小学奥数专题28 不规则图形面积计算.docx

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小学奥数专题28不规则图形面积计算

不规则图形面积计算

（1）

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

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实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些.拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算基本图形组合、不规则图形。

一般我们称这样的图形为不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？

我们可以针对这那么，差关转化为基本图形的和、些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们，问题就能解决了。

系一、例题与方法指导

如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分1例厘米.求阴影部分的面积。

别是10厘米和12思路导航：

“空白”乙两个正方形面积之和减去三个阴影部分的面积等于甲、EFG）的面积之和。

ABG三角形（△、△BDE、△

ADF、△厘米，ABCD的边长为6△ABE正方形例2如右图，.的面积的面积彼此相等，求三角形与四边形AECFAEF

思路导航：

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的面积彼此相等，∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积都等于正方形ADF∴四边形AECF的面积与△ABE、△1的。

ABCD3因此CE=CF=2，所以BE=4，同理DF=4，在△ABEAB=6.中，因为2=2。

2ECF的面积为2×÷∴△ECF=12-2=10（平方厘米）。

△AEF=S四边形AECF-S△所以S

厘米10例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是

C

和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：

在等腰直角三角形ABC中B

AB=10

∵，∵EF=BF=AB-AF=10-6=4BEF=25-8=17（平方厘米）。

△∴阴影部分面积=S△ABG-S

ABC，若△边上中点，为△ACDE的DEBC=CD如右图，4例

（阴影部分）面积为5平方厘米.

求△ABD及△ACE的面积.

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思路导航：

等底、等高，和△ABC中点F，连结AF.因为△ADF、△取BDABF.

5平方厘米所以它们的面积相等，都等于平的面积等于10∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD方厘米。

15的面积是又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE

平方厘米。

二、巩固训练的面积1.如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE

4求正方，DEC的面积的平方厘米，是8它是三角形5的面积。

形ABCD

的垂线交E作BCAD于F。

解：

过AEF=8.△△是对角线，所以SABE=S中在矩形ABEFAE。

△是对角线，所以在矩形CDFE中DES△ECD=SEDF2求阴影部分的，AE=ED,BD=BC.ABC=1S.2如右图，已知：

△

3面积。

AE=EDDF解：

连结。

∵，D

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∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED

厘米，矩形CG=34厘米，3.如右图，正方形ABCD的边长是等于多少厘米？

厘米，求它的宽DEDEFG的长DG为5

中，在△ADGH垂直于DG于，解：

连结AG，自A作AH.

AD上的高）AD=4，DC=4（DG=5，÷2=8，又△∴SAGD=4×4，DG÷2×∴S△AGD=AH（厘米），2÷5=3.2∴AH=8×（厘米）。

∴DE=3.2的AED6米，△如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高4.

.BC=10米，求阴影部分面积5面积是平方米，2+下底）×高÷解：

∵梯形面积=（上底

，6÷245=即（AD+BC）×2，÷45=（AD+10）×6

米。

2÷6-10=5×∴AD=452米。

∴△ADE的高是6-2=4ADEEBC△的高等于梯形的高减去△的高，即米，5/14

都是平行四边形，证明它们DEFG5.如右图，四边形ABCD和

.

的面积相等，证明：

连结CE面积的2倍，ABCD的面积等于△CDEDEFG的面积也是△CDE面积2倍。

ABCD的面积与∴DEFG的面积相等。

不规则图形面积计算

（2）

（一）由圆、扇形、弓形与三角形、不规则图形的另外一种情况，就是这是一类更为复杂的不规则正方形、长方形等规则图形组合而成的，变动图形的位置或对图形进行适当为了计算它的面积，常常要图形，，同时手段使之转化为规则图形的和、差关系的分割、拼补、旋转等＋＝B之间有：

SS与集合还常要和“容斥原理”（即：

集合AABA∪S-S）合并使用才能解决。

BA∩b一、例题与方法指导

以正方形的三条边为直径向如右图，在一个正方形内，.例1

内作三个半圆.求阴影部分的面积。

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解法1：

把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法2：

将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。

解法3：

将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.

例2.如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为

4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

圆心以S-S＋＝解：

由容斥原理SSABCD扇形ACD阴影ACB扇形正方形

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例3如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，＝6厘米，扇形ABE半径AE

的半扇形厘CBFCB=4求阴影部分的面积。

米，

＝AB中，AB是圆的直径，且例4.如右图，直角三角形ABC平方厘米，720厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大长。

求BC平方厘米，就已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7分析

又知半圆直径平方厘米；ABC是半圆面积比三角形面积大7平方厘米，半圆面积减去7厘米，可以求出圆面积AB＝20.

.

的长进而求出三角形的底ABC就可求出三角形的面积，BC

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二、巩固训练厘米，求阴影部厘米和6101.如右图，两个正方形边长分别是分的面积。

的直角三角形面积与图高为6阴影部分的面积，等于底为16、分析的正方形的面积减6I中（）的面积之差。

而（I）的面积等于边长为

16去为半径的圆的面积。

以4

°，此时60A如右图，将直径AB为3的半圆绕逆时针旋转2.

=3AC的位置，求阴影部分的面积（取π）.AB到达

为直CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB解：

整个阴影部分被线段右侧的部分面积设其中弦AD分成两部分，AD径的半圆被

弓形后，由于弓形S为，AD去掉是两个半圆的公共部分，AD9/14

两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：

3.如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.

是半D如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，4.

，求是半圆的直径，且圆周上的中点，BCAB=BC=103.14阴影部分面积（π取）。

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解：

∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等

为正方形（利用对称性质）。

，则ABCEACE的等腰直角三角形

对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则总结：

.问题便得到解决差关系，图形的组合，分析整体与部分的和、有：

常用的基本方法相加法：

一、

分别这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，右图中，要例如，计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.再求出下面正方形求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，的面积，然后把它们相加就可以了.

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二、相减法：

这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.

三、直接求法：

这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来。

四、重新组合法：

这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.

五、辅助线法：

这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相12/14

减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.

六、割补法：

这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.

七、平移法：

这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正

方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：

这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图

（1）中阴影部分的面积，

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可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图

（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

九、对称添补法：

这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形

ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

十、重叠法：

这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。

例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.

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