习设计

1．根据下列条件列出方程，且求出某数；

（1）某数的2倍比某数的5倍小24；

（3）某数的一半加上3，比某数与2的差小5；

2．

（1）在公式S=2πr（r+h）中，已知S=1256，π=3.14，r=12，求h；

3．已知方程2（x-1）+1=x的解与关于x的方程3（x+m）=m-1的解相同，求m值．

八、板书设计

一元一次方程（7）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2