初中数学 北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 同步练习.docx
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初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明同步练习
1.如图，P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC.以PB为边作等边△BPM，连接CM.
（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若∠APC=100°，△PMC为直角三角形，求∠APB的度数
A
M
P
C
B
2.如图，已知在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=
，求∠ABC+∠ADC的度数。
A
E
D
C
B
3.点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，M，N的连线交OA于点E，交OB于点F，若△PEF的周长为20cm，求线段MN的长。
拓展：
（1）若∠AOB=45º，连接OM，ON判断△MON的形状，并说明理由。
（2）已知点P在∠AOB内，在OA,OB上分别取点E,F，使△PEF周长最小，请画出图形，并写出过程。
F
E
M
N
P
O
B
A
4.已知如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90º，点D是BC边的中点，且BE=AF.
求证：
DE⊥DF
F
E
D
A
C
B
5.如图，△ABC中，∠ABC=90º，AB=CB，AE平分∠BAC，过点C作CD⊥AD于点D，
求证：
CD=
AE
A
E
D
C
B
6.以△ABC的两边AB,AC向外作等边三角形ABE,等边三角形ACD，连接BD,CE,交于点O.
（1）试写出图中和BD相等的一条线段，并说明理由。
（2）BD和CE的夹角大小与△ABC的形状有关吗？
说明理由。
C
P
E
O
D
A
B
G
E
C
B
A
F
7.如图所示，△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G，求证：
EG=FG
8.已知△ABC中，AB=AC，且过△ABC的某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数。
9.如图，△ABC中BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，且∠ABC=120º.
C
D
B
A
求证：
AB=2BC.
10.如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠ABP+∠ACP=180º，
求证：
PB+PC=PA
P
B
C
A
P
A
D
E
F
B
C
11.已知P是等边△ABC内任意一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别是D、E、F，试证明PD+PE+PF是不变的值。
12.如图所示，等边△ABC，D、E分别在AC、AB的延长线上，且CD=AE，
A
D
E
B
C
求证：
DB=DE
13.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：
AB+BD=AC.
2
1
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
图3
E
D
C
B
A
图2
D
C
B
E
A
图1
14.在图1至图3中，△ABC是等边三角形，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.
观察思考：
当点E为AB的中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：
AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）；
拓展延伸：
当点E不是AB的中点时，如图2，猜想线段AE与DB的大小关系是：
AEDB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由（提示：
在图2中，过点E作EF∥BC角AC于点F，得到图3）。
15.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD右侧作正方形ADEF.
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º
①当点D在线段BC上时，（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为
，数量关系为
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由。
C
B
F
D
E
A
（2）如图4，如果AB>AC，∠BAC>90º，点D在线段BC上运动，其余条件不变，猜想当∠BCA等于多少度时，CF⊥BC，请说明理由。
C
B
F
D
E
A
图2
图1
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
图4
图3
16.三角形ABC中，BD和CE是三角形的高，延长BD至点F，使BF=AC，在EC上取点P，使CP=AB，作FM垂直于BC，PN垂直于BC。
求证PN+FM=BC
F
N
M
P
E
D
C
B
A
P
C
B
A
17.如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90º，P为△ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC，则∠BCP=（）
18.如图，△ABC中，AB=AC，角BAC=90度，D为BC上一点，过D作DE垂直AD，且DE=AD，连接BE，求∠DBE的度数。
A
D
E
C
B
19.如图，△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AD且DE=AD，
求证：
CE⊥AC
A
C
E
D
B
20.△ABC为等边三角形,∠BDA=∠ADC=60°，试说明AD=BD+DC
D
C
A
B
N
M
E
B
D
C
A
21.在等边三角形ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边三角形CDE，使它与三角形ABC位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：
三角形CNM为等边三角形。
22.正方形ABCD，E为BC上一点，∠AEF为直角，CF平分∠DCG。
（1）如图
（1），当点E在线段BC上时，求证：
AE=EF
（2）如图
（2），当点E在BC的延长线上时，试判断AE=EF是否依然成立，并说明理由。
D
C
B
A
F
E
G
图
（1）
D
C
B
A
F
E
G
图
（2）
23.如图，ΔABC，ΔCDE是等边三角形，C为线段AE上一不动点
O
A
M
N
D
E
C
B
①CN∥AB
②AD=BE
③∠AOE=120度
④CM=CN
⑤OC平分∠AOE
⑥OB+OC=OA
⑦DM=CN其中正确的有…………
A
M
P
C
B
图
（1）
参考答案：
1.
