中学物理实验中用电压补偿法提高伏安法测电阻的精确度研究.docx

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中学物理实验中用电压补偿法提高伏安法测电阻的精确度研究

中学物理实验中用电压补偿法提高伏安法测电阻的精确度研究

摘要：

伏安法测电阻实验是中学物理实验中一个重要的基础实验。

由于物理思路清晰，方法简单，所以在课堂教学演示中广泛运用。

但是，其演示实验也存在着系统误差的产生。

本文对于实验误差的产生进行分析，利用电压补偿法对伏安法测电阻的内接法和外接法进行修正，结果得以减小误差。

对于课堂演示来讲，本文实验能够做到一定的科学性，并且能够得到精确的结果，分析最理想的实验方法。

关键词：

伏安法测电阻；电压补偿法；系统误差；相对误差

引言：

伏安法测电阻是重要的实验之一。

在初中、高中和大学都有伏安法测电阻的实验，并且在初中到高中再到大学对伏安法测电阻的精确度要求不断提高，理论分析不断加深。

伏安法测电阻的接线有外接法和内接法，不同的接法对测量电阻的误差也不同。

为了探索中学课堂教学中，以伏安法测量电阻为基础的实验方法，讨论其间的测量精确度，本论文用电压补偿法等不同方法对伏安法测电阻进行改装，比较中学演示实验，课堂教学提高实验的精确度的可选方案。

本文利用比较相对误差的方法，比较确定哪一种实验方法结果的精确度更高。

实验测得的数值与真实数值之间的差数称为“绝对误差”，而“绝对误差”与“真实数据”的比值称为“相对误差”。

由于真实的数值往往不知道，因而只能用多次测定结果的平均值代替“真值”，这样计算的结果称为“偏差”。

偏差也分“绝对偏差”和“相对偏差”。

绝对偏差是一次测量值与平均值的差异，相对偏差是指一次测量的绝对偏差占平均值的百分率。

1伏安法测电阻

1.1原理

如图1所示，测出通过电阻R的电流I及电阻R两端的电压U，则根据欧姆定律，可知

图1伏安法测电阻电路图[1]

Fig.1Thevoltammetryresistancecircuitdiagram

以下讨论伏安法测电阻的系统误差问题[1]。

1.2测量仪表的选择

在电学实验中，仪表的误差是重要的误差来源，所以要减小实验误差，选择合适的仪表是关键环节。

而仪表的量程和等级是反映仪表准确度的两个参数，所以选择合适的仪表就是选择合适量程和等级的仪表。

下面介绍选择仪表量程和等级的方法[2]。

1.2.1参照电阻器R的额定功率确定仪表的量限

设电阻R的额定功率P，则最大电流为

为使电流表的指针指向刻度盘的

处（指针指在刻度盘的

处测量值最准确），于是电流计的量限

即

。

电阻两端的电压为

，而电压表的量程应限为

[1][2]。

1.2.2参照对电阻测量准确度的要求确定仪表的等级

假设要求测量

的相对误差不大于某一ER，则在一定近似下按合成不确定度公式，可有

。

如果

，对于准确度等级为

，特征值为Xn的电表，其最大绝对误差为

，则

，可知电流表等级

应满足

；电压表的等级

应满足

[1][2]。

1.3滑动变阻器分压电路与限流电路的选择

1.3.1限流电路

如图2所示电路中变阻器起限流作用，变阻器电阻调到最大时，电路中仍有电流，电路中电流变化范围为

～

，负载Rx的电压调节范围为

～E（电源内阻不计）。

如果RX>>R，电流变化范围很小，变阻器起不到变阻作用，此时采用该接法就不能满足多次测量的要求。

一般来说，以下三种情况不能采用限流接法而采用分压接法：

①电路中最小电流仍超过电流表量程或超过被测元件的额定电流；②要求被测电阻的电压、电流从零开始连续变化；③被测电阻值远大于变阻器的全部电阻值[3]。

图2限流电路[3]

