勾股定理的应用习题.docx
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勾股定理的应用习题
一、选择题
1、一架41m长的云梯的底端离建筑物9m，则它可以达到建筑物的高度是（ ）
A．30 B．40C．41 D．36
2、如图，一架25dm长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将平滑（ ）
A．9dm B．15dmC．5dm D．8dm
3、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位：
mm），计算两圆孔中心A和B的距离为（ ）．
A．80mm B．90mmC．100mm D．80
mm
4、如图，学校的保管室里，有一架5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（ ）
A．
B．
C．
D．
5、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离为3米，同时梯子的顶端B下降至B′．那么BB′：
①等于1米，②大于1米，③小于1米．其中正确结论的序号是（ ）
A．① B．②C．③ D．无法确定
6、如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）
A．20cm B．10cmC．14cm D．无法确定
7、如图所示，在一个正方形上连接直角三角形，再以直角边为边长作正方形，一个一个连接在一起，无限反复同一个过程，构成了千姿百态、奇妙美丽的勾股树，设最大正方形的边长为10，末尾正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和为S，则Sn=（ ）
A．100 B．120C．110 D．80
8、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50米，这辆小汽车速度为（ ）（提示：
1米/秒=3.6千米/小时）
A．72 B．100C．110 D．80
二、解答题
9、如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，问旗杆折断前有多高?
10、有一根长70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm，30cm，40cm的木箱中，能放进去吗?
11、如图，是一条水渠的横断面，已知渠底宽6米，渠深4米，渠的两坡长都是5米，求渠的两岸距离．
12、一船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向航行．
（1）多长时间后，船距灯塔最近？
（2）多长时间后，船到达灯塔的正北方向?
此时船距灯塔多远?
（参考数据：
162－82≈13.92）
13、如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，C、D间的距离为3千米，现在在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出此时铺设水管的总费用．
14、如图所示，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B两处相距河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处的距离为600m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水，再将牛赶回家，那么牧童最少要走多少米?
15、由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方方向300km的B处，以
km/h的速度向东偏南30°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴严重影响的区域，问：
A市是否受到这次沙尘暴的影响？
若不受到，说明理由；若受到，求出A市受沙尘暴影响的时间．
16、王老师让同学们讨论这样一个问题：
如图所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2cm，高为3cm，在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的F点处的食物，问怎样爬行路程最短?
最短路程是多少?
过了一会儿，王老师问同学们答案，甲生说：
“先由A点到B点，再走对角线BF．”乙生说：
“我认为应由A先走对角线AC，再由C到F．”丙生说：
“将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长．”丁生说：
“将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．”
你认为哪位同学的说法正确?
你还有其他方法吗?
若有，请叙述出来，并说明理由．（参考数据：
5.392≈29）
答案：
第1题B
第2题D
第3题C
第4题A
第5题C
第6题B
第7题A
第8题A
提示：
3、构造直角三角形，利用勾股定理求解．
由图可知：
AC=120－60=60，BC=140－60=80，∠ACB=90°．
由勾股定理，得
=100（mm）．
因此A、B间的距离为100mm．
5、在Rt△AOB中，
．
在Rt△A′OB′中，A′B′=AB=
，OA′=3．
所以
，
所以BB′=OB－OB′=7－
．因为
，
所以6<
<7．所以BB′=7－
6、将侧面展开为矩形，线段AB为最短路程BC=8㎝，AC=6㎝，
所以AB=10㎝.
7、根据勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
正方形A、正方形B的面积和为正方形1的面积．
正方形l、正方形C的面积和为正方形2的面积．
正方形D、正方形E的面积和为正方形3的面积．
正方形2、正方形3的面积和为正方形4的面积．
即正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和Sn=102=100．
8、由题意，得AC=30米，AB=50米．由勾股定理，得BC=40米．
所以小汽车在2秒内行驶了40米，速度为20米/秒，即72千米/小时．所以小汽车超速了．
9、 分析：
旗杆垂直地面，所以△ABC是直角三角形，根据勾股定理，可得AC2＋BC2=AB2．
解：
由题意可知∠C=90°，∴AC2＋BC2=AB2．
又∵BC=5m，AC=12m，
∴AB2=AC2＋BC2=122＋52=144＋25=169，
∴AB=13（m）．
∴旗杆折断前的高度为BC＋AB=5＋13=18（m）．
10、 分析：
由于木棒长为70cm，远大于各边的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱是立体图形，可以利用空间的最大长度．
解：
能放进去，如图所示，连结A1C1，AC1．
在Rt△A1B1C1中，
A1C12=A1B12＋B1C12=502＋302=3400．
在Rt△AA1C1中，
AC12=AA12＋A1C12=402＋3400=5000．
∵5000>702，∴AC1>70cm，
∴70cm长的木棒能放入这只木箱中．
小结：
解决此题的关键在于明确AC1即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续应用勾股定理的条件，同时，还能培养学生的空间想像能力．
11、解：
作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．
在Rt△AEB中，AE2=AB2－BE2=52－42=32，
∴AE=3．
同理FD=3，∴AD=3＋6＋3=12．
12、 解：
如图所示．
（1）依题意知，当船航行到D点时，距灯塔最近，
此时有CD⊥AB．
∵∠BAC=60°，∴∠ACD=30°，
∴AD=
AC=
×8=4（海里），
∴4÷20=
（时）=12（分），
∴12分后，船距灯塔最近．
（2）当船到达灯塔的正北方向的B点时，BC⊥AC．
∴∠B=30，∴AB=2AC=2×8=16（海里），
∴16÷20=
（时）=48（分）
∴BC2=AB2－AC2=162－82≈13.92，∴BC≈13.9（海里），
∴48分后，船到达灯塔的正北方向，此时船距灯塔约13.9海里．
13、解：
延长AC到A′，使A′C=AC，连结A′B与CD交于O点．
铺设的管道最短为
=5（千米），
总费用为5×2=10（万元）．
14、解：
如图所示．过点B作关于直线CD的对称点B′，
连结AB′与直线CD相交于点P，
延长AC至E，使CE=BD，连结B′E，则∠E=90°，
∴AE=AC＋EC=AC＋B′D=AC＋BD=500＋300=800（米），
EB′=CD=600米．
在Rt△AEB′中，AB′2=B′E2＋AE2=6002＋8002=1000000（米2），
∴AB′=1000米．
∴牧童最少要走1000米．
15、 解：
依题意画出图形（如图），则沙尘暴运动的路线是从B到C．作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=300km，
则AD=
AB=150km．
即沙尘暴在运动过程中到A点最近距离为150km，而150km<200km，故A市会受到沙尘暴的影响．
设沙尘暴距A点200km，刚好处在BC上E、F两点．
Rt△ADE中，AE=200km，AD=150km，
∴
．
∴EF=2DE=
km．
故A市受沙尘暴影响的时间为
．
点评：
对于实际问题关键是根据题意，画出几何图形，建立几何模型．再构造直角三角形，运用勾股定理解决．
16、 分析：
要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连结AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方法类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同．若在丙、丁的长方形中画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．
解：
按丙生的方法：
将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD．如图所示，
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