24圆教案.docx

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24圆教案

第二十四章圆

24.1圆

第1课时圆

●教学目标

1.理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.

2.能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算.

●重点难点

1.圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解（重点）.

2.圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系（难点）.

●教学过程

例题导入

圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.

你还能举出生活中几个圆的例子吗?

从本节课开始，我们将会更清楚地了解圆以及一些相关的概念和性质.

●探求新知

圆的定义及相关概念

阅读课本第78页至第79页内容，探究发现：

1.圆的定义

（1）从旋转的角度理解：

如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做，线段OA叫做.

思考：

①线段OA所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周.

②在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，确定位置，确定大小.

③以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.那么以点A为圆心的圆，记作，读作.

（2）从集合的观点理解：

圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有的点的集合.

2.圆的相关概念

（1）连接圆上任意两点的叫做弦，经过圆心的弦叫做.如图2，是⊙O的直径；在⊙O中，线段是弦.

思考：

①“直径是弦，弦是直径”这种说法正确吗？

直径是圆中最长的弦吗？

结论：

，.

②圆心的中点意识：

圆心是圆中任意一条直径的直径等于半径的倍.

（2）圆弧是圆上，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.大于的弧叫做优弧，小于的弧叫做劣弧.

思考：

①“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？

结论：

.

②以A，B为端点的弧记作

，读作“圆弧AB”或“弧AB”，那么以M，N为端点的弧记作，读作.如图2，弦AC所对的弧有两条，其中优弧记作，劣弧记作.

（3）能够的两个圆叫做等圆.“由半径相等的两个圆是等圆”.思考：

面积相等的两个圆是等圆吗？

周长相等的两个圆呢？

结论：

，.

在同圆或等圆中，能够互相的弧叫做等弧.可见，等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等，那么可以理解“长度相等的弧是等弧”这种说法是的（填“正确”或“错误”）.

【课堂小结】在理解圆的相关概念时要结合图形加强直观理解，特别要注意弦与直径，弧与半圆的区别与联系.直径是弦，但弦不一定是直径，半圆是弧，但弧不一定是半圆.

【针对训练】

1.下列命题正确的是（）

A.直径不是弦B.长度相等的弧是等弧

C.圆上两点间的部分叫做弦D.大小不等的圆中不存在等弧

2.下列说法中正确的是（）

A.弦是一条直径B.过圆心的线段是直径

C.圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径D.半径相等的圆是等圆

3.⊙O的半径为2cm，则它的弦长dcm的取值范围是.

运用“用圆的半径相等”解决问题

例1如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）

A.38°B.52°C.76°D.104°

【课堂小结】在圆中，相等的半径往往作为图形条件出现，可直接使用，有时在无半径的情况下，还需要作出半径.从而根据等边对等角，得相等的角，进行证明或计算.

【针对训练】

4.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°

●归纳总结

1．

2.应用：

同圆的半径相等，圆心是任一直径的中点．

●当堂检测反馈矫正

1．下列命题正确的有（A）

①弦是圆上任意两点之间的部分②半径是弦③直径是最长的弦④弦是半圆，半圆是弦

A.1个B.2个C.3个D.4个

2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.

3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC=10cm，则OD=5cm.

4．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是（A）.

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

5．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（C）.

A.AD=BCB.AD∥BCC.AD∥BC且AD=BCD.不能确定

第2课时垂直于弦的直径

●教学目标

1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.

2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题.

重点难点

1.垂径定理、推论及其应用（重点）．

2.发现并证明垂径定理（难点）．

●教学过程

例题导入

问题：

你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,　拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．

探究新知

圆的轴对称性

围绕课本第81页“探究”，实践操作，思考：

圆的对称轴有多少条？

圆的任何一条直径都是它的对称轴，这种说法正确吗？

【课堂小结】圆有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴；因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”．

【针对训练】

1.下列说法错误的是．

A．圆的直径都是圆的对称轴　　　　　　　B．圆的直径所在直线都是圆的对称轴

C．过圆心的每条直线都是圆的对称轴　　　D．圆的半径所在直线都是圆的对称轴

垂径定理及其推论的推导

2.阅读课本第81页“思考”及第82页上半部分内容．解决问题：

（1）垂径定理：

垂直于弦的直径弦，并且弦所对的.