Fig.2Limitingcircuit

1.3.2分压电路

变阻器采用分压接法如图3所示，负载RX上电压变化范围是0一E（不计电源内电阻），电压调节范围比限流接法大。

但是当通过负载RX的电流一定时，图3中干路电流大于图2中干路电流，图3中电路消耗的功率较大。

而且图3的接法没有图2简单。

通常变阻器以采用限流接法为主。

图3分压电路[3]

Fig.3Voltagedividingcircuit

关于变阻器的选择，应针对不同的连接方式和电路中其他电阻的大小选择不同的变阻器。

在分压接法中，变阻器应选择电阻较小而额定电流较大的；在限流接法中，变阻器的阻值应与电路中其他电阻比较接近[3]。

1.4伏安法测电阻的两种连线方法以及引入的误差

伏安法有两种连线方法。

如图4所示为外接法---电流表在电压表的外侧；如图5所示为内接法---电流表在电压表的内侧。

图4外接法图5内接法

Fig.4ExternalmethodFig.5Internallaw

1.4.1内接法引入的误差

设电流表的内阻为RA,回路电流为I，则电压表测出的电压值

即电阻的测量值Rx是

可见测量值大于实际值，测量的绝对误差为RA，相对误差为

，当RA<

1.4.2外接法引入的误差

设电阻R中的电流为IR，又设电压表中流过电流为IV，电压表内阻为RV，则电流表中电流

因此电阻R的测量值Rx是

由于

所以测量值Rx小于实际值R，测量的相对误差为

。

式中负号是由于绝对误差是负值，只有当RV>>R时才可以用外接法[2]。

2伏安法测电阻的电压补偿法

2.1电压补偿法原理

2.1.1补偿法的定义

采用一个可以变化的附加能量装置，用以补偿实验中某部分能量损失或能量交换，使得实验条件满足或接近理想条件，称为补偿法。

简而言之，补偿法就是将因种种原因使测量状态受到的影响尽量加以弥补[4]。

2.1.2电压补偿法

用电压表测电池的电动势Ex，如图6所示，因电池电阻r的存在，当有电流通过时，电池内部不可避免地产生电位降Ir。

因此，电压表指示的只是电池的端电压U，即

。

显然，只有当I=0时，电池的端电压才等于电动势Ex。

图6用电压表测量电池电动势

Fig.6Electromotiveforcemeasuredwithavoltmeter

如果有一个电动势大小可以调节的电源E0，使E0与待测电源Ex通过检流计反串起来。

如图3-2所示，调节电动势E0的大小，使检流计指示为0，即E0产生一个与I方向相反而大小相等的电流I’，以弥补Ir的损失，于是两个电源的电动势大小相等，互相补偿，可得Ex=E0，这时电路达到补偿，知道了补偿状态下E0的大小，就可得出待测电动势Ex[4][5]。

