高考数学《新高考创新题型》之5数列含精析.docx

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高考数学《新高考创新题型》之5数列含精析

之5.数列（含精析）

一、选择题。

1．已知函数，.定义：

，，……，

，满足的点称为的阶不动点.则的阶不动点的个数是（）

A.个B.个C.个D.个

2．函数f1（x）＝x3，f2（x）＝，f3（x）＝，f4（x）＝|sin（2πx）|，等差数列{an}中，a1＝0，a2015＝1，bn＝|fk（an＋1）－fk（an）|（k＝1，2，3，4），用Pk表示数列{bn}的前2014项的和，则（）（创作：

“天骄工作室”

A.P4＜1＝P1＝P2＜P3＝2B.P4＜1＝P1＝P2＜P3＜2

C.P4＝1＝P1＝P2＜P3＝2D.P4＜1＝P1＜P2＜P3＝2

3．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n>l，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则=（）

A．B．C．D．

4．已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:

（ab）=a（b）+b（a）,

（2）=2,an=错误！

未找到引用源。

（n∈N*）,bn=错误！

未找到引用源。

（n∈N*）.

考察下列结论:

①（0）=

（1）;②（x）为偶函数;③数列{an}为等比数列;④数列{bn}为等差数列.其中正确的结论共有（　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5．对于各项均为整数的数列，如果为完全平方数，则称数列具有“P性质”，如果数列不具有“P性质”，只要存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：

①是的一个排列；②数列具有“P性质”，则称数列具有“变换P性质”，下面三个数列：

①数列1，2，3，4，5；②数列1，2，3，，11,12；③数列的前n项和为.

其中具有“P性质”或“变换P性质”的有（）

A．③B．①③C．①②D．①②③

6．已知与都是定义在R上的函数，，且，且，在有穷数列中，任意取前项相加，则前项和大于的概率是（）

A.B.C.D.

二、填空题。

7．在数列中,,若（k为常数）,则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：

①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中正确判断命题的序号是.

8．若数列满足：

存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，现给出以下命题：

①若，则可以取3个不同的值

②若，则数列是周期为的数列

③且，存在，是周期为的数列

④且，数列是周期数列.其中所有真命题的序号是.

9．已知数列（），其前项和为，给出下列四个命题：

①若是等差数列，则三点、、共线；

②若是等差数列，且，，则、、…、这个数中必然存在一个最大者；

③若是等比数列，则、、（）也是等比数列；

④若（其中常数），则是等比数列；

⑤若等比数列的公比是（是常数）,且则数列的前n项和.

其中正确命题的序号是.（将你认为正确命题的序号都填上）

10．已知数列满足，给出下列命题：

①当时，数列为递减数列

②当时，数列不一定有最大项

③当时，数列为递减数列

④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项

请写出正确的命题的序号.

三、解答题。

11．设数列满足：

①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；

（2）设，求数列的伴随数列的前之和；

（3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列

的前项和．

12．已知数列是等差数列，其前n项和为Sn，若，．

（1）求；

（2）若数列{Mn}满足条件：

，当时，－，其中数列单调递增，且，．

①试找出一组，，使得；

②证明：

对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．

13．数列满足.

（1）设，求数列的通项公式.

（2）设，数列的前n项和为，不等式对一切成立，求m的范围.

14．已知等差数列中，，公差；数列中，为其前n项和，满足：

（Ⅰ）记，求数列的前项和；

（Ⅱ）求证：

数列是等比数列；

（Ⅲ）设数列满足，为数列的前项积，若数列满足，且，求数列的最大值.

15．已知为单调递增的等比数列，且，，是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）当且仅当，，成立，求的取值范围.

1．D.

【解析】函数，当时，，

当时，，∴的阶不动点的个数为，当，，，当，，，当，，，当，，，

∴的阶不动点的个数为，以此类推，的阶不动点的个数是个.

仿前可知，P4＝2＜2（sin－sin0＋sin－sinπ）＝1故P4＜1

3．A

【解析】试题分析：

由已知，

数列是首项为，公差为的等差数列，通项为；

所以，则

=．故答案为．

4．C

【解析】令,再令,所以有（0）=

（1）知①正确;令,从而令故知（x）为奇函数,故知②错误;对于③,由于

（2）=2,所以;从而,猜想…，成等比数列且,用数学归纳法可证明此结论:

对于n=1时，猜想显然成立；假设当时，猜想正确，即，从而，那么当时，

这就是说当时猜想也成立，故，故③正确;对于④,因为

6．A

【解析】可知,同号由得

又得解得a=或a=2

①a=时，=可知是以首项为，公比为的等比数列，则前k项和为

=令>解得K=5所以前五项相加和才大于

②a=2时，=可知是以首项为2公比为2的等比数列则前k项和

=显然k=1时2>.

