中国计量学院马成龙邢照军胡少青.docx

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中国计量学院马成龙邢照军胡少青

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

中国计量学院

参赛队员（打印并签名）：

1.马成龙

2.邢照军

3.胡少青

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

数模组

日期：

2009年9月14日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

眼科床位的合理安排模型

摘要

本文针对某医院眼科门诊的候诊和治疗问题进行了讨论分析，建立模型解决了病人长时间等待及医院低效率等问题。

对于问题一，我们对各类病人的数据进行统计，从病人和医院两个方面进行讨论，对于病人而言能否及时得到治疗是关键问题，而对于医院方面，希望使病床的使用效率越高，因此选取病人的入院等待时间、病床使用率和病床周转次数作为评价模型的指标体系。

发现原方案等待时间较长，为12.5天；病床效率指数为0.65，病床的使用率为65.6%，属于低效率运行状态，我们认为现有的病床安排方案存在不合理性。

对于问题二，首先根据病人病情的特点，将病人分为急诊和非急诊。

在非急诊病人中，我们根据手术时间安排，将其分为两类，一类是白内障单眼和双眼，将青光眼和视网膜疾病归为另一类。

我们认为病人每天就诊人数各自服从泊松分布，病床被占用的时间服从负指数分布。

由于外伤病人有优先使用权，所以若将三类病人一起考虑，这将是一个抢占系统，而这里我们将抢占系统转化成非抢占系统，采取对床位以是否是急症做定量划分，在定量划分时引入有效住院时间作为定量化分的比重依据，进而分别建立多病人种类多病床的排队模型。

由此我们得到新的模型三类病人（急症，白内障单眼和双眼，青光眼和视网膜疾病）平均等待时间分别为1天，11天与9天；这较之原来非急症病人12.5天的平均时间有很大的改进；同时在病床效率指数上我们得到新模型的非急症病人的病床使用率为97％，这相对于原方案的病床效率指数有很大的提高。

对于问题三，由于白内障手术只在周一和周三做，除急诊外其他手术一般不在周一，周三安排，鉴于这种特殊情况，我们以缩短病人手术前准备时间为前提对五类病人进行优先级分类，根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况进行床位分配，建立了动态转化模型，可确定门诊病人的大概住院时间，这里我们确定了15个病人对应的大概住院时间。

对于问题四，由于周六周日不进行手术将可能导致周一到周五的手术量增加，而手术医生是有限的，所以要考虑手术医生的安排问题。

即除去周六和周日的手术情况而可以考虑入住的情况，进而建立依手术时间安排的模型。

对于第五问，我们采用对平均逗留时间进行遍历搜索，通过遍历搜索找到最有可能的床位分配比例，然后在利用

排队模型求出等待时间，最后通过比较，最优的床位分配比例是：

白内障单眼和双眼：

青光眼和视网膜疾病：

外伤等于35.44：

54.43：

10.12。

最后我们从模型的建立思想和参数的确定两方面说明了模型的优缺点，并基于带N策略且非强占优先多病床排队思想对模型进行改进，同时提出了模型的推广。

关键词：

眼科病床，合理安排，排队论，动态转化模型，等待时间.

一、问题提出与重述

1、问题提出

到医院就医，患者需要到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

如何合理安排这些服务才能使院方和病人得到满意已成为人们关心的问题。

其中对病床的合理分配已成为医院资源有效利用的关键。

现有某医院眼科门诊的床位和候诊人员等资料，要求给出合理的床位安排。

2、某眼科医院的相关信息

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四类：

白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

原题中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院。

3、需解决的问题

问题一：

试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：

试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：

作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。

能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：

若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：

有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

二、问题分析

本题要求我们确定一个合理安排病床的模型，以便使得病床能够得到高效率的运行。

题目中给定了一种FCFS型的排队情况，算法容易实现，但效率不高，只顾及病人等候时间，没考虑病人住院时间的长短。

因此优待了住院时间长的患者而不利于住院时间短的病人。

这可以从附表中看，为了更好的安排病床，我们需对床位的安排进行调整。

对于问题一:

一般对于一个模型的好坏，需从几个方面讨论，这里我们从病人和医院两个方面讨论，对于病人，总希望自己能尽快住院，好的治疗效果，对于医院总希望每天的门诊人数越多，病床的使用率最大，有高的周转次数和好的病人反馈率等等，我们鉴于本题的情况，我们选取病人的入院等待时间、病床使用率和病床周转次数为评价指标，为了使指标统一，我们引进病床效率指数来综合考虑病床使用率和病床周转次数。

