人教版八年级上册数学专题复习讲义122全等三角形的判定含答案.docx

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人教版八年级上册数学专题复习讲义122全等三角形的判定含答案

三角形全等的判定

教小学目标

1、理解全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS；

2、能运用判定方法判定两个三角形全等；

3、经理探索判定方法判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.

知识梳理

1．SSS

____________的两个三角形全等（简称SSS）．

这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理．

2.利用SSS证明三角形全等

判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．

如下图，已知：

△ABC与△DEF的三条边对应相等，求证：

△ABC≌△DEF．

证明：

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

3.利用SSS作一个角等于已知角

用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，说明

的依据是_________．

4．边角边定理

三角形全等判定方法2：

______和它们的______分别相等的两个三角形全等．（简称SAS）

符号语言：

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

图示：

5．探索边边角

两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等．

6．ASA

_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA．

▲如下图，已知∠D=∠E，AD＝AE，∠1＝∠2．

求证：

△ABD≌△ACE．

证明：

∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD（相等的角加同一个角仍相等）

即∠BAD＝∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∠D=∠E（已知）

AD=AE（已知）

∠BAD＝∠CAE（等量相加）

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

7．AAS

______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．

▲如图：

D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．

求证：

△ACD≌△ABE．

证明：

在△ACD和△ABE中．

∠C=∠B（已知）

∠A=∠A（公共角）

DC=EB（已知）

∴△ACD≌△ABE（AAS）．

参考答案：

1.三边分别相等稳定性

3.全等三角形的对应角相等

4.两边夹角

5.不一定全

6.两角和它们的夹边

7.两个角和其中一个角的对边

例题讲解

1.先证明对应边相等，再证全等（利用中点、等量相加等）

【例1】如图所示，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：

△ABC≌△FED．

【解析】∵AD＝FC，

∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝FD．

在△ABC和△FED中，

∴△ABC≌△FED（SSS）．

总结：

利用“SSS”证明两个三角形全等，有如下几种常见类型：

（1）有公共边的两个三角形．

（2）有公共线段的两个三角形，我们可以用等量相加或相减，推出两边相等．

（3）含有中点的两个三角形，如图：

AB=AC，D是BC的中点，

由中点的定义可得：

BD=CD．继而可证△ABD≌△ACD．

练1.如图，已知AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．

【解析】要证△AOC≌△BOD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等．

证明：

∵O是是AB、CD的中点，

∴AO=BO，CO=DO．

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD．

2.先利用SSS证明三角形全等，继而证明边（角）相等，或求边（角）

【例2】如图所示，AB＝DC，AC＝DB，求证：

∠1＝∠2．

【解析】在△ABC与△DCB中，

∴△ABC≌△DCB（SSS）.

∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.

∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB.

即∠1＝∠2．

总结：

1.要求证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质.

2.当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和（差）相等，将问题转化.

3.求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.

练2.如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？

为什么？

【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：

∵点D是BC的中点，

∴BD＝CD．

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠ADB＝∠ADC.

又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∴AD⊥BC．

练3.如图所示，已知：

A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：

AB∥DE.

【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：

∠A＝∠D，即可证明AB∥DE．

证明：

∵AF＝DC，

∴AF－CF＝DC－CF．

∴AC＝DF．

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

∴∠A＝∠D．

∴AB∥DE．

练4.已知：

如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：

∠C＝∠A.

【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS）．

∴∠C＝∠A．

练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：

∠A＋∠D＝180°.

【解析】证明：

连接AC，在△ADC与△CBA中，

∴△ADC≌△CBA（SSS），

∴∠ACD＝∠CAB，

∴AB∥CD，

∴∠A＋∠D＝180°．

3．利用SAS直接证明三角形全等

【例3】如图所示，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：

△ABC≌△DEF．

【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF．

证明：

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

总结：

运用“边角边”判定两个三角形全等时，

（1）同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边”的顺序书写；

（2）注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；

（3）条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边—角—边”，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边”，如果是其他“边—边—角”或“角—边—边”，则两个三角形不一定全等；

（4）在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，如果把夹角改为其中一条边的对角，则不一定全等．

练6．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（）

A．∠A=∠DB．∠B=∠EC．∠C=∠FD．以上三个均可以

【解析】根据三角形全等的判定中的SAS，即两边夹角．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，要由位置选择方法．

解：

要使两三角形全等，且SAS已知AB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；

A、C都不满足要求，D也就不能选取．

故选B．

练7．如下图所示，已知∠1＝∠2，AO＝BO，求证：

△AOC≌△BOC．

【解析】两个三角形包含一个公共边，结合已知条件，根据SAS可证明△AOC≌△BOC．

证明：

在△AOC和△BOC中，

，

∴△AOC≌△BOC（SAS）．

4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等

【例4】如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：

△ADF≌△CBE．

【解析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS”证得结论．

证明：

∵AE=CF，

∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．

又∵AD∥BC，

∴∠A=∠C．

∵在△ADF与△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE（SAS）．

总结：

没有直接给出能证明三角形全等的条件时，

（1）先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；如果已知两边，则要找第三边或夹角；如果已知一角和该角的一边，则需要找夹角的另一条边；

