此时β→0,K→1，则由
（1）式得
（3）
其中θ是n与的夹角
有了（3）式即回旋辐射的角分布就可以通过对所有的立体角的积分
（4）
对于给定的磁场，一个速度为v的电子的总功率习惯用、来表示，而不是用。
因此对于非相对论电子（→1）有代入式得
其中α是投射角，即v与B之间的夹角。
而电子的经典半径为则
（5）
代入经典半径==2.82×cm，以及光速值c=3×cms则
（ergs）（6）
对于非相对论电子速度分布是各向同性的，则电子的平均总功率为
（ergs）（7）
由（6）（7）可知非相对论电子的回旋辐射功率与其能量成正比（即正比于），且与磁场的平方成正比。
（2）回旋辐射的谱
在均匀磁场中，电子受洛伦玆力的作用，运动的方程为
（8）
解（8）式得电子的轨道方程
（9）
其中都是由初始条件定。
方程（9）表示非相对论电子在磁场中沿着轴平行于的螺旋线运动，式中的被称为拉摩半径，电子的频率为拉摩频率。
从（8）式导出（9）式的条件是，即只适用于的极低速电子，然而实际上即使不近似于1所得到的结果仍然与（9）式非常相似，只不过电子的回旋频率发生变化，不再是拉摩频率而改写为。
对于相对论电子在磁场中的圆轨道或螺旋轨道运动的方程和（9）式是一样的，只不过回转频率比拉摩频率小倍。
虽然由方程（9）式可知相对论电子是作圆周运动或螺旋运动，然而实际上是接近直线的，因为电子运动的半径很大。
例如，在BGs的磁场中，有一个的高能电子，，则可知cm，即电子的半径的数量级为百万公里。
为简单起见，先对非相对论电子沿着圆轨道运动（即电子速度=0）
的回旋辐射谱进行分析。
按照电子运动方程（9）式，取圆周运动的圆心在坐标轴的原点，轨道平面选为平面，电子的位置和和分别为
（10）
（11）
其中。
把（10）、（11）式代入周期运动的谱公式中得
（S=1、2、3…）（12）
为了使辐射方向有简单的表示，不妨设这样的坐标轴，使的方向为轴。
假定观察者在oxz平面内，从而有,则有,
代入（12）式得积分可表示为
=
+
+
=
+
+
式中含sinu和cosu的两个积分分别和贝塞尔函数及其导数联系着。
由贝塞尔函数及的两个积分的表示可以化简上式中含有sinu和cosu的积分，化简得到两个结果，即
其中代表正整数S阶贝塞尔函数，是对其宗量的导数。
由此可以算出
=
（13）
式中
（S=1、2、3…）（14）
上式给出沿θ方向单位立体角，频率为的单色辐射功率。
如果使用贝塞尔函数理论中的一系列恒等式，对上式得全部立体角进行积分得
（15）
上式是的单色辐射功率（S=1、2、3…），即回旋辐射谱公式。
由上式可知非相对论电子辐射谱线是分立的，随着频率…而强度减少的飞快（因）.基频集中了电子辐射中几乎所有的能量。
例如，电子的=0.1时，基频辐射占据全部能量的90%，当电子的速度很低时，就只有基频辐射，而成为单色辐射。
上面的讨论是仅限于在作圆轨道运动电子的回旋辐射，当电子作螺旋轨道运动时，它的谱线分布可以通过洛伦玆变换由（14）（15）式得到
螺旋轨道电子的辐射谱特点与圆轨道电子的辐射的不同主要在谱线有移动，由圆轨道辐射频率（S=1、2、3…）变到螺旋轨道辐射频率,除了谱线发生频移之外，螺旋轨道电子辐射的S次谐波的辐射功率改为上式。
（三）回旋辐射的角分布
回旋辐射的能量集中在基频辐射，因此整个辐射的角分布可以通过基频辐射的角分布来表示，以圆周运动的非相对论电子的辐射为例，由（14）式
其中，（当），则有
由上式表明非相对论电子的回旋辐射的角分布是各向同性的，当时，即沿磁场方向辐射最强，而时沿磁场方向最弱，两者强度差二倍。
（四）回旋辐射的偏振特性
积分式（13）和频率为的单色的振幅值有关，即
所以由（13）式可以知道基频辐射的振幅值为
因此，对于，即沿磁场方向的辐射，,，这说明场强的x分量和y分量相等而相位差，即为圆偏振波，对于，即沿垂直磁场方向的辐射，，,所以是线偏波，θ取中间值时，一般为椭圆偏振波。
3、同步辐射
（1）同步辐射的总功率
为得到接受总功率，一般像回旋辐射一样有辐射角分布对（）所有的立体角（）进行积分而得。
如果在相对论效应重要的情况下，上述的积分就不等于辐射的总功率，而这里通过
对所有的立体角进行积分。
假定，还有如下积分样式：
，
，
。
由上面的积分样式对
（2）式的平方进行积分，即
由和代入上面的关系式可知,,,.