对于问题二：

需要建立一个合理的病床安排模型，需考虑两个方面，一个方面是满足该医院眼科的就诊手术信息的要求，另一方面，需考虑病床的安排，这时要考虑病人和医院两方面，使得建立的模型既能满足等待时间短又能满足病床的使用率最高，我们的思想是将病人分成三类：

外伤、白内障、青光眼和视网膜疾病。

分别确定固定的床位数，再利用排队论的思想求解，最后根据问题一提出的指标体系进行评价。

对于问题三：

问题三需要我们根据当时的住院病人及等待住院病人的统计情况，给定门诊病人的大致入院时间，而这可看成是由门诊—等待—入院—出院—信息反馈—门诊的动态转化模型，只不过在反馈病床信息进而确定入院时间时，需考虑该院的手术规定信息，而这个信息与第二问中相同。

对于问题四：

假如星期六和星期日不做手术，只能让病人入院，再考虑病床的安排，对于这个问题，首先我们对病人的分类同上，且考虑优先级，然后根据在不考虑周六周日情况下的按手术时间安排的情况，进行编程求解。

对于问题五：

我们采取遍历的思想，按病人种类进行分类，然后对平均逗留时间进行遍历，通过遍历找到平均时间最短的病床分配，进而确定最优比例，然后带入问题二中的模型求出平均等待时间和病床使用率，管理人员可以按照这个比例进行管理。

三、模型假设

1、病人不会因为等待时间过长而流失；

2、各类病人每天到医院就诊的人数各自服从泊松分布，病床被占时间服从指数分布；

3、医生水平高，所有眼科疾病均可治疗且效果很好；

4、医院眼科医生人数足够多。

四、符号说明

：

病床张数；

：

第

类病人服从泊松分布的均值；

：

第

类病人服从指数分布的参数；

：

时刻

外伤病人在系统中的数量；

：

增量为

时状态从

转化到状态

的概率；

：

平稳状态概率；

：

第

类病人的固定床位数，

；

：

系统中的病人数；

：

平均逗留的病人数；

：

平均等待对长；

：

平均忙的病床数；

：

病人的平均等待时间；

：

平均逗留时间。

五、模型的建立及求解

5.1对问题一的分析

1、从病人方面考虑

依病人角度，总是希望能尽快的住院，尽快治疗，并要求治疗效果好，而反映它的条件有入院等待时间、治疗效果、最早手术时间和逗留时间等等，这里我们选用病人入院的等待时间来反映病人的满意情况。

2、从医院方面考虑

依医院角度，医院总希望病床使用率最大、每天的门诊人数越多、病人对医院的印象好、病床的周转次数大和高的人均出院量等等，这里我们选用病床的使用率[1]和病床周转次数[1]来反映病床使用情况。

于是我们有以下的计算公式：

而为了能综合的反映病床的使用率和病床周转次数，采用病床效率指数[2]这个指标，定义如下：

而期内病床的标准周转次数采用2008年全国医疗机构的平均周转次数，可查得标准的周转次数[3]为29.9人/床。

3、评价的界定

对于等待时间我们不能确定具体的数值加以界定，但存在这样一个客观事实，即对于病人来说等待时间越少越好。

对于病床效率指数，认为当实际周转次数等于标准周转次数并且使用率为100%时，病床的运行情况达到管理所要求的最佳状态，即为等效状态，此时令床位效率指数为“1”，所以以“1”为界定标准，定义效率高低[2]如下：

定义1：

当病床效率指数大于1时，称床位高效率运行，当病床效率指数等于1时，称床位等效运行，当病床效率指数小于1时，称床位低效率运行。

4、对此病床安排的评价

在确定了评价指标的基础上，我们采取对不同情况分别加权处理，这里由于外伤病人要求有空床马上安排其入住，等待时间由数据知均为1天，所以这里我们不考虑外伤病人的信息，认为外伤病人的等待时间相对于其它病人来说可以忽略，同理在求解病床的使用率和周转次数时也不考虑。

