排列组合典型题大全包括答案.docx
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排列组合典型题大全包括答案
排列组合典型题大全
一．可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素：
一类可以重复，另一类不能重
复，把不能重复的元素看作“客〞，能重复的元素看作“店〞，
那么通过“住店法〞可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策
略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】〔1〕有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同
的报名方法？
（2〕有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3〕将3封不同的信投入4个不同的邮筒，那么有多少种不同投法？
【解析】：
〔1〕34〔2〕43〔3〕43
【例
2】
把6名实习生分配到
7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：
完成此事共分
6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有
7种不同方案，
第二步：
将第二名实习生分配到车间也有
7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
76
种不同方案
.
【例
3】8名同学争夺
3项冠军，获得冠军的可能性有〔〕A、83
B、38
C、A8
3
D、
3
C8
【解析】：
冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店〞，3项冠
军看作3个“客〞，他们都可能住进任意一家“店〞，每个“客〞有8种可能，因此共有83种
不同的结果。
所以选A
1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？
2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问
最后有多少种情况？
3、4个同学参加3项不同的比赛
（1〕每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？
（2〕每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？
4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？
又他们争夺这4项
比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？
5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？
6、〔全国II文〕5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,那么不同
的报名方法共
（A）10种（B）20种（C）25种（D）32种
7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人
可以兼职，那么不同的负责方法有多少种？
8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？
思考：
4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？
二．相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与
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☆
【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果
A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的
排法种数有
【解析】：
把A,B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4
人的全排列，A44
24种
例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
解：
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行
排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有
A55A22A22
480种不同的排法
甲乙
丙丁
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元
素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
【例2】〔2021四川卷理〕3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3
位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是〔〕
A.360B.288
C.216D.96
【解析】：
间接法
6
位同学站成一排，
3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
C32A22A42A22=432
种高☆考♂资♀源网?
☆
其中男生甲站两端的有
A12C32A22A32A22=144，符合条件的排法故共有288
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排
法有〔C〕种。
A〕720B〕360C〕240D〕120
三．相离问题插空法：
元素相离〔即不相〕，可先把无位置要求的几个元素全排
列，再把定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必不相，那么不同的排法种数是
【解析】：
除甲乙外，其余5个排列数A55种，再用甲乙去插6个空位有A62种，不同的排法
种数是A55A623600种
【例2】架上某有6本，新3本插去，要保持原有6本的序，有种不
同的插法〔具体数字作答〕
【解析】：
A17A18A91=504或分
【例3】高三〔一〕班学要安
=排晚会的4各音目，2个舞蹈目和1个曲目的
演出序，要求两个舞蹈目不排，不同排法的种数是
【解析】：
不同排法的种数
A55A62＝3600
【例4】某工程有6工程需要独完成，其中工程乙必在工程甲完成后才能行，工
程丙必在工程乙完成后才能行，又工程丁必在工程丙完成后立即行。
那么安排
6
工程的不同排法种数是
【解析】：
依意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的
5个空中，可
得有A52＝20种不同排法。
【例5】某市春晚会原定10个目，演最后决定添加
3个与“抗冰救灾〞有关的目，
但是灾目不排在第一个也不排在最后一个，并且已排好的
10个目的相序不，
晚会的目的排数
种.
【解析】：
A1A1
A1=990
9
10
11
【例6】.路上有号1，2，3⋯，9九只路灯，要关掉其中的三，但不能关掉相的
二或三，也不能关掉两端的两，求足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：
把此当作一个排模型，在6亮灯的5个空隙中插入3不亮的灯C53种方
法,所以足条件的关灯方案有10种.
明：
一些不易理解的排列合，如果能化熟悉的模型如填空模型，排模型，装盒
模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排
8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，
那么坐法的种数有多少种？
【解析】：
解法1、先将3个人〔各带一把椅子〕进行全排列有
A33，○*○*○*○，在四个空
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有
A14种，所以每个人左右两边都空位的排法有
A14A33=24种.
解法2：
先拿出5个椅子排成一排，在
5个椅子中间出现4
个空，*○*○*○*○*再让3个人
每人带一把椅子去插空，于是有
A34=24种.
【例8】停车场划出一排
12
个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不
同的停车方法有多少种？
【解析】：
先排好8辆车有A8
种方法，要求空车位置连在一起，那么在每
2辆之间及其两端的9
8
个空档中任选一个，将空车位置插入有
C1种方法，所以共有
C1
A8种方法.
9
9
8
注：
题中*表示元素，○表示空.
例3.一个晚会的节目有
4个舞蹈,2
个相声,3
个独唱,舞蹈节目不能连续出场
那么节目的出场顺序有多少种？
解:
分两步进行第一步排
2个相声和3个独唱共有A55
种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的
6个元素中间包
含首尾两个空位共有种
A64
不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
A55A64
种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
四．元素分析法〔位置分析法〕：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
【例1】2021年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有
〔
〕
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A.36种
B.12
种
C.18
种
D.48
种
【解析】：
方法一：
从后两项工作出发，采取位置分析法。
A32A33
36
方法二：
分两类：
假设小张或小赵入选，那么有选法
C1C
1A3
24；假设小张、小赵都入选，那么有
2
2
3
选法A22A32
12，共有选法36
种，选A.
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，假设老师不站两端那么有不同的排法有多
少种？
【解析】：
老师在中间三个位置上选一个有A31种，4名同学在其余4个位置上有A44种方法；
所以共有A31A44
72种。
.