又，花括号中的式子变形得
同理
综上所述，辐射的总功率可以写成
（15）
式中，是洛伦兹因子（Lorenzfactor）。
将，，代入（15）式得
式中的和分别是速度矢量在平行方向和垂直方向的加速度。
当粒子在均匀的磁场中，有
即（16）
其中，。
由（16）式可知粒子在垂直方向上才有加速度，即
，
宇宙射线电子比宇宙射线质子获得巨大的能量容易的多，因此认为同步辐射的总功率写成：
（17）
其中是经典半径。
把作为汤姆森横截面和作为静磁场的能量密代入（17）式得（18）
由上式看起来好像是电子和静磁场相互碰撞，由于这个原因同步辐射也被命名为磁韧致辐射。
现在假设每电子的能量为，且相对论电子是各向同性的，则同步辐射的平均总功率为
（19）
把经典半径cm及光速值代入（17）、（19）式得
（ergs）（20）
（ergs）（21）
由（20）（21）式可知相对论电子辐射功率不仅与其能量成正比（及正比于），而且还正比于洛伦兹因子（Lorenzfactor）的平方，且正比于磁场强度的平方。
比较（6）与（20）或（7）与（21）可知相对论电子同步辐射的功率远大于非相对论电子回旋辐射的功率.
当电子的的速度接近光速c（即v→c）时，同步辐射的总功率为
对于相对论电子同步辐射的总功率公式进行化简即
（22）
由于其中是电子的静能，因此。
当成电子的能量。
所以（22）式就可以写成，上式说明相对论电子同步辐射的总功率与其能量E的四次方成正比。
例如，北京的同步辐射光源（即正负电子对撞机）来说，其能产生最高能量的电子E=2.8GeV,而0.5MeV，。
再由（4）与（22）式比较可知，同步辐射的总功率是回旋辐射的倍，即相对论电子同步辐射的功率比非相对论电子回旋辐射远远地增强，这是由于相对论时空变换的结果。
（2）同步辐射的谱
对于相对论电子，仍先考虑电子作圆轨道运动，谱公式的推导过程和非相对论电子回旋辐射是相同的，因此同步辐射谱的公式为（15）式。
同步辐射谱公式虽然与回旋辐射的相同，但是基频远远比回旋辐射的基频小（由于r〉〉1），因此在相对论电子情况下，相邻的谱线间隔（）变得很小，实际上已经成为了连续谱。
对于同步辐射公式（15）式作进一步修改，同步辐射的频率基本集中于峰值及其旁边（由于）,这说明（15）式中的正整数S应取大数（即S〉〉1）.而对于大数阶数S和大宗量的贝塞尔函数，将通过Watson和Nicolson导出的公式把（15）进行化简，这些公式为
以及
（23）
式中,则代表n阶修正的贝塞尔函数。
上面提到同步辐射的谱线间隔变得更小（由于）,且,因此分立的谱线已极不明显，而成为光滑的连续谱，因此（15）式将表示成单位[频率间隔中的辐射功率,即连续谱公式由（23）式代入（15）式得
.（S>>1）（24）
用代换,代换S得
（25）
其中是拉摩频率，参量定义为,其表示辐射的临界频率，比更高的频率的辐射极弱，实际辐射终止与。
（24）式即相对论电子的同步辐射谱公式。
通过谱公式可知谱线的形状取决于中括号内的函数，即）（26）因此可以把当作无量纲的同步辐射谱。
理论谱（26）在测量电子加速器中辐射的实验中得到证实，磁场为最大的电子能量为100MeW（相当于），测量的结果证实了观测到从直到的连续谱，其中,辐射延伸到呈蓝色的可见光波段。
对于螺旋轨道相对论电子的谱公式和（24）式非常类似，只是把式中的都用代替即可，从而得到螺旋轨道相对论电子的同步辐射的谱公式为