基于这个思想，首先求得不同情况下的各指标参数，如下：

表1原方案评价指标值

等待时间

病床使用率

病床周转次数

病床效率指数

12.5天

65.6%

29.4

0.65

可见现有的模型等待时间长，病床效率指数为0.65小于1，属于低效率运行状态，所以我们认为现有的病床安排方案合理性较差，需改进。

5.2对问题二的分析

5.2.1

排队模型

在现代的许多行业中，为了给不同的顾客提供相应层次的服务，在排队中经常会引入优先级控制，比如在银行业、餐饮等服务中，持有贵宾卡的顾客会优先安排相应的服务。

这里我们引用这种思想来决策医院病床的合理分配，在本题中，我们考虑眼科病人的四种不同人群，分别是外伤病人、白内障（单双眼）和其他（视网膜疾病和青光眼），可见外伤是急症，其余为非急症，从而存在优先权，进而根据这个思想进行床位分配。

再基于对问题一的考虑，这里要求目标是使等待时间减少和使病床的效率指数提高，其实这些指标我们可以转化成等待队长、等待平均逗留的病人数、平均忙的病床数、病人的平均等待时间和平均逗留时间（住院时间和等待时间之和）这些指标，这就是此题的思想。

1、分配规则

假设病床为

张，这样相当于有

个位置需要被这四类人群所占，而这

张病床被占的概率相等，并且病床之间相互独立，再根据假设，四类病人的到达分别满足泊松分布，参数为

，到达过程相互独立，各病床被占用的时间分别负指数分布为

，参数为

。

四类病人各有自己的等待队列，并且假设每个队的等待空间无限。

四类病人的优先权满足定义1，同类病人仍依FCFS规则进行服务，有优先权的排队系统一般分成两种，一种是非抢占系统，另一种是抢占系统，当优先级高的病人到达系统后，如果不中断正在服务的低优先级的病人服务，而等到低优先级服务完成并离开后才开始享受服务，这种叫做非抢占，若当优先级高的病人到达系统后，中断正在服务的低优先级的病人服务，来享受自己需要的服务，叫做抢占，显然有急症病人的床位分配是一种抢占系统。

下面我们建立

[4,5,6]床位分配模型。

2、模型的建立及参量分析

①对病人到达的时间间隔分布和平均逗留时间分布的确定

这里我们假设病人到达的时间间隔分布服从泊松分布，首先我们可以从数据中知道总的到达人数和到达所用时间长度如下表：

表2三类病人达到时间所服从分布的参数值

参量

外伤

白内障单双眼

青光眼和视网膜疾病

每天到达人数

3.815789

3.684211

即每天各类病人的到达各自服从泊松分布，参数分别为：

。

同上我们可以得到每类人群所占床位时间，如下：

表3三类病人的平均占用床位时间表

参量

外伤

白内障单眼

青光眼和视网膜疾病

平均占用床位时间（天）

6.89189

6.9324

11.3919

可见所占床位时间服从负指数分布，参数分别为：

。

②对床位的定量划分

根据上面叙述，我们知道有急症病人的床位分配是一种抢占系统，这里为了将抢占系统转化成非抢占系统，采取对床位以是否为急症做定量划分，这样在建模时可将急症病人和非急症病人分别对待，分别建立多病人种类多病床的排队模型，首先由已有数据我们知道在统计期内各类病人总的所占床位数，进而求得床位的分配如下：

表4床位分配表

参量

外伤

白内障单双眼

青光眼和视网膜疾病

分配床位数

③模型的建立

当确定了各类病人的床位分配时，我们可将原来的多病床、多病人层次、等待病人数无限量的排队模型简化成，单一病人多病床的排队模型，进而假设

表示时刻

外伤病人在系统中的数量，可证明系统

组成生灭过程[7]，那么有状态

转化到状态

，当增量为

时的概率转移方程为：

且有

时的

，

而当系统中的病人人数

时，这里

表示床位数，这些病人都正在接受病床安排服务，服务时间服从参数为

的负指数分布，可以证明病人的出院是服从参数为

的最简单流[7]，如果

，那么只有

个病人在接受病床安排服务，其余在排队，病人的出院服从参数为

的最简单流，从而这个生灭过程的参数为：

接着求出这个生灭过程的平稳解公式为：

，

称为服务强度，这里翻译为病床的使用概率。

再由

可确定出状态转移的初始概率，即为：

，

其中

是排队系统中没有病人的概率，也就是床位空闲的概率。

通过上面分析，则可求得平均逗留的病人数

、平均等待对长

、平均忙的病床数

、病人的平均等待时间

和平均逗留时间

（住院时间和等待时间之和）。

即有：

知道了以上数据我们就可以用已知的第二天拟出院人数来确定第二天的住院人数。

3、模型求解

用matlab编程求解得到：

表5求解结果

外伤

白内障单双眼

青光眼和视网膜疾病

平均等待时间（天）

平均逗留时间（天）

平均逗留病人数

平均忙的病床数

可见对于白内障、青光眼和视网膜疾病病人来说，此模型的平均等待时间均小于原方案的平均水平12.5天，并且病床的利用率都大大提高，分别是外伤为77.8%，白内障为96.3%，青光眼和视网膜疾病为97.7%，都大于原方案的平均水平65.6%。

