34实际问题与一元一次方程练习答案.docx
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34实际问题与一元一次方程练习答案
§实际问题与一元一次方程
（知识要点）
一、销售问题
在生活中，人们购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、原价（标价）、售价、打折等概念，在了解这些概念后，还必须熟悉销售问题中的两个基本关系式：
①利润＝售价－进价；②利润率＝
×100%.
在①式中若等式左边的“利润”为正，就是盈利；若为负，就是亏损；由①和②式可以得到：
利润＝售价－进价＝利润率×进价。
【例1】某商店将某种服装按进价提高30%作为标价，又以九折优惠卖出，结果仍可获利17元，则这种服装每件进价是多少元
分析：
此题要用的等量关系是：
利润＝售价－进价，如果把进价设为x元，则标价为（1＋30%）x，打九折后售价为×（1＋30%）x，再减去进价x元得到的就是利润17元。
解：
设这种服装每件的进价为x元，依题意列方程为：
×（1＋30%）x－x＝17
解得x＝100
答：
这种服装的进价是100元。
练习：
某商店对一种商品进行调价，按原价的八折出售，打折后利润率是20%，已知商品的原价是63元，求该商品的进价
二、行程问题
1、相遇问题：
主要是指两车（戓人）从两地同时相向而行。
其基本等量关系为两车（戓人）所行的路程这和恰好等于两地的距离；两车（或人）人开始行驶到相遇所用的时间相等。
2、追赶问题：
主要是指甲、乙同向而行，快者追慢者称为追赶问题。
①基本公式：
速度差×追赶时间＝被追赶的路程；
②对于同向同地不同时出发的问题有相等关系:
追赶者行进路程＝被追赶者行进路程；
③对于同时同向不同地出发的问题有等量关系：
追赶者的行驶时间＝被追赶者的行驶时间。
3、航行问题：
基本公式：
顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝静水速度－水速
顺风速度＝无风速度＋风速，逆风速度＝无风速度－风速
符号公式：
v顺水＝v静水＋v水v顺风＝v无风＋v风
v逆水＝v静水－v水v逆风＝v无风－v风
4、行程问题一般都能通过画线段示意图来分析，通过线段示意图，等量关系就能直观地显示出来，进而用方程表示出来。
【例2】某中学组织学生到校外参加义务植树活动，一部分学生先骑自行车先走，速度为9km/h，40min后其余学生乘汽车出发，速度为45km/h，结果他们同时到达目的地，则目的地距学校有多少km
分析：
题目中的等量关系为：
汽车行程＝自行车行程；骑自行车的时间－乘汽车时间＝40min。
解：
（方法一）设目的地距学校有x千米，则骑自行车的所用的时间为x/9小时，乘汽车所用的时间为x/45h。
依据题意列方程为：
－
＝
解得x＝
所以目的地距学校。
（方法二）设汽车行驶了x小时，则汽车x小时的行程＝自行车40分钟的行程＋x小时的行程。
如图所示：
依题意列方程为：
45x＝9（x＋
）
解得x＝
所以45×
＝
即目的地距学校千米。
练习：
1、A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行，甲的速度为23千米/时，乙的速度为21千米/时，甲骑了1小时后乙从B地出发，问甲出发后经过几小时与乙相遇
2、一辆汽车以每小时40千米的速度由甲地驶向乙地，车行了3小时后，因遇雨，平均速度被迫每小时减少10千米，结果到乙地比预计的时间晚了45分钟，求甲、乙两地的距离。
三、工程问题
我们在解决工程类问题应用题时，常常把工作总量看成“1”。
工作量、工作时间、工作人数、工作效率之间的关系为：
工作量＝工作效率×工作时间×工作人数。
【例3】一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成，现甲、乙合做3天后，甲因事离去，由乙、丙合做，则乙、丙还要几天才能完成这项工作
分析：
题中的等量关系为：
全部工作量＝甲、乙合做3天的工作量＋乙、丙合做的工作量。
解：
设乙、丙还要x天才能完成这项工作，根据题意列方程为：
×3＋
解得
3.
答：
乙、丙还要3天才能完成这项工作。
练习：
某工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做3天完成，甲队做苦干天后，因另有任务被调走，余下的由乙队完成，从甲队开始做到乙队完成任务共用6天，求甲队做的天数。
四、储蓄问题
存入银行的钱叫做本金；银行付出的酬金叫做利息；存入银行的时间叫做期数；每个期数内的利息与本金的比叫做利率，每个期数内，利息＝本金×利率。
本金与利息和叫做本息和，本息和＝本金＋利息。
【例4】某银行一年定期储蓄的年利率为%，小明的奶奶当时按一年定期存入一笔钱，一年到期后取出本金及利息共元，则小明的奶奶存入银行的钱为多少元
分析：
题中利用的等量关系：
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率，可求得本金。
解：
设小明的奶奶存入银行的钱为x元，根据题意列方程为：
解得
1000.
