平面向量教案.docx
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平面向量教案
平面向量教案
课
件www.5y
二、复习要求
、向量的概念;
2、向量的线性运算:
即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
、向量是数形结合的典范。
向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。
在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:
①向量加减法则:
三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式:
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=,=
则=
-==
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R记=
则λ=两个向量
的数量积
·=||||
cos<,>
记=,=
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:
=,=
实数与向量的乘积:
λ=λλ;=λμ,λ=
两个向量的数量积:
·=·;·=·=λ,·=··
说明:
根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如2=
4、重要定理、公式
平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对一一对应,称为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:
当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A,则=;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A,B,则=
两个向量平行的充要条件
符号语言:
若∥,≠,则=λ
坐标语言为:
设=,=,则∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。
因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。
这就是实数乘向量中λ的几何意义。
两个向量垂直的充要条件
符号语言:
⊥·=0
坐标语言:
设=,=,则⊥x1x2y1y2=0
线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:
设P,P1,P2
则
特例:
当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,,总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
平移公式:
①点平移公式,如果点P按=平移至P',则
分别称,为旧、新坐标,为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:
设曲线c:
y=f按=平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:
a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理变形:
cosA=,cosB=,cosc=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。
通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。
利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的"程序性"特点。
四、典型例题
例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。
分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0
则=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:
∴
∴
说明:
用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABc中,A,B,c,Bc边上的高为AD,求点D和向量坐标。
分析:
用解方程组思想
设D,则=
∵=,·=0
∴-6-3=0,即2xy-3=0①
∵=,∥
∴-6=-3,即x-2y1=0②
由①②得:
∴D,=
例3、求与向量=,-1）和=夹角相等,且模为的向量的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:
设=,则·=x-y,·=xy
∵<,>=<,>
∴&nb
∴
即①
又||=
∴x2y2=2②
由①②得或
∴=
法二:
从分析形的特征着手
∵||=||=2
·=0
∴△AoB为等腰直角三角形,如图
∵||=,∠Aoc=∠Boc
∴c为AB中点
∴c
说明:
数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△oAB的边oA、oB上分别取点m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与Bm交于点P,记=,=,用,表示向量。
分析:
∵B、P、m共线
∴记=s
∴①
同理,记
∴=②
∵,不共线
∴由①②得解之得:
∴
说明:
从点共线转化为向量共线,进而引入参数是常用技巧之一。
平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例5、已知长方形ABcD,AB=3,Bc=2,E为Bc中点,P为AB上一点
利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
若∠PED=450,求证:
P、D、c、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则c,D,E
设P
∴=,=
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得,或y=2
∴点P为靠近点A的AB三等分处
当∠PED=450时,由知P
∴=,=
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DcE=900
∴D、P、E、c四点共圆
说明:
利用向量处理几何问题一步要骤为:
①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
选择题
、平面内三点A,B,c,若∥,则x的值为:
A、-5B、-1c、1D、5
2、平面上A,B,D,c点满足,连Dc并延长至E,使||=||,则点E坐标为:
A、B、c、D、或
2、点沿向量平移到,则点沿平移到:
3、A、B、c、D、
4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,则此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形c、等边三角形D、以上均有可能
5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①-=0
②||-||<|-|
③-不与垂直
④·=9||2-4|2中,
真命题是:
A、①②B、②③c、③④D、②④
6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,则∠c度数是:
A、600B、450或1350c、1200D、300
7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在
A、∠AoB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上
c、AB边所在直线上D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=,=,则=
A、B、c、D、
填空题
9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。
0、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。
1、设,是两个单位向量,它们夹角为600,
则·=____________。
2、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
解答题
3、设=,=,⊥,∥,试求满足=的的坐
14、若=,-=,求、及与夹角θ的余弦值。
5、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、A
9、10、11、12、y=sinx1
13、
4、=,=,
5、λ<,或λ>且λ≠
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