联立①②得概率为.故选A

7．①④

【解析】由等差比数列的定义可知，等差比数列的公比不为0，所以①正确；当等差数列的公差为0即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列；当是等比数列时，当公比时，不是等差比数列；数列是公比为等差比数列，该数列中有无数多个0。

8．①②③

【解析】对于①，根据条件，当m＞2时，有a2＝m－1＞1，a3＝m－2，于是m－2＝4，有m＝6满足条件；当m∈（1，2]时，有a2＝m－1∈（0，1]，则a3＝，于是＝4，m＝满足条件；若m＝1，则an＝1恒成立，不可能有a3＝4，当m∈（0，1）时，有a2＝＞1，a3＝－1，于是－1＝4，m＝满足条件.故①正确.

对于②，逐个推导可得：

a1＝，a2＝－1，a3＝，a4＝，是周期为3的周期数列.故②正确

对于③，要想使得{an}是周期为T的周期数列，因为m＞1，故只需使得aT＝，则aT＋1＝m，而m＞1，可使得aT＝m－（T－1），即m－（T－1）＝，于是m2－（T－1）m－1＝0，该关于m的方程两根之积为－1，必为异号两根，而根之和为T－1≥1，故其正根m必定大于1，满足条件，故③正确；

对于④，仿照③可知，当T＝1时，m＝1不满足条件

当T∈N*且T≥2时，若m为整数，则必定在若干项以后出现an＝1，之后成为常数数列，不合题意，

故m为非整数，且m＝（舍负），

要使得m∈Q，则必为有理数（且为整数），令其为n，且T－1＋n不是偶数，否则m为整数，即T＋n是偶数，所以，T与n同奇或同偶

由T2－2T＋5＝n2知，T与n不能同为偶数，

当T为奇数时，T2是奇数，等式左边是偶数，这与n2为奇数矛盾

综上，这样的条件不可能满足.故④错误

9．①④

10．③④

【解析】

选项①：

当时，，有，，则，即数列不是递减数列，故①错误；

选项②：

当时，，因为，所以数列可有最大项，故②错误；

选项③：

当时，，所以，即数列是递减数列，故③正确；

选项④：

，当为正整数时，；当时，；当时，令，解得，，数列必有两项相等的最大项，故④正确.

所以正确的选项为③④.

11．

（1）1,1,1,2,2,2,3；

（2）50；（3）

【解析】

（1）本题解题的关键是抓住新定义中“是数列中，满足不等式的所有项的项数的最大值”，正确理解题中新定义的内容，根据伴随数列的定义直接写出数列1,4,7的伴随数列；

（2）对于这类问题，我们要首先应弄清楚问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时的常用方法即可解决，根据伴随数列的定义得，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前20项的和；（3）数列是特殊的函数，以数列为背景是数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，由题意和与的关系，代入得，求出伴随数列的各项，再对分类讨论得.

解：

解：

（1）由伴随数列的定义得，

数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3（后面加3算对）

（2）由，得

∴当时，

12．

（1）；

（2）①，；②证明见解析．

【解析】

（1）设数列的首项为，公差为，利用基本量表示有关量进行求解；

（2）

先根据固定，再根据，验证是否存在符合题意；

由

的结论。

先猜后证.

解：

（1）设数列的首项为，公差为，

由，，得，

解得，

所以

（2）①因为，

若，，

因为，

所以，，此方程无整数解；

若，，

因为，

所以，，此方程无整数解；

若，，

因为，

所以，，解得，

所以，满足题意

②由①知，，，则，，，

一般的取，

此时，，

则＝－＝，

所以为一整数平方．

因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．

13．

（1）；

（2）或.

【解析】

（1）由已知得，所以，这样可以累差求出的通项公式.

可以求出的前项和，根据题意，这样可以求出m的取值范围.

解：

由已知得，所以，

则，叠加得，因为，所以

故

故，所以或.

14．（Ⅰ）；（Ⅱ）由，得，所以当时，=，又当

，符合上式，所以，故数列是等比数列.

（Ⅲ）的最大值为.

【解析】（Ⅰ）首先由数列的通项公式，可得数列的通项公式，然后运用裂项相消法即可求得其

前项和；（Ⅱ）由已知及公式可得，当时，的通项公式；然

后验证当时，是否满足上述通项公式，进而求出的通项公式即可证明结论成立；

（Ⅲ）根据作差法判断数列的单调性，进而判断数列的最大值即可.

解：

（Ⅰ）因为，

所以，

所以

=.

（Ⅱ）由，得，所以当时，=，

又当，符合上式，所以，

故数列是等比数列.

（Ⅲ）因为，所以，

当时，=，

又符合上式，所以，

因为，所以当时，单调递减，

当时，单调递增，但当时，每一项均小于0，

所以的最大值为.

15．

（1），

（2）。

由已知可得：

，

所以，当且仅当，且时，上式成立，

设，则，（（创作：

“天骄工作”）

作：

“天骄工作室”）

所以，所以的取值范围为。