图7电压补偿法原理图

Fig.7VoltageprincipleofcompensationlawFigure

2.2内接法的电压补偿法

由图5可知，内接法测电阻电压表示数

，而

，引入的电流表内阻分压导致电压表的示数比实际值大。

为了解决这个问题，采用了如图8所示的电压补偿法。

此补偿法是对电流表进行补偿，目的是消除电流表内阻引入的测量误差。

如图8所示，引入辅助电源E2，这样AB段电路之间就存在两个方向相反、分别由E1，E2提供的电流。

只要两电源的电动势满足一定的要求，调节滑线变阻器R2，即可使经过AB段电路的合电流为零，此时，A、B两点电势相等，电压表

当于直接并联在待测电阻的两端，其测量值就是待测电阻两端的真实电压值。

为了测量方便，在AC电路接入灵敏电流计。

虚线框内构成补偿后的“电流表”。

当原电流表

上的电位差为辅助电源E2和滑线变阻器尺R2上的电势差所补偿，这时电路处于平衡状态，灵敏电流计指示为零，即A、B两点间的电势差为零，相当于电流表无内阻。

这样就解决了电流表内阻分压的问题，提高了测量的精确度。

图8内接法的电压补偿法电路图

Fig.8Thevoltagecompensationlawcircuitdiagramoftheinternallaw

在实际测量电阻的过程中，为了保护灵敏电流计，应与灵敏电流计串联一个滑线变阻器R3。

测量时，R3开始阻值要大一些，当AC段电流逐渐减小到零时，R3再逐渐减小直到零，这样可以提高测量电路的灵敏度。

电路达到平衡的标志是灵敏电流计接通或断开时，指针不显示任何微小的颤动。

测量方法是：

如图8连接电路，S断开，R1，R2，R3都放在安全端，调E1，E2为适当值。

将开关S闭合，调滑线变阻器R2，使检流计读数为零，记下此时的U和I。

为了减小测量的不确定度，要测多组数据[6]。

2.3外接法的电压补偿法

由图4可知，外接法测电阻电压表示数

，而

，引入的电压表内阻分流导致电流表的示数比实际值大。

为了解决这个问题，采用了如图9所示的电压补偿法。

图9外接法的电压补偿法

Fig.9Externalvoltagecompensationmethodcircuitdiagramofthemethod

此补偿法是对电压表进行补偿，目的是消除电压表内阻引入的测量误差。

如图9所示，右侧由辅助电源E2与滑线变阻器R2组成一个分压电路，所分得的电压由电压表

测出。

左侧由E1、待测电阻Rx电流表

组成一个闭合回路。

当Rx两端电压与分压器分得的电压相等时，A，B两点的电势相等，电压表示数等于Rx两端的电压，却不从左侧闭合回路中分得电流。

在AB段电路接人灵敏电流计，用来检验电路平衡。

虚线框内是补偿后的“电压表”。

当检流计指零时，电压表达到补偿，虚线框内的电路相当于一个内阻无限大的电压表。

此电路的测量要点与内接法的电压补偿法测量要点相同，具体测量方法为：

如图4连接电路，S1，S2都断开，R1，R2，R3都放在安全端，调E1，E2为适当值。

闭合开关S1，S2，调节滑线变阻器R2，R3使检流计示数为零。

记录此时的U和I，要测多组数据。

补偿法是测量实验中的一种重要方法，针对内接法和外接法存在的缺陷，设计不同的电压补偿法电路来测量电阻，实验测得的电流和电压都是真实值，减小了系统误差[6]。

3实验结果与数据处理

由于测量的电阻阻值不同。

且不同的实验方法对电阻的影响也不同，所以测得的数据通过技术相对误差来比较哪一种方法更为准确。

相对误差：

.实验测得的数值与真实数值之间的差数称为“绝对误差”，而“绝对误差”与“真实数据”的比值称为“相对误差”。

由于真实的数值往往不知道，因而只能用多次测定结果的平均值代替“真值”，这样计算的结果称为“偏差”。

偏差也分“绝对偏差”和“相对偏差”。

绝对偏差是一次测量值与平均值的差异，相对偏差是指一次测量的绝对偏差占平均值的百分率[7][8][9]。

3.1内接法与内接法的电压补偿法的实验结果比较

表1内接法与内接法电压补偿法测量未知电阻Rx1的结果比较

Table1TheresultsofcomparisonofinternallawandinternallawvoltagecompensationmethodunknownresistanceismeasuredRx1

