不定积分含变上限积分和微分解题方法.docx
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不定积分含变上限积分和微分解题方法
精品
不定积分和微分
一、公式df（x）dxf（x）和f/（x）dxdf（x）dxf（x）c的应用
dxdx
注意：
f（x）的不定积分为F（x）cF（x）是f（x）的原函数f（x）是F（x）的导数，
即f（x）dxF（x）c或F/（x）f（x）
1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理
已知
f（（x））dx
F（x）
c，求f（x）
方法：
求导得
f（
（x））
F/（x），令（x）
t，则x
1（t），即f（x）
F/（
1（x））
例1
（1）
f（x）dx
x2
c，求
xf（1
x2）dx
解：
对
f（x）dx
x2
c求导得
f（x）2x，f（1x2）
2
2x2
则xf（1x
2
）dx
2
）dxx
2
2x2
x（22x
c
3
（2）
xf（x）dx
arcsinx
dx
c，求
f（x）
解：
对
xf（x）dx
1
，即f（x）
1
arcsinxc两边求导得xf（x）
x2
x1
x2
1
3
dx
x1x2dx
1
1x2d（1x2）
1（1x2）2
c
f（x）
2
3
2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理
已知F/（（x））f（x），求F（x）
方法：
令（x）t，则x1（t），即F/（t）f（/（t）），故F（x）f（/（t））dt
例2
（1）f/（sin2x）tan2x，求f（x）
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精品
解：
令sin2
x
t，则cos2t
1
t，tan2x
sin2
x
t
t
cos2
x
1
即f/（t）
t
t
两边积分的f（t）
1
t
dt
t
ln|t
1|
c
1
t
（2）已知f/
（
x）
x[f
/（x）
1]，求f（x）
解：
令
x
t，则上式为
f
/（t）
t[f/
（
t）1]，即f
/
（x）
x[f/（x）1]
由上面两式得
f/（x）
x
2x
1
2
两边积分得f（x）
2x
dx
ln（x2
1）
c
x2
1
（3）设f（u）在
u
内可导，且
f（0）
0，又
f
（lnx）
1
0
x
1
，求f（u）
x
x
1
解：
令lnx
t得x
et
，则
f/
（t）
1
0
et
1
即f
/
（t）
1
t
t
0
et
et
1
e2
t
0
当t
0
时，f
/（t）
1，两边积分得
f（t）
dt
t
c1
t
t
t
当t
0
时，f
/（t）
e2，两边积分得
f（t）
e2dt
2e2
c2
又因为设f（t）在
u
内可导，所以
f（t）在
u
内连续
t
而lim
f（t）
lim（2e2
c2）
2
c2，lim
f（t）
lim（t
c1）
c1
t0
t
0
t
0
t
0
因为f（t）在t
0处连续，则2
c2
c1
0，即c1
0,c2
2
故f（t）
t
t
0
t
2e2
2
t
0
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精品
（4）设y
f（x）在x处的改变量为
y
y
x
o（
x）（
x
0），y（0）
1，求
1
x
y/
（1）
解：
由
y
y
x
x
o（x）
知
y/
y
x
即dy
1
dx
1
1
y
x
两边积分得
dy
dx
ln（1
x）
c
y
1
得lny
x
而y（0）
1
故c
0，即y
1
x
故y/
（1）
1
（5）设f（x）
sint
f（x）dx
0
dt，求
t
0
sinxdx
xsinxdx
解：
f（x）dx
xf（x）|0
xf/（x）dx
0
0
0
x
0
x
sinxdx
2
0
二、已知F（x）是f（x）的原函数
F/（x）
f（x）
，求被积函数中含有f（
（x））的
f（x）dx
F（x）
c
积分
1、由f（x）
F/（x）求出f（x），代入积分计算
2、把积分转化为
f（
（x））d（
（x））的形式，利用f（x）dx
F（x）
c求值
例3
（1）sinx是f（x）的原函数，a
0，求
f（ax）dx
x
a
解：
因为
sinx
（x）的原函数，所以
sinx
c
是f
f（x）dx
x
x
f（ax）
ax
t1
f（t）dt
sint
sinax
而
dx
a2
a2t
c
a3x
c
a
（2）e
x是f（x）的原函数，求
x2f（lnx）dx
解：
因为
f（x）
（e
x）/
e
x，所以f（lnx）
1
x
2
xdx
x2
c
则xf（lnx）dx
2