答：
小明的奶奶存入银行的钱为1000元。
练习：
小红的父亲前年存入了一种年利率为%的两年储蓄，今年到期后，所得利息正好给小红买了一个价格为元的计算器，那么小红的父亲前年存入了多少钱
五、调配问题
调配问题是指从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定的数量关系；或者从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系。
其基本关系为：
甲处人（或物）数＋乙处人（或物）数＝总人（或物）。
【例5】某厂甲车间有工人32人，乙车间有62人，现从厂外招聘工人98名分配到两车间，问应该如何分配才能使乙车间人数是甲车间人数的3倍。
分析：
设分配x人到甲车间，则分配（98－x）人到乙车间，甲车间分配后人数为（32+x）人，乙车间分配后人数为（62＋98－x）人。
等量关系是：
乙车间人数＝3×甲车间人数。
解：
设分配x人到甲车间，则分到乙车间的人数为（98－x），依题意列方程为：
62＋98－x＝3（32＋x）
解得
16
则分到乙车间的人数为：
98－16＝82（人）.
答：
应分配16人到甲车间，82人到乙车间。
练习：
如图，天平的A、B盘内分别有51克、45克盐，则应该从A盘内拿出多少克盐放到B盘内，才能使天平平衡
六、数字问题
数字问题是指已知一个数各位上的数字之间的关系，要求写出这个数，解这类问题一般要设间接未知数，如a、b分别是一个数的个位和十位上的数字，则这个两位数可以表示为10b＋a.
【例6】一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数学之和是这个两位数的1/5，求这个两位数。
分析：
题中已知的等量关系是：
十位上的数字＋个位上数字＝1/5×两位数.
解：
设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x＋1），依题意列方程为：
解得
4
个位上的数字这：
4＋1＝5
所以这个数两位数是为45.
练习：
一个两位，个位上的数字是十位上的数字的2倍，如果把十位与个位上数字对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原两位数。
七、积分问题
比赛中的积分规则由比赛的规定决定，各类比赛不尽相同，弄清比赛规则是解决问题的先决条件。
这类问题基本选题关系为：
比赛总场数＝胜场数＋负场数＋平场数。
比赛总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分。
【例7】足球比赛的积分规则：
胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分。
一支点球队在某个赛季中共比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：
（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场
（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分
（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场才能达到预期目标
解：
本题中的数据较多，要特别注意读题、审题，从中找出等量关系：
总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分.
解：
（1）设前8场比赛中，这个球队共胜了x场，则平了（8－1－x）场.根据题意列方程为:
3x＋（8－1－x）＝17.
解得x＝5
（2）打满14场比赛最高得分为：
17＋3（14－8）＝35（分）
（3）由题意知，以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可达到预期目标。
所以当胜场不少于4场时得分大于17＋3×4＝29分，一定能达到预期目标；而胜3场平3场时得分为：
17＋3×3＋3×1＝29分，正好达到预期目标。
所以这个球队在以后的6场比赛中至少要胜3场平3场才能达到预期的目标。
练习：
某区中小学足球联赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这足球联赛中，猛虎队平的场数是负的场数的2倍，且8场比赛共得分17分，则该队共胜多少场
八、方案设计问题
一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法，求解使设计方案值相等的情况；
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论。
【例8】某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
A计时制：
1元/小时，B包月制：
80元/月，此外，每一种上网方式都加收通讯费元/小时。
（1）某用户每月上网40小时，选用哪种上网方式比较合算
（2）某用户每月有100元钱用于上网，选用哪种上网方式比较合算
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
分析:
（1）分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额，进行比较即可知道；
（2）分别计算出两种方式下的上网时间进行比较；
（3）设每月上网m小时,两种上网方式的消费额相等,再进行分析.
解:
（1）用户上网40小时,选择A种上网方式应支付网费40×1＋40×＝44元（元），选择B种上网方式应支付网费80＋40×＝84（元），所以选用A种方式比较合算；
（2）设用户选择A方式100元可上网x小时，选择B方式可上网y小时，依题意，得
解得
即用户选择A方式100元可上网91小时，选择B方式可上网200小时，所以选用B种方式合算.
（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等，依题意列方程为：
解得
所以当每月上网不足80小时时，先用A方式上网比较合算；当每月上网80小时时，两种方式的消费额相等；当每月上网超过80小时时，选用B方式比较合算.
练习：
某校长暑假将带该校市“三好生”去参加旅游，甲旅行社说：
“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说：
“包括校长在内全部按全票的6折优惠”.若全票为240元.
（1）当学生是多少时，两家费用一样
（2）当学生是多少时，选甲旅行社合算当学生是多少时，选乙旅行社合算
九、等积问题
等积问题是指物体的形状改变了，但体积不变，根据体积相等列方程求解.其等量关系为：
形状改变前的体积＝形状改变后的体积.
【例9】要锻造一个直径为100cm，高为80cm的圆柱毛坯，应截取直径为160cm的圆钢多长
分析：
在锻造过程中，圆钢的形状发生变化，但体积理不变的量，形状变化前后体积相等。
解：
设应截取直径为160cm的圆钢hcm，根据题意列方程为：
解得
答：
应截取直径为160cm的圆钢.
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