高一数学培优宝典.docx
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高一数学培优宝典
1．设函数f＝则f＋f＝A．3B．6C．9D．12C∵log212＞1，∴f＝2log212－1＝21＋log23＝2×3＝
6.∴原式＝1＋log24＋6＝
9.2．已知符号函数sgnx＝f是R上的增函数，g＝f－f，则A．sgn＝sgnxB．sgn＝－sgnxC．sgn＝sgnD．sgn＝－sgnB①当x0时，∵a＞1，∴xax，∴f－f0，∴sgn＝
1.②当x＝0时，x＝ax，f－f＝
0.∴sgn＝
0.③当x0时，∵a＞1，∴axx，∴f－f0.∴sgn＝－
1.∴sgn＝∴sgn＝－sgn
x.3．设函数f＝则满足f）＝2f的a的取值范围是
A.B．
C.D．表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得＝1，＝2，…，＝n同时成立，则正整数n的最大值是A．3B．4C．5D．6B由题可知：
当n＝1时，1≤t2.当n＝2时，2≤t23，即≤t满足条件．当n＝3时，3≤t34，即≤t满足条件．当n＝4时，4≤t45，即≤t满足条件．当n＝5时，5≤t56，即≤t，而.所以正整数n的最大值为
4.6．已知函数f＝则f）＝________，f的最小值是________．∵f＝lg＝1，∴f）＝f＝1＋2－3＝
0.当x≥1时，f＝x＋－3≥2－3，当x1时，x2＋1≥1，∴lg≥
0.综上，fmin＝2－
3.02－37．已知函数f＝ax＋b的定义域和值域都是，则a＋b＝________．当0a1时，由已知得解得∴a＋b＝－.当a1时，解得b＝－1，∴＝0，无解．综上a＋b＝－.－1．函数f＝ln的定义域为A．B．C．∪D．C．∈B．C．D．D∵当x≤0时，f＝2，又f是f的最小值，∴a≥0；当x0时，f＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满
足f是f的最小值，需2＋a≥f＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤
2.故选
D.8．设f是定义在上的函数，且f0，对任意a0，b0，若经过点），）的直线与x轴的交点为，则称c为a，b关于函数f的平均数，记为Mf．例如，当f＝1时，可得Mf＝c＝，即Mf为a，b的算术平均数．当f＝________时，Mf为a，b的几何平均数；
当f＝________时，Mf为a，b的调和平均数.设P），Q），则直线PQ的方程为y－f＝．令y＝0得c＝.令几何平均数＝⇒f＋f＝bf＋af，可取f＝；
令调和平均数＝⇒＝，可取f＝x．xk1k2x，其中k1，k2为正常数均可）考向1求函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求分式函数中分母不等于零．偶次根式函数的被开方式大于或等于
0.一次函数、二次函数的定义域均为
R.y＝x0的定义域是{x
x≠0}．y＝ax，y＝sinx，y＝cosx定义域均为
R.y＝logax的定义域为．y＝tanx的定义域为.f＝的定义域为
A.B．
C.∪
D.∪，则函数g＝的定义域是________．要使函数有意义，必须由①得21，即log2x1或log2x－1，解得x2或0x.故选
C.∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，∴0≤x1，即函数g的定义域是，则复合函数f）的定义域由a≤g≤b求出．②若已知函数f）的定义域为，则f的定义域为g在x∈时的值域．实际问题：
既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．求定义域时对于解析式先不要化简；
求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为A．y＝B．y＝C．y＝xexD．y＝若典型例题1改为函数f的定义域为，则函数g＝f的定义域为________．D函数y＝的定义域为{x
x≠0，x∈R}，与函数y＝的定义域相同，故选