符号语言：

如图，

∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴=,

=,

=.

（2）垂径定理的推论：

弦（）的直径垂直于弦，并且弦所对的两条孤.

符号语言：

如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE=DE.

∵AB是直径，CE=DE，∴，，.

思考：

为什么要在垂径定理的推论中，加上“（不是直径）”这一限制条件？

【点拨升华】：

解决课本第80页“思考”可以综合利用圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性来观察分析．学习垂径定理要注意：

（1）条件中的“弦”可以是直径．

（2）结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．

【针对训练】

2.判断：

平分弦的直径垂直于弦（）

3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，只要再添加

一个条件：

，就可得到E是CD的中点．

垂径定理的应用

例1你知道赵州桥吗？

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

思考：

从数学的角度分析已知什么几何图形？

画出它，分析已知哪些量？

要求什么量？

为了解决问题，教材添加了什么辅助线？

它有何作用？

【课堂小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线.实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式2=2+2.

【针对训练】

4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的

），点O是这段弧的圆心，C是

上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是m.

5.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：

四边形ADOE是正方形.

●归纳总结

1.

2.一种辅助线和一种数学思想方法．

●当堂检测反馈矫正

1.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC=10．

2.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2

cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离

是1cm．

3.如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是6．

4.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（A）．

A.2B.3C.4D.5

5.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（D）．

A.7cmB.1cmC.7cm或4cmD.7cm或1cm

第3课时弧、弦、圆心角

●教学目标

1.能识别圆心角.

2.探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性.

3.能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题.

重点难点

1.弧、弦、圆心角关系定理及推论（重点）.2.定理的探索、证明过程（难点）.

●教学过程

例题导入在纸上，任意画一个圆，任意画出两条半径，构成顶点在圆上的一个角，像这样的角就是圆心角．这节课就来探究在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．

●探求新知

弧、弦、圆心角之间的关系的推导

用纸剪一个圆（课前布置学生做好），在圆上画任意一个圆心角，任意旋转一个角度后，在旋转前后的图形中（如图所示，标注字母），你发现了什么等量关系？

由此你能得到什么结论？

思考：

圆是旋转对称的，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．那么，你能从弧、弦、圆心角三方面发现它们之间有何相互依存的关系吗？

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

符号语言：

在⊙O中，∵∠AOB=∠A′OB′，

∴

=

，AB=A′B′．

推论：

1.．

2.．

符号语言：

1.．

2.．

【课堂小结】定理和推论都是以“在同圆和等圆中”为前提的，否则不成立.定理和推论可总结概括为:

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.

【针对训练】

1.如右图，下列说法错误的是（）

A.∠AOC和∠AOB是圆心角B.∠AOC所对的弦是AC

C.∠AOB所对的弦是ACD.∠BOC所对的弦是BC

2.下列选项中的图形及推理，其中正确的有.

∵∠AOB＝∠A′OB′∵

＝

∵∠AOC＝∠BOC

∴

=

∴AB＝CD∴AD＝BC

（1）

（2）（3）

弧、弦、圆心角的关系的应用

例1如图，在⊙O中,AB=AC,∠ACB=60°，求证∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

思考：

在圆中，要证明圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解决．由AB=AC及∠ACB=60°发现△ABC是何形状的三角形？

【课堂小结】由弦相等推出弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．

【点拨升华】在圆中通常证明弧、弦、圆心角三组量中的任意一组量相等来说明剩余两组量相等．在证明圆心角或弦相等时又常常是由半径、弦、弦心距构造直角三角形，证明全等来解决．

【针对训练】

3.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数.

解：

∵BC=CD=DE，

∴∠=∠COD=∠=35°.

∴∠AOE=180°－=.

4.如果AB＝CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？

为什么？

●梳理整合

正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系：

在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，即一项相等，其余二项相等．

●当堂检测反馈矫正

1.已知圆O的半径为5,弦AB的长为5,则弦AB所对的圆心角∠AOB=60°或300°.