（1）AP=CM
证明∶∵AB=BC，∠ABP=∠CBM，BP=BM
∴△ABP≌△CBM﹙SAS﹚∴AP=CM
A
M
P
C
B
图
（2）
（2）∵∠APC=100°
∴∠BAP+∠BCP=∠BCP+∠BCM=∠PCM=100-60=40°
若∠CPM=90°，如图
（1）
则∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-90-100=110°
若∠CMP=90°，如图
（2）
则∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-50-100=150°
2.过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB
∴∠AEC=∠AFC=90º，∠EAC=∠FAC,CE=CF
A
F
E
D
C
B
∴△AEC≌△AFC∴AE=AF
∵AE=
（AB+AD）
∴2AE=AB+AD
∴AB-AE=AE-AD
∴AB-AE=AF-AD，即EB=FD
在△EBC和△FDC中：
CE=CF，∠BEC=∠DFC=90º，EB=FD
∴△EBC≌△FDC
∴∠B=∠FDC，即∠ABC=∠FDC
F
E
M
N
P
O
B
A
∵∠FDC+∠ADC=180º∴∠ABC+∠ADC=180º
3.∵M、N分别是点P关于OA、OB的对称点
∴EP=EM，FP=FN
∴△PEF的周长=EP+EF+FP=EM+EF+FN，
即△PEF的周长=线段MN
∵△PEF的周长=20cm∴MN=20cm
（1）连接OM，OP，ON
∵M、N分别是点P关于OA，OB的对称点
∴OM=OP，ON=OP，∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB
∴OM=ON
∠MON=∠MOA+∠POA+∠NOB+∠POB=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB
∵∠AOB=45º，∴∠MON=90º，∴△MON是等腰直角三角形
（2）分别作点P关于OA，OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA，OB于点E、F
连接PE、PF，△PEF即为所求。
4.提示：
连接AD，证△ADF≌△BDE
5.提示：
延长AB与CD的延长线交于点F，证△ABE≌△CBF
6.提示：
（1）EC=BD
（2）∠BOP=∠BAE=60º，故∠BOP的大小与△ABC形状无关。
7.提示：
过点E作EM∥AC，交BC于点M，证△MEG≌△CFG
8.
（1）当在底边BC边上取点时，分两种情况：
45º
45º
45º
45º
A
E
C
B
图
（1）
x
F
x
x
2x
2x
A
C
B
图
（2）
如图
（1），在BC上取点E，使AE=BE=CE时，容易计算得∠B=∠C=45º，∠BAC=90º；
如图
（2），在BC上取点F，使AB=FB，AF=CF，设∠B=∠C=x，则∠FAC=x，∠BFA=∠BAF=2x，所以有x+x+x+2x=180º，x=36º，2x=72º，3x=108º，∠B=∠C=36º，∠BAC=108º；
3x
2x
2x
x
x
G
C
B
A
图（4）
（2）当在腰上取点时，也有两种情况：
x
2x
2x
x
x
D
C
B
A
图（3）
如图（3），在AC上取点D，使BD=AD=BC，设∠A=x，则∠ABD=x，所以∠BDC=2x，∠C=2x，∠DBC=x，所以有x+2x+2x=180º，x=36º，2x=72º.
所以∠A=36º，∠ABC=∠ACB=72º.
如图（4），在AC上取点G，使AG=BG，CG=CB，设∠A=x，则∠ABG=x，∠BGC=∠CBG=2x，
所以，∠ABC=∠ACB=3x，所以x+3x+3x=180º，x=
，3x=
.
所以∠A=
，∠ABC=∠ACB=
综上所述，△ABC各内角度数分别为45º，45º，90º或36º，36º，108º或36º，72º，72º或
，
，
C
D
E
B
A
9.如图，延长BD到点E，使DE=DB，连接AE.
△ADE≌△CDB，所以AE=BC，∠AED=90º，由∠ABC=120º，BD⊥BC，
所以∠ABD=30º，所以AB=2AE=2BC
10.延长PC到点D，使CD=BP，连接AD.
∵∠ABP+∠ACP=180º，∠ACP+∠ACD=180º
D
P
B
C
A
∴∠ABP=∠ACD.
在△ABP和△ACD中：
AB=AC，∠ABP=∠ACD，BP=CD
∴△ABP≌△ACD.
∴AP=AD，∠BAP=∠CAD.
∵∠BAP+∠PAC=60º，
∴∠CAD+∠PAC=60º，即∠PAD=60º
∴∠PAD=60º
∴△PAD是等边三角形
∴AP=PD=PC+CD
P
A
H
D
E
F
B
C
∴AP=PB+PC
11.过点A作AH⊥BC于H，连接PA、PB、PC.
∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC
BC.AH=
AB.PD+
BC.PE+
AC.PF
又∵AB=BC=AC，
∴AH=PD+PE+PF
∴PD+PE+PF的值是等边△ABC的高，是不变的值。
12.如图，延长AE到点F，使EF=AB，连接DF.
A
D
E
F
B
C
证明△ABD≌△FED
2
1
E
D
C
B
A
13.延长AB至点E，使BE=BD，连接DE，则∠BED=∠BDE
∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠ABD=2∠E
∵∠ABC=2∠C，∴∠E=∠C
在△AED和△ACD中：
∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，∴△AED≌△ACD
∴AC=AE
∵AE=AB+BE，∴AC=AB+BD即AB+BD=AC
14.提示：
证明△BDE≌△FEC
15.