D.∵0≤x≤2，∴－1≤x2－1≤3，从而函数f的定义域为．由－1≤2x≤3，得－≤x≤，所以函数f的定义域为.考向2求函数的解析式函数的解析式函数的表示方法：
解析法、列表法、图象法．函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y＝f的形式，可根据题目的条件转化为该形式．求函数的解析式时，一定要注意函数的定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明定义域往往导致错误．已知函数f＝x3＋ax2＋bx＋c，且0f＝f＝f≤3，则A．c≤3B．3c≤6C．6c≤9D．c9定义在R上的函数f满足f＝2f．若当0≤x≤1时，f＝x，则当－1≤x≤0时，f＝________.由f＝f＝f得，解得∴f＝x3＋6x2＋11x＋
c.由0f≤3，得0－1＋6－11＋c≤3，即6c≤9，故选
C.∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f＝f＝＝－x．C－x解题的关键是利用f＝f＝f求出a，b的值，再结合不等关系0f≤3求解；
解题的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化．求函数解析式的常见方法待定系数法：
若已知函数的类型，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．换元法：
已知f）＝g求f时，往往可设h＝t，从中解出x，代入g进行换元，求出f的解析式，再将t替换为x即可．转化法：
已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．解方程组法：
已知关于f与f）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f．如果f＝，则当x≠0，且x≠1时，f＝________．方法一：
令＝t，∴x＝，f＝＝，∴f＝.方法二：
f＝＝，用x替换，∴f＝.考向3分段函数及其应用1．分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．2．解决分段函数问题的注意事项分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集”，不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆．设f是定义在R上的周期为2的函数，当x∈解题的关键是借助周期函数将求f转化为求f的值；
解题的关键是分清自变量的取值范围与所对应的函数关系．分段函数两种题型的求解策略根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．已知函数值求自变量的值应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围．当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．已知函数f＝若f）＝4a，则实数a等于
A.
B.C．2D．9C∵01，∴f＝20＋1＝
2.∵f＝2≥1，∴f）＝22＋2a＝4a，∴a＝
2.故选
C.1．函数f＝的定义域是A．，∴f＝x3－ln．4．已知函数f的定义域为，则函数y＝的定义域为
A.
B.
C.
D.B要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x＜
2.故选
B.5．已知函数f＝则方程f＝1的解是
A.或2
B.或3
C.或4D．±或4C当x∈时，由3－x2＝1⇒x＝或－；
当x∈＝1的解为或
4.6．设函数f＝那么f＝A．27B．0C．3D．1B由题意知x≥5，f＝f．令x－5＝t，∴x＝5＋t，∴f＝f，∴f＝f，∴f的周期T＝5，∴f＝f＝f，而当0≤x＜5时，f＝x3，∴f＝03＝0，故f＝0，故选
B.7．已知函数f＝若f＋f≤0，则a的取值范围是A．B．C．D．D依题意可得或解得a∈，故选
D.8．设集合A＝，B＝，函数f＝若x0∈A，且f）∈A，则x0的取值范围是
A.
B.
C.
