高中物理一轮复习学案第十三章第1讲 机械振动.docx

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高中物理一轮复习学案第十三章第1讲机械振动

第1讲　机械振动

ZHISHISHULIZICEGONGGU

知识梳理·自测巩固

知识点1　简谐运动

1．简谐运动的规律：

质点的位移与时间的关系遵从__正弦函数__规律，质点的振动图象（x－t图象）是一条__正弦曲线__。

2．平衡位置：

（1）如图所示，平衡位置是物体在振动过程中__回复力__为零的位置，并不一定是__合力__为零的位置。

（2）回复力：

使振动物体返回到__平衡位置__的力，其方向总是指向平衡位置。

属于__效果力__，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

3．描述简谐运动的物理量：

物理量

定义

意义

位移（x）

由__平衡位置__指向质点__所在位置__的有向线段

描述质点振动中某时刻的位置相对于__平衡位置__的位移

振幅（A）

振动物体离开平衡位置的__最大距离__

描述振动的__强弱__和能量

周期（T）

振动物体完成一次__全振动__所需时间

描述振动的__快慢__，两者互为倒数：

T＝__

__。

频率（f）

振动物体__单位时间__内完成全振动的次数

知识点2　简谐运动的表达式和图象

1．简谐运动的表达式

（1）动力学表达式：

F＝__－kx__，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

（2）运动学表达式：

x＝__Asin（ωt＋φ）__，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢。

2．简谐运动的图象

（1）从__平衡位置__开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图甲所示。

（2）从__最大位移处__开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图乙所示。

知识点3　单摆、周期公式

简谐运动的两种模型的比较

模型

弹簧振子

单摆

示意图

简谐运

动条件

（1）弹簧质量可忽略

（2）无摩擦等__阻力__

（3）在弹簧弹性限度内

（1）摆线为不可伸缩的轻细线

（2）无空气阻力

（3）最大摆角小于5°

回复力

弹簧的__弹力__提供

摆球__重力__沿与摆线垂直方向的分力

平衡位置

弹簧处于__原长__处

__最低__点

周期

与__振幅__无关

T＝__2π

__

能量转化

弹性势能与动能的相互转化，__机械能__守恒

重力势能与动能的相互转化，__机械能__守恒

知识点4　受迫振动和共振

自由振动、受迫振动和共振的比较

振动类型

比较项目　

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回复力

周期性__驱动力__作用

周期性__驱动力__作用

振动周期或频率

由系统__本身性质__决定，即固有周期或固有频率

由驱动力的周期或频率决定，即T＝__T驱__或f＝__f驱__

T驱＝__T固__或f驱＝__f固__

振动能量

振动物体的机械能__不变__

由产生驱动力的物体提供

振动物体获得的能量__最大__

思维诊断：

（1）简谐运动是匀变速运动。

（　×　）

（2）周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。

（　√　）

（3）振幅等于振子运动轨迹的长度。

（　×　）

（4）简谐运动的回复力可以是恒力。

（　×　）

（5）弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。

（　√　）

（6）单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。

（　×　）

（7）物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。

（　√　）

（8）简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。

（　×　）

自测巩固

ZICEGONGGU　　

1．（多选）关于简谐运动的周期，以下说法正确的是（　ACD　）

A．间隔一个周期的两个时刻，物体的振动情况完全相同

B．间隔半个周期奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同

C．半个周期内物体动能的变化一定为零

D．一个周期内物体势能的变化一定为零

[解析]　根据周期的意义知，物体完成一次全振动，所有的物理量都恢复到初始状态，故选项A、D正确；当间隔半个周期的奇数倍时，所有的矢量都变得大小相等、方向相反，故选项B错误；由于间隔半个周期各矢量大小相等，所以物体的动能必定相等，没有变化，故选项C正确。

2．如图所示为某质点在0～4s内的振动图象，则（　C　）

A．质点振动的振幅是2m，质点振动的频率为4Hz

B．质点在4s末的位移为8m

C．质点在4s内的路程为8m

D．质点在t＝1s到t＝3s的时间内，速度先沿x轴正方向后沿x轴负方向，且速度先增大后减小

[解析]　由题图可知振动的振幅A＝2m，周期T＝4s，则频率f＝

＝0.25Hz，选项A错误；振动质点的位移是质点离开平衡位置的位移，4s末的位移为零，选项B错误；路程s＝4A＝8m，选项C正确；质点从t＝1s到t＝3s的时间内，一直沿x轴负方向运动，选项D错误。