【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】
法一：
A15A66
3600
法二：
A62A55
3600
法三：
A77
A66
A66
3600
五．多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
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【例1】〔1〕6个不同的元素排成前后两排，每排
3个元素，那么不同的排法种数是〔
〕
A、36种
B、120
种
C、720
种
D、1440
种
〔2〕把15人分成前后三排，每排
5人，不同的排法种数为
〔A〕A155A105
〔B〕A155A105A55A33〔C〕A1515
〔D〕A155A105A55
A33
〔3〕8个不同的元素排成前后两排，每排
4个元素，其中某
2个元素要排在前排，某
1个元
素排在后排，有多少种不同排法？
【解析】：
〔1〕前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成
6个不同的元素排成一排，共
A66
720
种，选C.高☆考♂资♀源?
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〔2〕答案：
C
〔3〕看成一排，某
2个元素在前半段四个位置中选排
2个，有A42种，某1
个元素排在后半
段的四个位置中选一个有A41种，其余5个元素任排5个位置上有A55种，故共有
A41A42A55
5760种排法.
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24种,再排后4个位置
上的特殊元素丙有A14种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,那么共有A24A14A55种
前排
后排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
练习题：
有两排座位，前排
11个座位，后排12个座位，现安排
2人就座规定前排中间的
3个座位不能坐，
并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346
六.环排问题线排策略
例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：
围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A44并从此位置把圆形展成
直线其余7人共有〔8-1〕！
种排法即7！
C
DB
EA
ABCDEFGHA
FH
G
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!
种排法.如果从n个不同元素中取出
m个元素作圆形排列共有
1Anm
n
练习题：
6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
120
五．定序问题缩倍法〔等几率法〕：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，
可用缩小倍数的方法.
【例1】.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果
B必须站在A的右边〔A,B可以不相邻〕那
么不同的排法种数是〔
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☆
【解析】：
B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5
个元素全排列
数的一半，即1
5
60
种
2
A5
【例2】书架上某层有
6本书，新买3本插进去，要保持原有
6本书的顺序，有多少种不同
的插法？
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【解析】：
法一：
3
1
9
A9
法二：
6A9
A6
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，假设A、B、C必须按A在前，B居中，C在
后的原那么〔A、B、C允许不相邻〕，有多少种不同的排法？
【解析】：
法一：
A63
法二：
1
6
A33A6
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:
（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题
可先把这几个元素与其他元素一起进行排列
然后用总排
列数除以这几个元素之间的全排列数
那么共有不同排法种数是：
A77/A33
（空位法）设想有7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A74种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐
法，那么共有A74
种方法。
思考:
可以先让甲乙丙就坐吗?
〔插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余
4四人依次插入共有
方法
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理
练习题:
10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
C105
六．标号排位问题〔不配对问题〕把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有〔〕
A、6种B、9种C、11种D、23种高☆考♂资♀源?
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【解析】：
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9
种填法，选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是〔〕
A10种B20种C30种D60种
答案：
B
【例3】：
同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
那么4张贺年卡不同的分配方式共有（）
〔A〕6种〔B〕9种〔C〕11种〔D〕23种
【解析】：
设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，那么乙的取法可分两类：
（1〕乙取a，那么接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2〕乙取c或d〔2种方式〕，不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有
3（12）9
种分配方式。
应选〔B〕
【例
4】：
五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式
共有（
）
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〔A〕60种
〔B〕44种
〔C〕36种
〔D〕24种
答案：
B4*2+4*3*3
六．不同元素的分配问题〔先分堆再分配〕：
注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按以下分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
〔1〕
分成1
本、2本、3本三组；
〔2〕
分给甲、乙、丙三人，其中一个人
1
本，一个人
2本，一个人
3本；
〔3〕
分成每组都是2本的三个组；
〔4〕
分给甲、乙、丙三人，每个人
2本；
〔5〕
分给5
人每人至少1本。
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☆
【解析】
：
〔1〕C61C52C33
〔2〕C61C52C33A33
〔3〕C62C42C22
〔4〕C62C42C22
〔5〕
A33
C52C51C14C13C12C11
A55
A44
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配方案有
种〔用数字作答〕．高☆考♂资♀源?
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【解析】：
第一步将
4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有
C42C21C11
;
A22
第二步将分好的三组分配到
3个乡镇，其分法有
A33
所以满足条件得分配的方案有
C42C21C11
A33
36
A22
说明：
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
.
【例3】5名志愿者分到
3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有
〔A〕150种
（B）180种
（C）200种
（D）280种
【解析】：
人数分配上有
1,2,2
与1,1,3
两种方式，假设是
C53C21C11
3
1,2,2，那么有
A3＝60种，
A22
假设是1,1,3
，高☆考♂资♀
源网?
☆
C51C42C22
3
那么有
A3＝90种，所以共有150种，选A
A22
【例4】将9
个〔含甲、乙〕平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为
〔〕
A
．70
B．140
C．280
D．840
答案：
〔A
〕
【例5】将5
名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，那么不同
的分配方案有〔
〕
〔A〕３０种
〔B〕９０种
〔C〕１８０种
〔D〕２７０种
【解析】：
将5名实习教师分配到高一年级的
3个班实习，每班至少
1名，最多
2名，那么将5
C1C2
名教师分成三组，一组1人，另两组都是
2人，有
5
4
15种方法，再将3组分到3个班，
A22
共有15A33
90种不同的分配方案，选
B.
【例6】
某外商方案在四个候选城市投资
3个不同的工程,且在同一个城市投资的工程不超
过2个,那么该外商不同的投资方案有〔
〕种
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A．16种
B．36
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