2.在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的

，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB＝90°；弦AB的长为12

.

3.如图，在⊙O中，

=

，∠B=70°，则∠A等于40°．

4.在⊙O中，圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为（B）

A.4B.8

C.24D.16

5.如图，AB是⊙O的直径，

=

　求证：

OC∥AD.

【证明】：

连接OD.∵

=

，∴∠BOC＝∠COD，∴∠BOD＝2∠COD.∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠BOD＝∠OAD+∠ODA=2∠ODA，∴∠COD＝∠ODA，∴OC∥AD.

第4课时圆周角

●教学目标

1.学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论.

2.掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理.

3.会用圆周角定理及推论进行证明和计算.

●重点难点

1.圆周角的定理及应用（重点）.

2.运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理（难点）.

●教学过程

例题导入

下图是圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？

如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E、他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？

像∠ACB、∠ADB和∠AEB这样顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.今天我们就圆周角进行探究.

探求新知

圆周角定理及其推论的推导

1.圆周角定理的推导

问题1：

同弧（

）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？

问题2：

同弧（

）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？

思考：

（1）交流讨论：

在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？

请在下列图中画出来.

（2）①当圆心在圆周角的一边上时，如何证明问题1中发现的结论？

请结合你上面画出的此种情况下的图形证明.②另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？

（3）解决问题2.

【课堂小结】：

圆周角定理的证明体现了分类讨论的思想.“在同圆或等圆中”这一限制性条件，不可或缺.若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论是错误的.（填“正确”或“错误”）

2.圆周角定理推论的推导

思考：

半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？

90°的圆周角所对的弦是什么？

在半径不等的圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧相等吗？

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？

为什么？

圆内接四边形的两组对角分别有怎样的关系？

【课堂小结】：

圆内接四边形的对角互补的题设和结论分别是圆内接四边形的对角，互补.

【针对训练】

1.下列各图中，∠ABC不是圆周角的是.（填序号）

2.（2012·益阳）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC=度．

3.如图，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC＝°.

4.（2012·淮安）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40º，则∠B的度数为（）

A．80ºB．60ºC．50ºD．40º

5.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝.

圆周角定理及其推论的应用

例1如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.

思考：

解答过程中是如何应用∠ACB的平分线这一条件证得AD=BD的?

推理依据是什么？

去掉“

=

”这一步行吗？

计算时应用了勾股定理，问题中的直角三角形是如何产生的？

依据是什么？

【反思小结】半圆（或直径）所对的圆周角是直角这一推论为在圆中确定直角，构成垂直关系，创造了条件，有时在圆中没有直径时，还需构造出直径.

【针对训练】

6.在例1条件下，求CD的长.（提示：

过点A或点B作CD的垂线段，运用勾股定理求解）

●梳理整合

1.两个概念：

圆周角，圆内接四边形．

2.圆周角定理及其推论．

3.圆内接四边形的性质．

4.分类讨论的数学思想方法．

●当堂检测反馈矫正

1.如图，在⊙O中，若C是

的中点，则图中与∠BAC相等的角有（C）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图,圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的度数是（C）

A.156°B.78°C.39°D.12°

3.（2012·云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（C）

A.40°B.50°C.60°D.70°

4.（2012·深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内

上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（C）

A．6B．5C．3D．

5.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝40°.

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

第1课时点和圆的位置关系

●教学内容

教材第92至94页

●教学目标

1．弄清点和圆的三种位置关系及数量间的关系．

2．探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法．

3．了解运用反证法证明命题的思想方法．

●重点难点

1．过不在同一条直线上的三点作圆（重点）．

2．探究过三点作圆的过程，明白过同一直线上的三点不能作圆的道理（难点）．.

●教学过程

例题导入

●聚焦主题合作探究

点与圆的三种位置关系

例1如图，⊙O的半径是r．填空：

点A在⊙O，点B在⊙O，点C在⊙O；比较大小：

OAr，OBr，OC

r．

思考：

我们知道，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，如上图，⊙O就是到定点的距离等于定长的点的集合．那么，到定点的距离小于定长的点的集合是什么图形呢?