3．某同学在研究单摆的受迫振动时，得到如图所示的共振曲线。

横轴表示驱动力的频率，纵轴表示稳定时单摆振动的振幅。

已知重力加速度为g，下列说法中正确的是（　A　）

A．由图中数据可以估算出单摆的摆长

B．由图中数据可以估算出摆球的质量

C．由图中数据可以估算出摆球的最大动能

D．如果增大该单摆的摆长，则曲线的峰将向右移动

[解析]　从单摆的共振曲线可以得出单摆的固有频率，单摆的固有频率等于振幅最大时的驱动力的频率，根据单摆的频率可以计算出单摆的周期，根据单摆的周期公式可以算出单摆的摆长，选项A正确；从单摆的周期无法计算出单摆的摆球质量和摆球的最大动能，选项B、C错误；如果增大单摆的摆长，单摆的周期增大，频率减小，曲线的峰将向左移动，选项D错误。

HEXINKAODIANZHONGDIANTUPO

核心考点·重点突破

考点一　简谐运动的基本特征及应用

1．动力学特征

F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2．运动学特征

简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，但加速度方向与位移方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征

相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

4．对称性特征

（1）相隔

或

（n为正整数）的两个时刻，振子的位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

（2）如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP＝OP′）时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

（3）振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。

（4）振子往复过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP＝tPO。

5．能量特征

振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

　例1　（2020·重庆调研）（多选）某弹簧振子做周期为T的简谐运动，t时刻和t＋Δt时刻速度相同，已知Δt

A．t时刻和t＋Δt时刻位移相同

B．t时刻和t＋Δt时刻加速度大小相等，方向相反

C．可能有Δt>

D．可能有Δt<

E．一定有Δt＝

[解析]　本题考查弹簧振子的周期、位移、加速度的关系。

因弹簧振子在t时刻和t＋Δt时刻速度相同，可知两个时刻振子的位置关于平衡位置对称，则t时刻和t＋Δt时刻位移大小相同，方向相反，加速度大小相等，方向相反，故A错误，B正确；由振子的运动规律可知，Δt可能大于、小于或等于

，故C、D正确，E错误。

方法总结：

分析简谐运动的技巧

（1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁。

位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之则产生相反的变化。

另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

（2）分析简谐运动的过程时，要特别注意其周期性和对称性。

〔类题演练1〕

（2020·辽宁鞍山模拟）（多选）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为（　BD　）

A．0.53s　B．1.4s

C．1.6s　D．2s

[解析]　如图甲所示，设O为平衡位置，OB（OC）代表振幅，振子从O→C所需时间为

。

因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故

＝0.3s＋

s＝0.4s，解得T＝1.6s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2s。

振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为

＝

s，故周期为T＝0.5s＋

s≈0.53s，所以周期不可能为选项B、D。

考点二　简谐运动的图象

1．图象特征

（1）简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。

（2）图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。

（3）任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小，正负表示速度的方向，正时沿x轴正方向，负时沿x轴负方向。

2．图象信息

（1）由图象可以看出质点振动的振幅、周期。

（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

（3）可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。

①回复力和加速度的方向：

因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图象上总是指向t轴。

②速度的方向：

速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离t轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向t轴。

（4）可以确定某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。

　例2　（2019·湖南衡阳一模）（多选）甲、乙两弹簧振子运动图象如图所示，则可知（　ACE　）

A．甲速度为零时，乙速度最大

B．甲加速度最小时，乙速度最小

C．两个振子的振动频率之比f甲︰f乙＝1︰2

D．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同

E．任一时刻两个振子的振幅之比为A甲︰A乙＝2︰1

[解析]　本题根据振动图象考查两振子相关物理量的比较。

t＝0.5s时，甲位于最大位移处，图象的斜率表示速度，速度为零，而此时乙位于平衡位置，图象的斜率最大，速度最大，故A正确；在t＝1.0s或t＝2.0s时，甲的加速度最小，位于平衡位置，回复力为零，此时，乙也位于平衡位置，回复力为零，速度最大，故B、D错误；频率与周期互为倒数，频率之比为周期之比的反比，由图象可知，甲、乙的周期之比为2︰1，故频率之比为1︰2，故C正确；振幅为弹簧振子做简谐运动的最大距离，由图象可知，甲、乙最大距离之比为2︰1，振幅之比为2︰1，故E正确。