（1）①CF⊥BD，CF=BD②成立。
提示：
证明△ABD≌△ACF
（2）如右图，过点A作AG⊥AC交BC于点G，
G
A
B
F
E
D
C
∴∠AGD+∠ACG=90º，∠GAD+∠DAC=90º
∵CF⊥BC
∴∠ACF+∠ACG=90º，
∴∠AGD=∠ACF
∵四边形ADFE是正方形
∴∠CAF+∠DAC=90º，AD=AF
∴∠GAD=∠CAF
在△AGD和△ACF中：
∠AGD=∠ACF,∠GAD=∠CAF,AD=AF
∴△AGD≌△ACF
∴AG=AC
∴∠AGC=∠ACG=45º
即∠BCA=45º
∴当∠BCA=45º时CF⊥BC
16.过点A作AQ⊥BC于点Q，
F
Q
N
M
P
E
D
C
B
A
∴
∠AQB=90º，∠BAQ+∠ABQ=90º
∵CE⊥AB
∴∠PCN+∠ABQ=90º
∴∠BAQ=∠PCN
∵PN⊥BC
∴∠CNP=90º
∴∠AQB=∠CNP
又∵AB=CP
∴△ABQ≌△CPN
∴BQ=PN
同理可证：
△ACQ≌△BFM,∴CQ=FM
∴PN+FM=BQ+CQ,即PN+FM=BC
P
C
B
A
17.作PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为M、N
∴四边形PMCN是矩形∴PN＝CM
∵PB＝PC
∴CM＝BM＝
BC＝
AC∴PN=
AC
∵AP=AC∴PN＝
AP
∴在直角△PAN中，∠PAN＝30º
∴∠PCA＝∠CPA＝75º
∴∠BCP＝90º－75º＝15º
A
M
N
D
E
C
B
18.过点A作AN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BC于点M
∴∠DME=∠AND=90º，∠DAN+∠ADN=90º
∵DE⊥AD
∴∠EDM+∠ADN=90º
∴∠EDM=∠DAN
在△EDM和△DAN中：
∠DME=∠AND，∠EDM=∠DAN，DE=AD
∴△EDM≌△DAN
∴DM=AN，EM=DN
∵AB=AC，∠BAC=90º
∴BN=AN
∴BN=DM
∴BN-MN=DM-MN,即BM=DN
∴EM=BM
N
M
C
A
E
D
B
∴∠DBE=45º
19.提示：
过点A作AM⊥BC于点M，
过点E作EN⊥BC，交BC的延长线于点N
证明△AMD≌△DNE，其余如上题。
E
B
D
C
A
20.在DA上截取DE=BD，连接BE
∵∠BDA=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD=BE，∠DBE=60°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，∴∠ABC=∠DBE
∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，即∠ABE=∠CBD
∵BD=BE，BC=AB，∴△CBD≌△ABE﹙SAS﹚
∴CD=AE，∴AD=AE+DE=CD+BD
21.提示：
证明△ACD≌△BCE，然后证明△AMC≌△BNC
∴∠MCA=∠NCB，MC=NC
∵∠MCA+∠MCB=60º，
∴∠NCB+∠MCB=60º，即∠MCN=60º，∴△CNM为等边三角形。
22.提示：
（1）如图
（1），在AB上截取AH=EC，证明△AHE≌△ECF
（2）如图
（2），延长BA到点H，使AH=EC，证明△AHE≌△ECF
H
G
E
C
F
D
B
A
图
（2）
H
D
C
B
A
F
E
G
图
（1）
23.正确的有:
①②③④⑤⑥
①∠DCE=∠BAC=60°，则DC∥BA，即CN∥BA.
②AC=BC,DC=EC，∠ACD=∠BCE=120°，则△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE.
③△ACD≌△BCE，则∠ADC=∠BEC.
故∠AOE=180°-（∠OAE+∠BEC）=180°-（∠OAE+∠ADC）=180°-∠DCE=120°.
④CD=CE，∠BEC=∠ADC（已证），∠NCE=∠MCD=60°，
则△NCE≌△MCD（ASA），CM=CN.
⑤过点CP⊥AD，CQ⊥BE
∵△ACD≌△BCE（已证），∴CP=CQ.（全等三角形对应边上的高相等）
故OC平分∠AOE.（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
⑥在OA上截取OF=OC，连接CF.
∵OC平分∠AOE，∠AOE=120°.∴∠AOC=∠COE=60°，则△COF为等边三角形.
故CF=CO，∠CFO=∠COE=60°，∠AFC=∠BOC=120°
又△ACD≌△BCE（已证），∠CAD=∠CBE.
∴△ACF≌△BCO（AAS），AF=BO.所以，OB+OC=AF+OF=OA.
⑦错误.
由△NCE≌△MCD（已证），易知DM=EN.
∵∠CNE>∠NDE=∠DEC>∠NEC.
∴EN>CN（大角对大边），故DM=EN，DM>CN.
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