到定点的距离大于定长的点的集合又是什么图形呢？

你能归纳出点和圆的位置关系与数量关系之间的对应关系吗？

【反思小结】

（1）点的位置关系可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

（2）符号“

”读作“等价于”，它表示从符号“

”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.

【针对训练】

1.已知⊙O中，r=5cm，有三个点A、B、C，OA=4.5cm，OB=5cm，OC=5.5cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系分别为．

2.能在同一个圆上的是（）

A.平行四边形四个顶点B.梯形四个顶点

C.矩形的四边中点D.菱形的四边中点

过三点的圆

1.阅读课本第91页探究至第92页思考栏目上面内容．

思考：

（1）我们知道“确定一条直线”这一基本事实，那么对于圆来说，是否也有几点确定的问题？

相应结论是什么？

（2）要经过不在同一直线上的三点作一个圆，如何确定这个圆的圆心？

（3）“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中“不在同一直线上”这个条件能否省略？

为什么？

归纳：

①如图1，A是平面内任意一点，请作出经过点A的圆.

思考：

圆的位置固定吗？

大小固定吗？

②如图2，A，B是平面内任意两点，请作出经过A，B两点的圆，思考：

如何确定圆心？

圆的位置固定吗？

圆的大小固定吗？

【探究发现】

①作经过已知点A的圆，可以作个.

②作经过已知点A，B的圆，可以作个，圆心在线段AB的上.

③上面作图中，关键是确定，为何不需要考虑半径的大小？

（2）如图，A，B，C是三个不在同一条直线上的三点.设经过这三点的圆的圆心为O，由探究点一中知识知道OAOBOC.可见，点O在线段AB，BC，AC的上.那么，请你在图中画出点O及经过A，B，C三点的圆.（要求：

尺规作图.提示：

画出两条垂直平分线即可）

归纳：

①上的个点确定一个圆.

②经过三角形的三个顶点可以作个圆，这个圆叫做三角形的.

③三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它是三条边的交点，它到三个顶点的距离.

【反思小结】“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆.

【针对训练】

3.填空：

锐角三角形的外心在三角形的，直角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在三角形的.任意三角形的外接圆有个，而一个圆的内接三角形有个.

4.如图，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别供水，为使三条输水管线长度相等，水泵站应建在何处？

请画出示意图，并说明理由．

反证法

2.仔细阅读教材第92页中、下部分内容．

思考：

什么叫反证法？

反证法的证明过程是怎样的？

假设待证结论不成立时，应该注意什么问题？

（要求：

围绕教材实例理解即可）

【反思小结】从命题结论的反面出发，通过推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法就叫做反证法.假设待证结论不成立时，必须考虑结论反面可能出现的情况，写出所有情况，且一一加以否定，才能得出原命题正确的结论.

【针对训练】

5.用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d>r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设（）

A.d

C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或点P在⊙O内

●总结梳理整合提高

1.点和圆的位置关系与数量关系之间的互化．

2.不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3.三角形的外接圆．

4.反证法的一般步骤．

随堂检测案

●针对训练规律总结

请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.

●当堂检测反馈矫正

1.⊙O的半径为10㎝，点P到圆心O的距离为10㎝，则点P与⊙O的位置关系

为在圆上.

2.三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等．

3.在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=6，BC=8，则此三角形外心与直角顶点C的距离为5．

4.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点O为坐标原点，则点O的位置为（B　）

A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定

5.在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是4或6.

第2课时直线和圆的位置关系

（一）

●教学内容

教材第95至97页

●教学目标

1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．

2.会用数量关系确定直线与圆的位置关系．

●重点难点

1.切线的判定与性质（重点）．

2.探索圆的切线的性质（难点）．.

●教学过程

例题导入

●探求新知

直线和圆的位置关系的判断

例1在下列图中，画线表示你所发现的直线和圆的三种位置关系.（可根据思考

（2）问题情境联想画图）

阅读课本第96页图24.2－8下方三段内容并结