规律总结：

（1）简谐运动图象中，任意时刻图线上某点切线斜率表示该时刻质点的速度；斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负反映速度的方向。

（2）振动质点的加速度的大小变化规律与质点的位移的大小变化规律相同，两者方向始终相反。

在振动图象中，根据位移的大小和方向比较加速度的大小比较直观。

〔类题演练2〕

（2019·山西太原五中模拟）（多选）一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是（　BCD　）

A．质点振动频率为4Hz

B．在10s内质点经过的路程是20cm

C．在5s末，质点的速度为零，加速度最大

D．t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是

cm

E．质点的速度随时间的变化规律v＝2πcosπt（cm/s）

[解析]　本题根据图象考查简谐运动相关物理量的分析与计算。

由图读出周期为T＝4s，则频率为f＝

＝0.25Hz，故A错误；质点在一个周期内通过的路程是4A，t＝10s＝2.5T，则在10s内质点经过的路程是s＝2.5×4A＝10×2cm＝20cm，故B正确；在5s末，质点位于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，故C正确；因质点的位移随时间变化规律为x＝Asin

t（cm）＝2sin

t（cm），分别代入t＝1.5s和t＝4.5s，质点的位移均为

cm，质点的速度v随时间t的变化规律为v＝πcos

t（cm/s），故D正确，E错误。

考点三　受迫振动和共振

1．共振曲线：

如图所示的共振曲线，曲线表示受迫振动的振幅A（纵坐标）随驱动力频率f（横坐标）的变化而变化。

驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大。

2．受迫振动中系统能量的转化：

做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

　例3　（2019·郑州模拟）（多选）如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。

开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。

现匀速转动摇把，转速为240r/min。

则（　BD　）

A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5s

B．当振子稳定振动时，它的振动频率是4Hz

C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大

D．振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功

[解析]　摇把匀速转动的频率f＝n＝

Hz＝4Hz，周期T＝

＝0.25s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，选项A错误，B错误；当转速增大时，其频率将更远离振子的固有频率2Hz，弹簧振子的振幅将减小，选项C错误；外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，选项D正确。

〔类题演练3〕

（2019·沈阳检测）（多选）某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的（　AD　）

A．a点　B．b点

C．c点　D．一定不是c点

[解析]　简谐振子自由振动时，设周期为T1；而在某驱动力作用下做受迫振动时，设周期为T2；显然T1

，有f1>f2；题图乙中c点处代表发生共振，驱动力频率等于固有频率f1；做受迫振动时，驱动力频率f2

考点四　实验：

用单摆测定重力加速度

1．实验原理

当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π

，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝

。

因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。

2．注意事项

（1）构成单摆的条件：

细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°。

（2）要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。

（3）测周期的方法：

①要从摆球过平衡位置时开始计时。

因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大。

②要测多次全振动的时间来计算周期。

如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次。

（4）本实验可以采用图象法来处理数据。

即用纵轴表示摆长l，用横轴表示T2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝

。

这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法。

3．数据处理

处理数据有两种方法：

（1）公式法：

测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝

求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值

，然后代入公式g＝

求重力加速度。

（2）图象法：

由单摆周期公式不难推出：

l＝

T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，图象应是一条通过原点的倾斜直线，求出图线的斜率k＝

，即可利用g＝4π2k求得重力加速度值，如图所示。

　例4　某同学在“用单摆测量重力加速度的大小”实验中进行了如下的操作：

（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，摆球直径为__2.06__cm。

把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L。

（2）用秒表测量单摆的周期。

当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝__2.28__s（结果保留三位有效数字）。

（3）测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－l图象如图丙，此图线斜率k与重力加速度g的关系是__k＝

__。

[解析]　

