《概率论与数理统计》期末考试及答案.docx
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《概率论与数理统计》期末考试及答案
号学
名姓
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
华南理工大学期末考试
概率论与数理统计》试卷A卷
线
2.23
1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；可使用计算器；
注意事项：
2.
业专
t0.05101.812
t0.0591.83
t0.02582.31
t0.02592.26t0.02510
答不内线封密
解：
（1）
、（10分）
P（ABC）
0.8413,（1.645）
已知：
P（A）P（B）
求：
P（ABC）
P（AB=1-P（AB=1-（P（A）=3
8
P（AC）0,
0.95,
P（C）
（1.96）
0.975,
（2）
0.9772
1P（AB）P（BC）
4
C）
C）
P（B）P（C）P（AB）P（AC）P（BC）
P（ABC）0）
1
1P（AC）0
16
P（ABC））
二、（15分）袋中有15个球，10个红球，5个黄球。
不放回地分两次从袋中将球逐个取出，第一次取5个球，第二次取6个球。
求以下事件的概率：
（1）第二次6个球中的第5个是红球；
（2）第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球；
（3）
第一次5个球中有3个红球或第二次6个球中有2个黄球；解：
（1）设A：
第二次6个球中的第5个是红球
（2）设A：
第一次5个球中有2个黄球
B：
第二次6个球中有4个红球原问题转换为求P（AB）
①:
Ω:
C15
P（A）
C52C130
C155
P（B）
C52C140
C165
C62
P（AB）
C52
C62
C155
C155
0.62
P（A∪B）=P（A）P（B）P（AB）=620
1001
2
2ln22ln2
=e2
1
22
22x
x2
e8dx－
e4ln22
1
22
1
e8
22
8ln2264ln222
4ln2dx－e
8ln22
=e－e
2
4ln224ln24ln2
4ln2=24ln224ln21
四、（12分）某种产品装在三个盒子中，第1个盒子装有3个次品和6个正品，第2个盒子装有个2个次品和10个正品，第3个盒子装有6个次品和18个正品。
扔一骰子以决定选盒，若出现点数为1，2，3，选第1个盒子；若出现点数为4，选第2个盒子；若出现点数为5，6，则选第3个盒子；从选中的盒中任取一产
品。
试求：
（1）取出的产品为次品的概率；
（2）当取出的产品为次品时，它来自第1、2、3盒的概率各是多少？
解：
设A：
产品为次品
Bi：
产品取自第i盒，i=1、2、3则：
P（B1）=1/2,P（B2）=1/6,P（B3）=1/3
P（A|B1）=3/9,P（A|B2）=2/12,P（A|B3）=6/24
（1）
3
P（A）=P（ABi）
i1
3
=P（Bi）P（ABi）5/18
i1
（2）
P（Bk|A）=P（ABk）
P（A）
3k15
=1k2
10
3k3
五、（15分）商场销售某种商品，每周销售量（件数）服从λ=9的泊松分布，各周的销售量相互独立，一年按50个销售周计。
每销售一件该商品商场可获得10元利润。
求（精确到元）：
（1）一年中商场售出该商品件数在400件到500件之间的概率；
（2）以95%的把握估计商场销售该商品一年中能获得的最低利润是多少？
（3）以95%的把握估计商场销售该商品一年中能获得的最高利润是多少？
解：
设ξi：
第i周的销量，则：
ξi～P（9），i=1，⋯，50
令：
μ=Eξi=9，σ2=Dξi=9
50
（1）P（400i500）
i1
50
i50
40050i1i50050
=Pi1
505050
m
450
10
（3）
设：
M
为最高利润，求
M，s.t.P10
50
iM
i1
0.95
50
50
50i450M
450
M450
P10
iMP
i1
i110
3503
50=
10
350
350
M
N（100,2.34），
100个工件中
六、（2学分）（9分）机械加工设备加工某种工件的长度服从在正式出厂前需要试生产100个该种工件。
试问在试生产的长度误差不小于3%的工件个数不少于3件的概率？
解：
设：
事件A：
长度误差不小于3%，n=100，p=P（A）η：
试生产的n个工件中长度误差不小于3%的工件个数则：
η～B（n,p）
p=P（A）=P（|ξ－100|≥3）
31003
=1P
2.342.342.34
七、（2学分）（12分）设二维连续型随机变量（,）的联合概率密度函数为：
（2x3y）
（x,y）
Ae（2x3y）x0,y0
0x0,y0
求：
（1）A的值
1
（2）（,）落在区域D中的概率，D是由2x+3y=6，y-x=，x+6y=–13
围成的封闭区域
解：
①dx（x,y）dyAdxe（2x3y）dy1，A=6
00
②P（（ξ,∈ηD））=（x,y）dxdy
（x,y）D
1x1362x
=61dxx3e（2x3y）dy63dx3e（2x3y）dy0010
=12e123e655
x0
11
12
求：
（1）P
2P
412
②P24P
3
③Eξ=iP
i0
六、（3、4学分）（11分）某地某种商品在一家商场中的月消费额～N（μ,σ2）,且已知σ=100元。
现商业部门要对该商品在商场中的平均月消费额μ进行估计，且要求估计的结果须以不小于95%的把握保证估计结果的误差不超过20元，问至少需要随机调查多少家商场？
解：
求
n，s.t.
P
X
20
0.95
P
X
20
P
20
X
20
/n
/n
/n
n
5
n
5
5n=0.975
n=96.04
至少调查
97家
七、（3、4学分）（10分）自动包装机将水泥装袋，每袋的标称重量为100千克，实际重量～N（μ,σ2），（μ,σ2未知）标准差不能超过2千克。
为检查机器的工作情况，随机地抽取10袋，测得样本均值x98.2千克，样本均方差s2.25千克。
通过检验期望和方差2来判断包装机的工作是否正常（=0.05）？
解：
1、σ未知，检验H0：
μ=100（n=10，α=0.05）
X
t~tn1t9S/n
tn1t0.02592.26拒绝原假设H0：
μ=100
2
2、μ未知，检验H0：
σ2=σ02=4
2iX
n12
2S
0
接受H0：
σ2=σ02=4
观察值=9*2.252/4=11.39
02.975（9）2.7,02.025（9）19
结论：
工作不正常，装袋量偏低。
2e2（x）x
0x
八、（3、4学分）（12分）设总体X的概率密度为：
f（x）
（1）求的矩估计；
（2）讨论是否具有无偏性。
解：
1、E
x
f（x）dx
x2e2（x）dx
1
2
X1
X
1其中：
X
1n
X
2
2
ni1
2、EEX
1
1
2
2
是参数
的无偏估计
3
=213=0.05
2.34
λ=np=5
-5
P（η≥3）=1-e-5（1+5+25/2）=0.8753
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