（2）在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比如公共边、对顶角等，从而为解题所用；

（3）有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．

练8．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：

△ABC≌△ADE．

【解析】已知∠1=∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，已知AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来判定△ABC≌△ADE．

证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，

即∠DAE=∠BAC．

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS）．

练9．已知：

如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．

求证：

△AEC≌△BDC．

【解析】根据∠ACD=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC．

证明：

在△AEC和△BDC中，

∵点C是线段AB的中点，

∴AC=BC，

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠BCD，

在△AEC和△BDC中，

，

∴△AEC≌△BDC（SAS）．

点评：

本题考查了全等三角形的判定SAS．

5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等

【例5】

（1）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：

∠B=∠C．

【解析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS”定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．

证明：

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）．

∴∠B=∠C．

（2）如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：

BF=DE．

【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．

证明：

∵AB∥CD，

∴∠A=∠C，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在△ABF和△CDE中，

，

∴△ABF≌△CDE（SAS），

∴BF=DE．

总结：

综合利用三角形全等的判定与性质解题步骤如下：

（1）由问题中的条件，依据三角形全等的判定方法证明两个三角形全等；

（2）由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．

练10．如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）

A．50°B.30°C．80°D．100°

【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，则∠D=∠B=30°．

解：

∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB（SAS），

∴∠D=∠B=30°．

故选B．

练11．如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，若∠_____=∠______，则△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．

【解析】根据三角形全等的判定方法SAS，若∠A=∠D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．

解：

若∠A=∠D时，△ABC≌△DEF；

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴BC=EF，

∴BE=CF；

故答案为：

∠A=∠D，EF，CF．

6．先用ASA证全等，再证边角相等

【例6】如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：

BO＝DO．

【解析】先用“ASA”证明△ABC≌△ADC，得出AB=AD，再用“SAS”证明△ABO≌△ADO，可得出结论．

证明：

在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（ASA）.

∴AB＝AD.

在△ABO与△ADO中，

△ACO≌△ADO（SAS）.

∴BO＝DO．

总结：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．

练12.如图所示，在△ABC中，点O为AB的中点，AD∥BC，过点O的直线分别交AD，BC于点D，E，求证：

OD＝OE.

【解析】∵点O为AB的中点，

∴AO＝BO．

∵AD∥BC，

∴∠ADO＝∠BEO，∠DAO＝∠EBO.

在△AOD与△BOE中，

∴△AOD≌△BOE（AAS）.

∴OD＝OE．

7．先用AAS证全等，再证边角相等

【例7】如图所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：

AC＝AD．

【解析】先利用AAS证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC＝AD．

证明：

在△ACB与△ADB中，

∴△ACB≌△ADB（AAS）.

∴AC＝AD．

总结：

1.由“ASA”与“AAS”可知，两个三角形如果有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等．

2.注意不用混淆“ASA”和“AAS”，“ASA”是两角及夹边对应相等，“AAS”是两角及一对边对应相等.

练13.如图所示，C，F在BE上，∠A＝∠D，AC∥DF，BF＝EC．求证：

AB＝DE．

【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC＝EF，应用AAS可得△ABC≌△DEF，进而得出结论．

证明：

∵AC∥DF，

∴∠ACE＝∠DFB.

又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∠DFB＋∠DFE＝180°，

∴∠ACB＝∠DFE.

又BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF.

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（AAS）.

∴AB＝DE．

8．灵活选用证明方法证（判断）全等

【例8】如图所示，已知∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF，若要以“ASA”为依据，还缺条件_________；以“SAS”为依据，还缺条件_________；以“AAS”为依据，还缺条件_________.

【解析】已知一组角和一组边相等,要依据“ASA”证全等就要求夹已知边的另一组角相等，故填∠ACB=∠DFE；要依据“SAS”证全等就要求夹已知角的另一组边相等，故填AB=DE；要依据“AAS”证全等就要求另一组角相等，故填∠A=∠D.

答案：

∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D．

总结：

1.到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的方法，分别是“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”.注意：

三角形全等的判定方法中不存在“角边边”“角角角”．

2.“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等．

3.在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.

4.以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解．

练14.如图所示，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）.

A.AD＝AEB.∠AEB＝∠ADC

C.BE＝CDD.AB＝AC

【解析】选择A中的AD=AE，加上已知条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；

选项B中给出∠AEB＝∠ADC，加上已知条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；

选项C中的BE＝CD，加上已知条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；

选项D中的AB＝AC，加上已知条件，可根据ASA证明△ABE≌△ACD；

故选：

B．

练15.如图所示，BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为点F，E，BF＝DE，∠B＝∠D，求证：

AE＝CF.

【解析】∵BF⊥AC，DE⊥AC，

∴∠DEC＝∠BFA＝90°.

在△BFA与△DEC中，

∴△BFA≌△DEC（ASA）.

∴AF＝CE.

∴AF＋EF＝CE＋EF.

∴AE＝CF.