（1）摆球的直径为d＝20mm＋6×0.1mm＝20.6mm＝2.06cm。

（2）秒表的读数为t＝60s＋7.4s＝67.4s，根据题意t＝

T＝

T，所以周期T＝

≈2.28s。

（3）根据单摆周期公式T＝2π

，可得

＝

＝k（图线斜率），故k＝

。

2NIANGAOKAOMONIXUNLIAN

2年高考·模拟训练

1．[2019·全国卷Ⅱ，34

（1）]如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方

l的O′处有一固定细铁钉。

将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。

当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。

设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。

下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是（　A　）

AB

CD

[解析]　摆长为l时单摆的周期T1＝2π

，振幅A1＝lα（α为摆角），

摆长为

l时单摆的周期T2＝2π

＝π

＝

，振幅A2＝

lβ（β为摆角）。

根据机械能守恒得mgl（1－cosα）＝mg

（1－cosβ），利用cosα＝1－2sin2

，cosβ＝1－2sin2

，以及sinα＝tanα＝α（α很小），解得β＝2α，故A2＝

A1，故选项A正确。

2．（2019·江苏13B）（多选）一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的（　AC　）

A．位移增大　B．速度增大

C．回复力增大　D．机械能增大

[解析]　在单摆的偏角增大的过程中，摆球远离平衡位置，故位移变大，速度变小，回复力变大，机械能保持不变，选项A、C正确。

3．（2018·天津卷，8）（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。

t＝0时振子的位移为－0.1m，t＝1s时位移为0.1m，则（　AD　）

A．若振幅为0.1m，振子的周期可能为

s

B．若振幅为0.1m，振子的周期可能为

s

C．若振幅为0.2m，振子的周期可能为4s

D．若振幅为0.2m，振子的周期可能为6s

[解析]　若振幅为0.1m，则t＝

＋nT（n＝0,1,2，…）。

当n＝0时，T＝2s；n＝1时，T＝

s；n＝2时，T＝

s。

故选项A正确，选项B错误。

若振幅为0.2m，振动分两种情况讨论：

①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为

，周期最大为2s。

甲

②振子振动如图乙中实线所示。

图乙

由x＝Asin（ωt＋φ）知

t＝0时，－

＝Asinφ，φ＝－

，

即振子由C点振动到O点用时至少为

，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为

，则T最大为6s。

若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，则T＝2s。

综上所述C错误，D正确。

4．（2020·湖北荆州中学月考）（多选）质点沿y轴做简谐运动的振动图象如图所示，下列说法正确的是（　ADE　）

A．该质点的振动周期为0.4s

B．t＝0.04s时，该质点沿y轴负方向运动

C．在一个周期内，该质点的位移为0.4m

D．t＝0.2s时，该质点受到的回复力等于0

E．在0.3～0.5s内，该质点的速度先增大后减小

[解析]　本题根据图象考查简谐运动相关物理量的分析与计算。

由振动图象可知，该质点的振动周期为0.4s，故A正确；由图象可知，在0～0.1s时间内，该质点沿y轴正方向运动，故B错误；质点振动一个周期后回到初始位置，则质点的位移为0，故C错误；在t＝0.2s时，由图象可知，此时该质点在平衡位置，此时受到的回复力等于0，故D正确；在0.3～0.5s内，该质点由最低点到平衡位置再到最高点，其速度先增大后减小，故E正确。

5．（2019·江西临川一中等九校联考）（多选）小李、小王两位同学利用假期分别在两个地方做“用单摆测重力加速度”的实验，回来后共同绘制了T2－L图象，如图甲中A、B所示，此外小李同学还顺便利用其实验的单摆探究了受迫振动，并绘制了单摆的共振曲线，如图乙所示，那么下列说法中正确的是（　ACE　）

A．单摆的固有周期由摆长和所处环境的重力加速度共同决定

B．由图甲分析可知A图象所对应的实验地点重力加速度较大

C．若将单摆放入绕地稳定飞行的宇宙飞船中，则无法利用单摆测出飞船轨道处的引力加速度

D．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆摆长为8cm

E．如果甲同学增大摆长，他得到的共振曲线的峰值将向左移动

[解析]　本题根据图象考查“用单摆测重力加速度”的实验。

根据单摆的周期公式T＝2π

知，固有周期由摆长L和重力加速度g决定，故A正确；根据T＝2π

得T2＝

L，所以T2－L图象的斜率k＝

，由图中A图象的斜率大于B图象的斜率，故A图象对应的重力加速度较小，故B错误；若将单摆放入绕地稳定飞行的宇宙飞船中，单摆处于完全失重状态。

不能在竖直平面内来回摆动，故C正确；由图乙可知，当驱动力的频率为0.5Hz时，摆球发生共振，故系统的固有频率为0.5Hz，固有周期T＝

s＝2s，根据T＝2π

，解得摆长L≈1m，故D错误；根据T＝2π

，若在同一地点增大摆长，则单摆固有周期变大，固有频率变小，则发生共振时的驱动力频率变小，共振峰向左移动，E正确。