序号

内接法

内接法的电压补偿法

U/V

I/mA

Rx1内接法/Ω

U/V

I/mA

Rx1补偿法/Ω

1

0.500

0.32

1562.5

0.500

0.35

1428.6

2

0.600

0.39

1538.5

0.600

0.42

1428.6

3

0.700

0.45

1555.6

0.700

0.49

1428.6

4

0.800

0.52

1538.5

0.800

0.56

1428.6

5

0.900

0.60

1500.0

0.900

0.62

1451.6

6

1.000

0.67

1492.5

1.000

0.70

1428.6

7

1.100

0.72

1527.8

1.100

0.76

1447.4

8

1.200

0.80

1500.0

1.200

0.83

1445.8

9

1.300

0.88

1477.3

1.300

0.90

1444.4

10

1.400

0.94

1489.4

1.400

0.98

1428.6

11

1.500

1.02

1470.6

1.500

1.04

1442.3

12

1.600

1.08

1481.5

1.600

1.10

1454.5

13

1.700

1.15

1478.3

1.700

1.18

1440.6

14

1.800

1.20

1500.0

1.800

1.24

1451.6

15

2.000

1.34

1492.5

2.000

1.39

1438.8

16

2.200

1.46

1506.8

2.200

1.52

1447.4

17

2.400

1.60

1500.0

2.400

1.64

1463.4

18

2.600

1.74

1494.2

2.600

1.79

1452.5

19

2.800

1.88

1489.4

2.800

1.94

1443.7

20

2.900

1.94

1494.8

2.900

2.02

1435.6

3.1.1内接法与内接法的电压补偿法的相对误差的计算

由表1，得

=1504.5Ω；

=1443.1Ω。

所以相对误差的计算公式：

；

。

表2内接法与内接法的电压补偿法的相对误差的计算

Table2Thecalculationoftherelativeerroroftheinternallawandinternallawvoltagecompensationlaw

序号

内接法

内接法的电压补偿法

Rx1内接法/Ω

Rx1补偿法/Ω

1

1562.5

3.86%

1428.6

1.01%

2

1538.5

2.26%

1428.6

1.01%

3

1555.6

3.39%

1428.6

1.01%

4

1538.5

2.26%

1428.6

1.01%

5

1500.0

0.29%

1451.6

0.59%

6

1492.5

0.79%

1428.6

1.01%

7

1527.8

1.55%

1447.4

0.30%

8

1500.0

0.30%

1445.8

0.19%

9

1477.3

1.81%

1444.4

0.09%

10

1489.4

1.01%

1428.6

1.01%

11

1470.6

2.25%

1442.3

0.06%

12

1481.5

1.53%

1454.5

0.79%

13

1478.3

1.74%

1440.6

0.17%

14

1500.0

0.30%

1451.6

0.59%

15

1492.5

0.80%

1438.8

0.30%

16

1506.8

0.16%

1447.4

0.30%

17

1500.0

0.30%

1463.4

1.41%

18

1494.2

0.68%

1452.5

0.65%

19

1489.4

1.01%

1443.7

0.01%

20

1494.8

0.64%

1435.6

0.52%

由表2，得

，得

；经对内接法与内接法的电压补偿法的相对误差计算得

>

。

所以伏安法的内接法的电压补偿法比内接法更为精确。

3.2外接法与外接法的电压补偿法的实验结果比较

表3外接法与外接法的电压补偿法测量未知电阻Rx2的结果比较

Table3Externalmethod,externalvoltagecompensationlawMeasurementofunknownresistanceRx2Comparison