可见这种分配方案较原方案好。

5.2.2基于手术时间的床位安排

1、题目要求我们建立一个合理的病床安排模型，以便根据已知的第二天拟出院病人数确定第二天的住院人数，以及病人类别。

由于对于不同的病人手术时间要求不同，并且住院时间和等待时间也不同，而题中的手术时间和住院有如下的安排：

⑴外伤病人是急症，在住院后第二天便会安排手术，在病床有空余时马上安排住院，否则住院推迟一天；

⑵白内障（单眼和双眼）不是急症，安排在周一和周三手术，单眼时手术时间是周一或周三，而双眼时只能是周一做一只，周三做一只，并且不与其他手术（除急症外）安排在同一天，手术前准备1、2天；

⑶青光眼和视网膜疾病不是急症（因急症数量少，不考虑），手术安排在住院后2、3天内进行，不能与白内障安排时间重复，但术后观察时间较长。

从而为了使分配方法合理优化，我们以一个星期为一个时间段，来根据手术

时间分配病床，分配时采取优先权原则，定义如下：

定义2：

外伤、白内障单眼、白内障双眼、青光眼和视网膜疾病的优先权满足：

外伤>白内障双眼=白内障单眼>青光眼=视网膜疾病。

2、结合上面的分析，我们的安排方案是：

表6根据手术时间的床位安排表

优先权

病种

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期日

高

外伤

若有空床位，马上安排，推迟一天手术

中

白内障单眼

白内障双眼

低

青光眼和视网膜疾病

其中1表示可以入院，2表示做手术可以二选一天进行，3表示必须做手术。

对表的解释：

比如在星期一，若外伤、白内障单、白内障双、青光眼和视网膜疾病人数分别为1、3、6、2人，假如有空床位且为1，那么首先分配给外伤病人，若空床位数大于1，在分配外伤病人后，空床位首先分配给白内障病人且只能是单眼的情况，当还有空床位时，给青光眼和视网膜疾病分配床位，但只能在星期二进行手术。

其余分析同理。

从而再结合排队模型的求解结果就可以根据第二天的拟出院人数来确定第二天的住院人数。

5.3对问题三的求解

5.3.1动态转化模型

要知道病人入院的时间，其实只要根据当时的住院病人、等待住院病人的情况，结合平均等待时间就可以确定入院时间，这样从门诊到假如等待行列到入院再到出院将会是一个动态的转化模型[8]，转化示意图如下：

图1门诊—等待—入院—出院—信息反馈—门诊的流程图

通过流程图并结合表6的安排信息，我们定量计算部分病人的入院时间，如下：

表715个病人的出院日期预测

病人序号

类型

门诊日期

住院日期

第一次手术

第二次手术

出院日期

视网膜疾病

2008-8-15

2008-8-29

2008-8-31

2008-9-10

视网膜疾病

2008-8-16

2008-8-29

2008-8-31

2008-9-10

白内障

2008-8-19

2008-9-4

2008-9-8

2008-9-11

白内障

2008-8-26

2008-9-7

2008-9-8

2008-9-11

青光眼

2008-8-19

2008-9-1

2008-9-4

2008-9-12

白内障（双眼）

2008-8-19

2008-9-1

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-19

2008-9-1

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-19

2008-9-3

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-19

2008-9-3

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-20

2008-9-4

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-22

2008-9-5

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-22

2008-9-5

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-23

2008-9-5

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-23

2008-9-6

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

白内障（双眼）

2008-8-23

2008-9-6

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-13

表815个病人出院日期相对应的门诊病人住院时间预测

病人序号

类型

白内障（双眼）

视网膜疾病

青光眼

视网膜疾病

白内障（双眼）

白内障

青光眼

白内障（双眼）

门诊日期

2008-8-30

2008-8-31

大概住院日期

2008-9-13

2008-9-10

2008-9-11

2008-9-13

2008-9-12

2008-9-13

病人序号

类型

视网膜疾病

青光眼

白内障

视网膜疾病

青光眼

白内障（双眼）

门诊日期

2008-8-31

2008-9-1

大概住院日期

2008-9-13

5.4对

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