练16．如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：

线段OM＝ON成立吗？

若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．

【解析】OM＝ON成立．理由是：

∵△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，

∴△BOD≌△AOC．

∴∠A＝∠B，AO＝BO．

又∵∠AOM＝∠BON，

∴△AOM≌△BON（ASA）．

∴OM＝ON．

练17．如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C置于直线

上，AC＝BC，现过A，B两点分别作直线

的垂线，垂足分别为点D，E.

【解析】

（1）△ACD≌△CBE，

证明：

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCE＝90°.

又∵AD⊥

，

∴∠CAD＋∠ACD＝90°.

∴∠BCE＝∠CAD.

∵BE⊥

，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°.

在△ACD与△CBE中，

∠CAD＝∠BCE，∠ADC＝∠CEB，AC＝CB，

∴△ACD≌△CBE（AAS）.

（2）由

（1）可知△ACD≌△CBE，

∴AD＝CE，CD＝BE，

∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE＝3＋5＝8.

当堂检测

1．如图所示，AB∥CD，OB＝OD，则由“ASA”可以直接判定△______≌△___________.

2．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是___________．

3．如图所示，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：

△ABC≌△DEF．

4．如图所示，已知∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAC，AC＝AD，求证：

AB＝AE.

5.如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB=CD，EC=DF，EC∥DF．求证：

△ACE≌BDF．

作业

1.已知：

如图，AB=CD，BE=DF，AF=EC。

求证：

BF=DE

2.已知：

如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。

求证：

AG平分∠BAC

3．如图，AB=CD，AD=BC，O是BD上任意一点，边O点的直线分别交AD，BC于M，N点，求证：

∠1=∠2。

4．如图，已知AC//FD，AF//CD，FB//EC。

求证：

△AFB≌△DCE。

5．如图，已知AD//BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C。

求证：

DE=EC。

6．已知：

如图，在△ABC中，延长AC边中线BE到G，使EG=BE，延长AB边中线CD到F，使DF=CD。

求证：

G，A，F在同一直线上。

7．已知：

如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O。

求证：

AE+CD=AC。

8．如图，EA平分∠CAB，且AB=AC+BD，E为CD中点，求证：

BE平分∠ABD。

9．已知：

如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE。

求证：

∠BAE=∠CAE。

证明　在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△ACE。

（第一步）

∴∠BAE=∠CAE。

（第二步）

问上面证明过程是否正确？

若正确，请写出每一步推理的根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出正确过程。

参考答案：

当堂检测

1．AOB，COD.

2．【解析】∵∠AHE=∠CHD，利用和等角互余的两个角相等，

∴∠EAH=∠ECB

又∵∠AEH=∠CEB=90°

EH=EB

∴△AEH≌△CEB（AAS）

∴CE=AE=4，，EH=3，

∴CH=4-3=1

答案：

1

3．【解析】利用平行线，可得两同位角相等，再利用等量相加得BC=EF，即可证两三角形全等．

证明：

∵AB∥DE，

∴∠B＝∠DEF.

∵BE＝CF，

∴BC＝EF.

在△ABC与△DEF中，

∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，

∴△ABC≌△DEF（ASA）.

4．【解析】先证全等，再利用三角形的性质得出结论．

证明∵∠BAD＝∠EAC，

∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD.

∴∠BAC＝∠EAD，

在△ABC和△AED中，

∴△ABC≌△AED（AAS）.

∴AB＝AE.

5.【解析】∵AB=CD，

∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．

又∵EC∥DF，

∴∠ACE=∠BDF．

在△ACE与△BDF中，

，

∴△ACE≌△BDF（SAS）．

家庭作业

1.分析：

图中全等三角形比较多，由已知慢慢创建最终全等所需的条件，往往一次全等证明不出来，可多次使用多组全等

证明：

∵AF=EC

∴AE=FC

∴

∴△ABE≌△CDF（SSS）

∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）

∴

∴△AFB≌△CED（SAS）

∴BF=DE（全等三角形对应边相等）

2.分析：

此题用三次全等慢慢将已知条件转化为我们所需的内容，最终通过证明角等得到平分。

证明：

∴△ABE≌△ACD（SAS）

∴∠B=∠C∠ADC=∠AEB

∴∠BDG=∠CEG

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE

∴△BDG≌△CEG（ASA）

∴BG=GC

∴△ABG≌△ACG（SAS）

∴∠1=∠2即AG平分∠BAC

3．证△ABD≌△CDB，得∠ADB=∠CBD，则AD//BC，∠1=∠2

4．连结FC

5．在AB上取AF=AD，连结EF，先证△ADE≌△AFE，再证△EFB≌△ECB

6．证∠FAG=∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°

7．在AC上截取AF=AE，连结OF，证△AEO≌△AFO得∠AOE=∠AOF，再证△CDO≌△CFO，得CD=FC

8．D在AB上取AF=AC

9．不正确，错在第一步，正确的证明过程为：

在△EBC中，因BE=CE，故∠EBC=∠ECB。

又因∠ABE=∠ACE，故∠ABC=∠ACB，AB=AC，可证出△AEB≌△AEC，∴∠BAE=∠CAE