D.C因为x0∈A，即0≤x0，所以f＝x0＋，≤x0＋＜1，即≤f＜1，即f∈B，所以f）＝2＝1－2x0.因为f）∈A，所以0≤1－2x0＜，解得＜x0≤.又因为0≤x0＜，所以＜x0＜，故答案为
C.思路点拨：
解答本题关键是要分清x0∈A时，f的取值范围，以决定如何求f）的值．9．已知函数f的定义域为，且f＝2f·－1，则f＝________.在f＝2f·－1中，用代替x，得
f＝2f－1，①将①式代入f＝2f－1中，得f＝4f－2－1，故f＝
＋.＋10．已知f＝使f≥－1成立的x的取值范围是
________．由题意知，或解得－4≤x≤0或0x≤2，故x的取值
范围是．
1．已知定义在R上的函数f＝2
x－m
－1为偶函数，记a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为
A．abcB．acbC．cabD．cbaC∵f为偶函数，∴f＝f，∴m
＝0，∴f＝2
x
－
1.由函数的图象可知，函数f在上是减函数，在上是增函
数．∵a＝f＝f，b＝f，c＝f，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选
C.2．设函数f＝ln－ln，则f是A．奇函数，且在上是增函数
B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函
数，且在上是减函数A∵f＝ln－ln＝－f，∴f是奇函数．又
∵f′＝＋＝＝，x∈，∴f′在定义域内恒大于0，∴f在上是增函
数．1．下列函数中，满足“f＝ff”的单调递增函数是A．f＝xB．f
＝x3C．f＝D．f＝3xD∵f＝ff，∴f为指数函数模型，排除
A，
B.又∵f为单调递增函数，∴排除C，故选
D.2．下列函数中，在区间上为增函数的是A．y＝lnB．y＝－C．y＝D．y＝x＋A
函数y＝ln在上是增函数；
均是区间A上的增函数，则f＋g也是区间A上的增函数；若k0，则kf与f单调性相同；若k0，则kf与f单调性相反；函数y＝f0）在公共定义域内与y＝－f，y＝的单调性相反；函数y＝f≥0）在公共定义域内与y＝的单调性相同；奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于
原点对称的区间上单调性相反．下列函数中，在区间上为增函数的是A．y＝B．y＝2C．y＝2－xD．y＝log0.5函数f＝log的单调递增区间为A．B．C．D．A项，函数y＝在C．∪D．By＝x3是奇函数，y＝－x2＋1和y＝2－
x在上都是减函数，故选
B.B由图象可知，函数y＝f的单调递减区间为和，单调递增区间为.∵0a1，∴函数y＝logax在定义域内单调递减．由题意可知，0≤logax≤，解得≤x≤1，即所求递减区间为，故选
B.考向2函数单调性的应用1．函数最值的概念前提设函数y＝f的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f≤M①对于任意x∈I，都有f≥M②存在x0∈I，使得f＝M②存在x0∈I，使得f＝M结论M为最大值M为最小值函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值．2．函数单调性的应用比较函数值的大小；解抽象函数不等式；求待定参数的值或取值范围；求函数的最值或值域．已知函数f的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，·0恒成立，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为A．cabB．cbaC．acbD．bac如果函数f对任意的实数x，都有f＝f，且当x≥时，f＝log2，那么函数f在上的最大值与最小值之和为A．2B．3C．4D．－1已知函数f＝e
x－a．若f在区间上的最大值与最小值之和为f＋f＝f＋f＝f＋f＝log28＋log22＝
4.方法一：
∵f＝ex－a＝∴f在
1.比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f）f）的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式，此时要注意g与h的取值应在外层函数的定义域内．3．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：
f′≥0在A上恒成立且f′＝0在A的任意子区间不恒成立，若求得a≥2，则需检验a＝2时是否符合题意．已知偶函数f
在的最大值等于A．－1B．1C．6D．12C由已知得当－
2≤x≤1时，f＝x－2；
当1x≤2时，f＝x3－
2.∵f＝x－2，f＝x3－2在定义域内都为
增函数．∴f的最大值为f＝23－2＝
6.5．已知f是定义在R上的
偶函数，在区间上的奇函数，且f＝1，若a，b∈，a＋b≠0时，有
＞0成立．判断f在上的单调性，并证明；
解不等式f＜f；
若f≤m2－2am＋1对所有的a∈恒成立，求实数m的取值范
围．解：
任取x1，x2∈，且x1＜x2，则－x2∈．∵f为奇函数，∴f
－f＝f＋f＝·．由已知得＞0，x1－x2＜0，∴f－f＜0，即f＜f，∴f在上单调递增．∵f在上单调递增，∴解得－≤x＜－
1.∵f
＝1，f在上单调递增，∴在上，f≤
1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈成立．下面来求m的取值范围．设g＝－2m·a
＋m2≥
0.①若m＝0，则g＝0≥0，对a∈恒成立．②若m≠0，则g
为a的一次函数，若g≥0，对a∈恒成立，必须g≥0，且g≥0，∴m≤
－2或m≥
2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－
2.