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精品
三、已知f（x）的表达式，求被积函数中含有
f（
（x））的积分
1、由f（x）求f（
（x）），再把f（
（x））
的表达式代入积分计算
2、由f（x）先求
f（x）dx，把含有
f（
（x））的积分转化为
f（
（x））d（x）的形式处理
例4
（1）f（sin2
x）
x
，求
x
f（x）dx
sinx
1
x
解：
在
x
f（x）dx中，令x
sin2t得
1
x
x
f（x）dx
sin2t
f（sin2t）d（sin2t）
2sin2t
f（sin2t）dt
1
x
1sin2t
2
tsintdt
2
td（cost）
2tcost
2
costdt
2tcost
2sint
c
因为sint
x,cost
1
x,t
arcsin
x
x
f（x）dx
2
1x
arcsin
x
2x
c
所以
x
1
（2）f（x2
1）
ln
x2
2
，且f[（x）]
lnx求（x）dx
x2
解：
令x2
1
t，则f（t）
lnt
1
，而f[
（x）]
lnx
t
1
（x）
1
lnx
即
x
1
则ln
1
（x）
1
（x）
x
（x）dx
x1dxx2ln|x1|c
x
1
（3）（ex2
）/
f（x），f
/（x）连续，求
xf/
（x）dx
解：
因为（ex2
）/
f（x），所以f（x）
2xe
x2
，
f（x）dx
ex2
c
xf/（x）dx
xd[f（x）]
xf（x）
f（x）dx
2x2ex2
ex2
c
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精品
（4）
f（x）
xex
，求f/（x）lnxdx
解：
f/（x）
lnxdx
lnxd[f（x）]
f（x）lnx
f（x）dx
x
xexlnx
exdx
xexlnx
ex
c
（5）lnf（x）
cosx，求
xf/（x）
dx
f（x）
解：
xf/（x）dx
xd[lnf（x）]
xln
f（x）
ln
f（x）dx
f（x）
xcosx
cosxdx
xcosx
sinx
c
（6）设f（x）
x2
sint
1
dt，求
xf（x）dx
1
t
0
解：
因为f（x）
x2sint
dt，所以f
/
（x）
sinx2
2x
2sinx2
1
t
x
2
x
1
11
2
x2f（x）
1
11
2
f
/
（x）dx
1
2
dx
xf（x）dx
2
f（x）dx
2
|0
2
x
xsinx
0
0
0
0
1
1
sinx
2
dx
2
1
2
1
cos1
1
2
cosx
|0
2
2
0
2
四、利用凑微分法求积分
注意：
f/[g（x）]
g/（x）dx
f/[g（x）]
d[g（x）]
d[f（g（x））]
例5
（1）f（0）
1，f
（2）
3，f/
（2）
5，求
1
xf//
（2x）dx
0
解：
1
//
令2xt
1
2
//
（t）dt
1
2
/
（t）]
tf
/（t）2
1
2
/
（t）dt
xf
（2x）dx
4
tf
4
td[f
|0
4
f
0
0
0
4
0
f/
（2）
f
（2）
f（0）
2
2
4
（2）设f（x）二阶可导，f
/（b）
a，
f/
（a）
b
f/（x）f
//（x）dx
b，求
a
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1f（x）
1
精品
解：
f/
（x）f//
（x）dx
f/
（x）d[f/
（x）]
[f
/
（x）]
2
a
2
b
2
|ab
b
b
a
a
2
2
（3）设
[f（x）
f//（x）]sinxdx
5，f（
）
2，求f（0）
0
解：
f//（x）sinxdx
sinxd[f/
（x）]
0
f/（x）cosxdx
0
0
0
cosxd[f（x）]
f（0）
f（）
f（x）sinxdx
0
因为
[f（x）
f//
（x）]sinxdx5，所以
0
f（0）
f（）
5而f（）
2，故f（0）
7
五、已知F/（x）
f（x），且f
（x）F（x）g（x），求f（x）
2
方法：
两边积分F/（x）F（x）dxg（x）dx，得F（x）g（x）dx，求f（x）2
例6
（1）F（x）是f（x）的原函数，且
x
0
时，有f（x）
F（x）sin22x，又F（0）
1，
F（x）
0，求f（x）
解：
因为
F（x）
是
f（x）
的原函数，所以
F
/
（
x
f
（
x
，
）
）
由于
f（x）
F（x）
sin22x
故F/（x）
F（x）
sin22x，
两边积分得
F/（x）F（x）dxsin
2
2xdx
1
dx
1cos4xdx
x
sin4x
c1
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