高中数学对数与对数函数教案北师大版必修1.docx
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高中数学对数与对数函数教案北师大版必修1
2019-2020年高中数学对数与对数函数教案北师大版必修1
一、选择题：
1．的值是（）
A．B．1C．D．2
2．若log2
=0，则x、y、z的大小关系是（）
A．z＜x＜yB．x＜y＜zC．y＜z＜xD．z＜y＜x
3．已知x=+1,则log4（x3－x－6）等于（）
A.B.C.0D.
4．已知lg2=a，lg3=b，则等于（）
A．B．C．D．
5．已知2lg（x－2y）=lgx＋lgy，则的值为（）
A．1B．4C．1或4D．4或
6.函数y=的定义域为（）
A．（，＋∞）B．［1，＋∞C．（，1D．（－∞，1）
7．已知函数y=log（ax2＋2x＋1）的值域为R，则实数a的取值范围是（）
A．a＞1B．0≤a＜1C．0＜a＜1D．0≤a≤1
8.已知f（ex）=x，则f（5）等于（）
A．e5B．5eC．ln5D．log5e
9．若
的图像是（）
ABCD
10．若在区间上是增函数，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．设集合
等于（）
A．B．
C．D．
12．函数的反函数为（）
A．B．
C．D．
二、填空题：
13．计算：
log2.56.25＋lg＋ln＋=．
14．函数y=log4（x－1）2（x＜1＝的反函数为__________．
15．已知m＞1，试比较（lgm）0.9与（lgm）0.8的大小．
16．函数y=（logx）2－logx2＋5在2≤x≤4时的值域为______．
三、解答题：
17．已知y=loga（2－ax）在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．
18．已知函数f（x）=lg[（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1]，若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
19．已知f（x）=x2＋（lga＋2）x＋lgb，f（－1）=－2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值？
20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga（1－x）|与|loga（1＋x）|的大小．
21．已知函数f（x）=loga（a－ax）且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称．
22．在对数函数y=log2x的图象上（如图），有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．
参考答案
一、选择题：
ADBCBCDCBAAB
二、填空题：
13.，14.y=1－2x（x∈R），15.（lgm）0.9≤（lgm）0.8，16.
三、解答题：
17.解析：
先求函数定义域：
由2－ax＞0，得ax＜2
又a是对数的底数，
∴a＞0且a≠1，∴x＜
由递减区间[0，1]应在定义域内可得＞1，∴a＜2
又2－ax在x∈[0，1]是减函数
∴y=loga（2－ax）在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：
a＞1
∴1＜a＜2
18、解：
依题意（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1＞0对一切x∈R恒成立．
当a2－1≠0时，其充要条件是：
解得a＜－1或a＞
又a=－1，f（x）=0满足题意，a=1，不合题意．
所以a的取值范围是：
（－∞，－1]∪（，＋∞）
19、解析：
由f（－1）=－2，得：
f（－1）=1－（lga＋2）＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，
∴=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：
x2＋（lga＋2）x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，
由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得（1＋lgb）2－4lgb≤0
即（lgb－1）2≤0，只有lgb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f（x）=x2＋4x＋1=（2＋x）2－3
当x=－2时，f（x）min=－3．
20.解法一：
作差法
|loga（1－x）|－|loga（1＋x）|=||－||=（|lg（1－x）|－|lg（1＋x）|）
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x
∴上式=－[（lg（1－x）＋lg（1＋x）]=－·lg（1－x2）
由0＜x＜1，得，lg（1－x2）＜0，∴－·lg（1－x2）＞0，
∴|loga（1－x）|＞|loga（1＋x）|
解法二：
作商法
=|log（1－x）（1＋x）|
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log（1－x）（1＋x）|=－log（1－x）（1＋x）=log（1－x）
由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜（1－x）（1＋x）＜1，∴＞1－x＞0
∴0＜log（1－x）＜log（1－x）（1－x）=1
∴|loga（1－x）|＞|loga（1＋x）|
解法三：
平方后比较大小
∵loga2（1－x）－loga2（1＋x）=[loga（1－x）＋loga（1＋x）][loga（1－x）－loga（1＋x）]
=loga（1－x2）·loga=·lg（1－x2）·lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg（1－x2）＜0，lg＜0
∴loga2（1－x）＞loga2（1＋x），即|loga（1－x）|＞|loga（1＋x）|
解法四：
分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga（1＋x）|=－loga（1－x）－loga（1＋x）=－loga（1－x2）
∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1
∴loga（1－x2）＜0，∴－loga（1－x2）＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga（1＋x）＜0
∴|loga（1－x）|－|loga（1＋x）|=|loga（1－x）＋loga（1＋x）|=loga（1－x2）＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga（1＋x）|
21.解析：
（1）定义域为（－∞，1），值域为（－∞，1）
（2）设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴，于是a－＜a－
则loga（a－a）＜loga（a－）
即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在定义域（－∞，1）上是减函数
（3）证明：
令y=loga（a－ax）（x＜1），则a－ax=ay，x=loga（a－ay）
∴f－1（x）=loga（a－ax）（x＜1）
故f（x）的反函数是其自身，得函数f（x）=loga（a－ax）（x＜1＝图象关于y=x对称．
22.