由上式可知螺旋轨道电子的同步辐射的谱形和圆轨道电子的形似，只是临界频率发生了改变，还有观察者收到的辐射脉冲周期小于原来发射的周期，这是由于同步辐射具有很强的方向性。
（3）同步辐射的角分布
对
（2）式中的三矢积进行展开得
上式进行平方运算得
（27）
构建一个坐标系沿着z轴，在-z平面相对于的夹角为i，单位矢量描述有构成的的观测方向，即
在x方向有加速度为和z方向有速度为的电荷在x-z平面的辐射角的模型，在非相对论和相对论运动的情况下
，
由上面的公式和通过（27）是给出接收功率的角分布，角i是推迟时间T内和的夹角，当平行于（即）时，可以得到
当垂直于（即）时可以得到
如图是极端情况下的非相对论运动和相对论运动的角分布图形
其中的非相对论电子的角分布和的图1及图2给出的相对论电子辐射角分布有很大的不同，前者有很宽的角范围的辐射，而后者具有方向性，这种方向性也加作相对论粒子辐射的集束效应，以上的不同主要是由于高能粒子在其辐射方向上的多普勒效应而增强的，而其他方向，特别是背靠着速度的方向上辐射剧减。
（4）同步辐射的偏振特性
为方便说明同步辐射的偏振，必须将电矢沿两个与辐射方向垂直的，并且彼此互相垂直的方向，分解。
规定为方向垂直于磁场及传播方向的单位矢，而为垂直于和传播方向的单位矢。
也就是磁场在垂直于波传播方向的平面的投影方向。
电矢，由于同步辐射有很强的方向性，，所以对于一个投射角是α而速度为β的电子，电子的瞬时速度方向β（图中用α表示）与它的辐射方向（的方向在图中用θ表示）几乎是一致的，即。
辐射方向和速度方向间的微小差异我们用表示。
沿方向传播的同步辐射，其电矢的两个分量正好有的相位差，这表明同步辐射是椭圆偏振波，偏振椭圆的短轴与长轴分别平行于，其椭率b有下式给出：
其中是个小量，，宗量，。
由上式椭圆偏振光是左旋或右旋，由的正负号决定，是很小的数，因此有。
尤其在时，即电子速恰好指向观察者，，辐射将成为线偏振。
4、曲率辐射
在磁场很强的情况下，非相对论热电子的回旋辐射是很很重要的机制，然而相对论电子得不到持续不断的大量的提供，而使得同步辐射机制的重要性变小，这是由于相对论电子在强磁场条件下寿命太短。
虽然相对论电子在垂直于场强的速度很快消亡（转变成的非相对论电子），但是在平行于磁场的速度仍保持相对论性，此时在磁场中就会产生一种新的辐射机制
曲率，它是同步辐射的补充，有很大的重要性。
曲率辐射是指相对论电子在很强的磁场中沿弯曲磁力线运动是而产生的辐射。
由于电子沿磁力线的运动是相对论运动，于是其运动类似沿圆轨道运动的相对论电子，因此曲率辐射的性质与同步辐射相似。
5、宇宙中的回旋辐射、同步辐射和曲率辐射
同步辐射是非热辐射，其辐射主要集中在在射电波段。
宇宙空间中，许多Seyfert星系在光学波段很暗，但在射电波段却异常地亮，比太阳差不了多少（注意，这些河外星系到地球的距离是太阳到地球距离的10>12倍）。
这类Seyfert星系在射电波段的辐射光度Lν∝ν-α,其中谱指数α通常为0.7<α<1.2。
同时，射电波段的辐射是高度偏振的。
这说明这类Seyfert星系发射同步辐射。
在Seyfert星系的外围存在尺度达几千光年的射电瓣，射电瓣中有强度为10-9特斯拉的磁场。
根据前面的计算公式，相对论性自由电子在5GHz的频率附近可以同步辐射一千万年。