1．下
列函数中，既是偶函数又存在零点的是A．y＝cosxB．y＝sinxC．y
＝lnxD．y＝x2＋1A由选项可知，A，D为偶函数，但D中函
数无零点．2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．y
＝B．y＝x＋C．y＝2x＋D．y＝x＋exDA中函数y＝为偶函
数；B中f＝－x－＝－f，故为奇函数；
C中f＝2－x＋＝＋2x＝f，故为偶函数；
D中f＝－x＋e－x，为非奇非偶函数，故选
D.3．若函数f＝xln为偶函数，则a＝________．由于f是偶函数，所以f＝f，即－xln＝xln，即xln＋xln＝0，∴xlna＝
0.又∵x不恒为0，∴lna＝0，a＝
1.11．设函数f，g的定义域都为R，且f是奇函数，g是偶函数，则下列结论中正确的是A．fg是偶函数B．fg是奇函数C．fg是奇函数D．fg是奇函数C若f为奇函数，则f为偶函数；若g为偶函数，则g为偶函数，且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”，对照选项可知C正确．2．已知函数f为奇函数，且当x0时，f＝x2＋，则f＝A．－2B．0C．1D．2A因为函数f为奇函数，所以f＝－f＝－
2.故选
A.3．设函数D＝则下列结论错误的是A．D的值域为{0，1}B．D是偶函数C．D不是周期函数D．D不是单调函数CA显然正确．D＝当x∈Q时，－x∈Q，而D＝D＝1；当x为无理数时，－x也为无理数，此时D＝D＝0，∴对任意的
x∈R，D＝D，∴B正确．不妨设a∈Q且a≠0，当x为有理数时，D＝D＝1，当x为无理数时，D＝D＝0，∴D为周期函数，∴C不正确．∵x1＝1，D＝1，x2＝2，D＝1，∴D＝D，∴D在定义域上不单调，故D正确，∴选
C.4．已知函数f是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f＝．若∀x∈R，f≤f，则实数a的取值范围为
A.
B.
C.
D.B因为当x≥0时，f＝，所以当0≤x≤a2时，f＝＝－x；
当a2x2a2时，f＝＝－a2；当x≥2a2时，f＝＝x－3a2.综上，函数f＝在x≥0时的解析式等价于f＝因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f≤f，则需满足2a2－≤1，解得－≤a≤.5．已知y＝f＋x2是奇函数，且f＝
1.若g＝f＋2，则g＝________．由已知y＝f＋x2是奇函数，f＝1，得f＋12＋f＋2＝0，f＝－3，所以g＝f＋2＝－
1.－16．设g是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f＝x＋g在区间上的值域为，则f在区间上的值域为________．∵g是周期为1的函数，且f＝x＋g，∴f＝x＋1＋g＝x＋g＋1＝f＋
1.同理f＝f＋1，…，即对f图象而言，x每增加1个单位长度，函数图象向上平移1个单位长度，反之，x每减少1个单位长度，函数图象向下平移1个单位长度，又x∈时，f∈，且f最大值与最小值差为7，所以，当x∈时，f∈；当x∈时，f∈；…；当x∈时，f∈．同理当x∈时，f∈．综上可知x∈时，f的值域为．考向1函数奇偶性的判断及其应用1．偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f的定义域内任意一个x，都有f＝ff＝－f结论函数f叫作偶函数函数f叫作奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称
2.奇偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．若f是奇函数且在x＝0处有定义，则f＝
0.定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是A．4B．3C．2D．1已知f，g分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f－g＝x3＋x2＋1，则f＋g＝A．－3B．－1C．1D．3若函数f＝x2－x＋a为偶函数，则实数a＝________．已知f是定义在R上的奇函数，当x0时，f＝x2－4x，则不等式fx的解集用区间表示为________．根据奇、偶函数的定义可知，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，y＝x3与y＝2sinx为奇函数．令x＝－1得，f－g＝3＋2＋1＝
1.∵f，g分别是偶函数和奇函数，∴f＝f，g＝－g，即f＋g＝
1.∵f为偶函数，∴f＝f，则x－a＝x＋a.∵x∈R，∴a＝
0.∵f是定义在R上的奇函数，∴f＝
0.又当
x＜0时，－x＞0，∴f＝x2＋4x.又f为奇函数，∴f＝－f，∴f＝－x2－4x，∴f＝①当x＞0时，由f＞x得x2－4x＞x，解得x＞5；
②当x＝0时，f＞x无解；③当x＜0时，由f＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜
0.综上，不等式f＞x的解集用区间表示为∪．CC0∪
1.判断函数奇偶性的方法定义法①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．图象法2．应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f的方程，从而得到f的解析式．求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f±f＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得方程，进而得出参数的值．已知定义在R上的奇函数f和偶函数g满足f＋g＝ax－a－x＋2．若g＝a，则f＝A．2
B.