解析：
根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为（a，log2a），（a＋1，log2（a＋1）），（a＋2，log2（a＋2）），则△ABC的面积
S=
因为,所以
2019-2020年高中数学对数与对数运算教案
（一）新课标人教版必修1（B）
三维目标
一、知识与技能
1.理解对数的概念.
2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.
3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.
二、过程与方法
1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.
2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N＞0”的理解，培养学生数学地分析问题的意识.
3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.
三、情感态度与价值观
1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.
2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
3.通过指导学生阅读“对数的发展史”不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.
教学重点
1.对数式和指数式之间的关系.
2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化.
教学难点
对数概念的理解以及对数符号的理解.
教具准备
多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业.
教学过程
一、创设情景，引入新课
（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料）
截止到xx年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？
（精确到亿）
师：
设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y=13×1.01x.我们能从这个关系式中算出任意一个年头x的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？
（生思考，师组织学生讨论得出）
由y=1.01x的图象可求出当y=、、时，相应的x的值，实际上就是从1.01x=，1.01x=，1.01x=……中分别求出x.
师：
根据指数的有关知识，在关系式1.01x=中，要我们求解的量在什么位置？
生：
在等式左边的指数位置上.
师：
那么，要求x的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？
生：
求指数x.
师：
这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——已知指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题.
（引入新课，书写课题——对数）
二、讲解新课
（一）介绍对数的概念
合作探究：
若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？
（生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书）
一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
合作探究：
根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.
师：
你如何理解“log”和logaN？
（生探讨，得出如下结论）
知识拓展：
符号“log”与“+，”等符号一样表示一种运算，logaN是一个整体，表示以a为底N的对数，不表示log、a、N三者的乘积.读作以a为底N的对数，注意a应写在右下方.
（二）概念理解
合作探究：
对数和指数幂之间有何关系？
（生交流探讨得出如下结论）
a
N
b
指数式ab=N
（底数）
（幂）
（指数）
对数式logaN=b
（对数的底数）
（真数）
（对数）
说明：
括号内属填空、选择的题目.
合作探究：
是不是所有的实数都有对数呢？
在对数式logaN=b中，真数N可以取哪些值？
为什么？
（生讨论，结合指数式加以解释）
∵在指数式中幂N=ab＞0，∴在对数式中，真数N＞0.
（师借助计算器或计算机进行示范）可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息.
师：
条件N＞0说明了什么？
生：
负数与零没有对数.
合作探究：
根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求loga1和logaa（a＞0，且a≠1）的值.
（生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论）
∵对任意a＞0且a≠1，都有a0=1，
∴loga1=0.
同样，∵对任意a＞0且a≠1，都有a1=a，∴logaa=1.
合作探究：
a=N、logaab=b是否成立？
（师生共同讨论，给出如下解释）
（1）设a=x，则logaN=logax，所以x=N，即a=N.
（2）∵ab=ab，∴logaab=b（对数恒等式）.
师：
对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.
（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）
（三）常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，如log102、log1012等，并把对数log10N简记为lgN，如lg2、lg12等.
（四）自然对数
在科学技术中，常常使用以e（e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN，如ln2、ln15等.
（五）例题讲解
师：
我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？
（投影显示如下例题）
【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）54=625；
（2）2－6=；（3）（）m=5.73；（4）log16=－4；（5）lg0.01=－2；
（6）ln10=2.303.
方法引导：
进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.
（生口答，师板书）
解：
（1）log5625=4；
（2）log2=－6；（3）log5.73=m；（4）（）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10.
【例2】求下列各式中的x的值：
（1）log64x=－；
（2）logx8=6；（3）lg100=x；（4）－lne2=x.
（师生共同讨论，师板书）
解：
（1）因为log64x=－，所以x=64=（43）=4－2=；
（2）因为logx8=6，所以x6=8，x=8=（23）=2=；
（3）因为lg100=x，所以10x=100，10x=102，于是x=2；
（4）因为－lne2=x，所以lne2=－x，e2=e－x，于是x=－2.
方法小结：
在解决对数式求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.
（六）目标检测
课本P74练习第1，2，3，4题.
（生完成，师组织学生进行课堂评价）
解答：
1.
（1）log28=3；
（2）log232=5；（3）log2=－1；（4）log27=－.
2.
（1）32=9；
（2）53=125；（3）2－2=；（4）3－4=.
3.
（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；
（2）设x=log2，则2x==2－4，所以x=－4；
（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；
（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3.
4.
（1）1；
（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.
三、课堂小结
师：
请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？
哪些东西你还没有掌握？
（生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）
1.对数的定义及其记法；
2.对数式和指数式的关系；
3.自然对数和常用对数的概念.
四、布置作业
板书设计
2.2.1对数与对数运算
（1）
1.对数的定义
2.对数式和指数式的关系
3.自然对数和常用对数的概念
一、例题解析及学生练习
例1
例2
二、课堂小结与布置作业
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