序号

外接法

外接法的电压补偿法

U/V

I/mA

Rx2/Ω

U/V

I/mA

Rx2/Ω

1

0.104

2.00

52.0

0.135

2.00

67.5

2

0.134

2.50

53.6

0.170

2.50

68.0

3

0.164

3.00

54.7

0.202

3.00

67.3

4

0.172

3.20

53.8

0.220

3.20

68.8

5

0.182

3.40

53.5

0.234

3.40

68.8

6

0.192

3.60

53.3

0.248

3.60

68.9

7

0.202

3.80

53.2

0.258

3.80

67.8

8

0.214

4.00

53.5

0.272

4.00

68.0

9

0.224

4.20

53.3

0.286

4.20

68.1

10

0.232

4.40

52.7

0.301

4.40

68.4

11

0.247

4.60

53.7

0.316

4.60

68.7

12

0.260

4.80

54.2

0.330

4.80

68.8

13

0.272

5.00

54.4

0.342

5.00

68.4

14

0.282

5.20

54.2

0.355

5.20

68.3

15

0.294

5.40

54.4

0.370

5.40

68.5

16

0.306

5.60

54.6

0.384

5.60

68.6

17

0.320

5.80

55.2

0.400

5.80

68.9

18

0.332

6.00

55.3

0.413

6.00

68.8

19

0.342

6.20

55.2

0.427

6.20

68.9

20

0.352

6.40

55.0

0.440

6.40

68.8

21

0.362

6.60

54.8

0.453

6.60

68.6

22

0.372

6.80

54.7

0.468

6.80

68.8

23

0.384

7.00

54.9

0.482

7.00

68.9

24

0.400

7.20

55.6

0.500

7.20

69.4

25

0.410

7.40

55.4

0.512

7.40

69.2

26

0.420

7.60

55.3

0.528

7.60

69.4

27

0.432

7.80

55.4

0.542

7.80

69.5

28

0.444

8.00

55.5

0.556

8.00

69.5

29

0.472

8.50

55.5

0.592

8.50

69.6

30

0.500

9.00

55.6

0.624

9.00

69.3

3.2.1外接法与外接法的电压补偿法相对误差的计算

由表3，得

=54.4Ω；

=68.69Ω。

所以相对误差的计算公式：

；

表4外接法与外接法的电压补偿法相对误差的计算

Table4Externalmethod,externalvoltagecompensationlawrelativeerrorofcalculation

序号

外接法

外接法的电压补偿法

Rx2外接法/Ω

Rx2补偿法/Ω

1

52.0

4.41%

67.5

1.72%

2

53.6

1.47%

68.0

0.99%

3

54.7

0.49%

67.3

1.96%

4

53.8

1.20%

68.8

0.10%

5

53.5

1.60%

68.8

0.21%

6

53.3

1.96%

68.9

0.30%

7

53.2

2.28%

67.8

1.14%

8

53.5

1.65%

68.0

0.99%

9

53.3

1.96%

68.1

0.85%

10

52.7

3.08%

68.4

0.39%

11

53.7

1.30%

68.7

0.02%

12

54.2

0.43%

68.8

0.10%

13

54.4

0

68.4

0.41%

14

54.2

0.31%

68.3

0.60%

15

54.4

0.08%

68.5

0.24%

16

54.6

0.45%

68.6

0.16%

17

55.2

1.42%

68.9

0.42%

18

55.3

1.72%

68.8

0.22%

19

55.2

1.40%

68.9

0.28%

20

55.0

1.10%

68.8

0.10%

21

54.8

0.82%

68.6

0.06%

22

54.7

0.56%

68.8

0.21%

23

54.9

0.84%

68.9

0.26%

24

55.6

2.12%

69.4

1.11%

25

55.4

1.85%

69.2

0.74%

26

55.3

1.59%

69.4

1.16%

27

55.4

1.81%

69.5

1.18%

28

55.5

2.02%

69.5

1.19%

29

55.5

2.08%

69.6

1.41%

30

55.6

2.12%

69.3

0.95%

由表4，得

；

。

经对外接法与外接法的电压补偿法的相对误差计算得

>

。

所以伏安法的外接法的电压补偿法比外接法更为精确。

4结论

在中学物理中，伏安法测电阻是基础实验之一，实验原理简单，操作简便。

但精确度不是很高，利用电压补偿法来提高测量电阻的精确度，不过电压补偿法实验原理相对复杂。

伏安法测量电阻时，误差主要是电流表和电压表的内阻带来的系统误差。

另外其被测电阻所流过的电流是由电源电压所决定的，在测量中，电压表的最小量程为3V,一般情况电表读数在量程的2/3至满量程的范围内，读数误差最小，但考虑在2V-3V时，流过电阻的电流过大，流过电阻的电流过大使电阻发热，阻值会增加，所以实验中电压最大只取1V.而应用补偿法测量电阻，被测电阻所流过的电流是可以控制的，被测电阻虽仍有微量电流流过，但0.5mA或更微小的电流流过被测电阻所造成的影响是完全可以忽略的.由此可见，利用补偿法测电阻，既能够避免伏安法测电阻时由于电表内阻引入的误差，又可以避免电桥法测电阻时由于比率臂电阻不精确引入的误差，不失为一种精确测量电阻的方法。

但是对于中学生来说，电压补偿法难度很高。

所以中学适用伏安法测电阻的内接法和外接法对电阻进行测量。

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