但是如果在1015GHz的可见光波段，电子的同步辐射“寿命”就只有几千年。
而X射线波段的寿命更短了。
天文学家认为随着脉冲星旋转的磁场产生强电场（约1014Vm），加速了脉冲星表面的电子和质子。
自由电子和质子获得了足够的动能，有些垂直强磁场运动，产生同步辐射，有些沿两磁极处的磁力线运动，产生了曲率辐射。
六、回旋辐射、同步辐射和曲率辐射的应用
由于同步辐射具有上述特点，它在物理学、材料科学、化学以及生命科学的基础与应用研究，和医学、光刻、显微照相等技术领域有着非常广泛的应用。
在研究光子与物质相互作用领域，同步辐射使传统的的光电子谱技术增加了很多功能，因为它和单色仪配合能够获得从真空紫外到x射线范围，波长连续可变的单色光子。
因此，在固体表面和界面的研究中促进了微电子工业和化学工业等方面的迅速发展。
有波动理论可知，用辐射探测物体时波长必须等于或小于这个物体的线度，而同步辐射具有高分辨率，高亮度X射线的特性，则对研究原子和分子的结构是非常适合的。
所得到的显微照相可显示试样的化学成分，由此在分子生物学，微电子学等领域可以提供重要的信息。
分子内的电子对X射线光子的吸收是取决于分子相对偏振的取向，而同步辐射的偏振性质可用来测定吸附在表面上的分子的排列取向，这一测定所得到的信息，对研究腐蚀、催化过程是很重要的。
同步辐射的独特性能也能给工业与医学方面提供可能性。
由于同步辐射源提供的高亮度，高分辨率的X射线束，可以获得清晰度很高的衍射图样，因而可了解试样的晶体结构，为提高药品质量、研制性能优良的聚合物材料提供了依据。
目前同步辐射在材料科学每个领域都有应用，例如，波音公司研发了一种新型聚合树脂，在757型飞机上替代铝材，使得飞机重量减少了30%，成本大幅度减少。
在医学上，例如使用同步辐射波长可调的特性，可以用来拍摄X光照片，如波长调到对比显示剂碘的吸收边时，是它的灵敏度有二、三个量级的提高，如此和常规的X光源相比较，以同步辐射光源显示冠状动脉的血管图具有更好的效果。
参考文献
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[2]BlumentholandCould.Rev,Mod,Phys.，42（1970）237
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[8]Sunyaev,R.,Zeldovich,Y.,Small-scalefluctuationsofrelicradiation,AstrophysicsandSpaceScience,1970,7,p3–19.
致谢
在本文的写作过程中，我特别要感谢我的指导老师袁金照，他在最初我无法找到资料，甚至对于自己的写作内容都很生疏的情况下是老师严谨的作风，渊博的学识。
不仅帮助我了解了内容，同时再次过程中帮助我掌握了怎样快速、高效完成学习的方法。
此外，还让我明白了一个道理，“大多数人在独立完成一件事时，往往是被自己所打败的。
”因此，我时刻告诫自己无论遇到多大的困难都要坚持下去，或许有的时候收获是出乎意料的。
在学作过程中虽然光键在于自己，但是如果没有老师在百忙之中仍不忘认真地批阅并及时提出宝贵的建议。
是不会有今天我对论文的深刻认识和较为圆满的成果。
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