C.D．a2已知f是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f＝x2－4x，那么，不等式f5的解集是________．B∵g为偶函数，f为奇函数，∴g＝g＝a，f＝－f，∴f＋g＝a2－a－2＋2，①f＋g＝－f＋g＝a－2－a2＋2，②联立①②解得g＝2＝a，f＝a2－a－2＝22－2－2＝.故选
B.当x≥0时，由f＝x2－4x5，解得0≤x5.因为f是定义域为R的偶函数，所以f5的解集为－5x5.所以f5的解集即是－5x＋25，即－7x3.考向2函数的周期性及其应用1．周期函数的定义对于函数y＝f，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f＝f，那么就称函数y＝f为周期函数，称T为这个函数的周期．2．常见的几个结论周期函数y＝f满足：
若f＝f，则函数的周期为2a；若f＝－f，则函数的周期为2a；若f＝－，则函数的周期为2a；函数f关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f的周期为2b－a；若函数f关于点对称，又关于点对称，则函数f的周期是2b－a；若函数f关于直线x＝a对称，又关于点对称，函数f的周期是4b－a；若函数f是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；若函数f是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.定义在R上的函数f满足f＝f，当－3≤x＜－1时，f＝－2，当－1≤x＜3时，f＝
x.则f＋f＋f＋…＋f＝A．335B．338C．1678D．2012设函数f满足f＝f＋sinx．当0≤x≤π时，f＝0，则f＝
A.
B.C．0D．－由f＝f可知，函数f的周期为6，所以f＝f＝－1，f＝f＝0，f＝f＝－1，f＝f＝0，f＝1，f＝2，所以在一个周期内有f＋f＋…＋f＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f＋f＋…＋f＝f＋f＋335×1＝1＋2＋335＝
338.因为f＝f＋sin＝f＋sinx－sinx＝f，所以f的周期T＝2π.又因为当0≤xπ时，f＝0，所以f＝0，即f＝f＋sin＝0，所以f＝，所以f＝f＝f＝.BA解题的关键是求出一个周期内的自变量对应的函数的函数值，找出其中的规律；解题的关键是判断出f是以2π为周期的周期函数．函数周期性的判定与应用判断函数的周期只需证明f＝f便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：
若T是函数的周期，则kT也是函数的周期．设f是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，f＝其中a，b∈
R.若f＝f，则a＋3b的值为________．因为f是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f＝f，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－
2.①又因为f＝f，所以－a＋1＝，即b＝－2a.②将②代入①得，a＝2，b＝－
4.所以a＋3b＝2＋3×＝－
10.－10考向3函数性质的综合应用函数的对称性常见的结论函数y＝f关于x＝对称⇔f＝f⇔f＝f．特殊：
函数y＝f关于x＝a对称⇔f＝f⇔f＝f；
函数y＝f关于x＝0对称⇔f＝f．函数y＝f关于点对称⇔f＋f＝2b⇔f＋f＝2b.特殊：
函数y
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