线性代数与解析几何答案 线性代数第2版答案解析.docx

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线性代数与解析几何答案线性代数第2版答案解析

　　姓名学号院系级班

　　大连理工大学

　　课程名称线性代数与解析几何A卷考试形式闭卷授课院（系）数学科学学院考试日期2013年11月18日试卷共6页

　　标准分得分

　　一

　　二

　　三

　　四

　　五

　　六

　　七

　　八

　　总分

　　一、填空题（每小题4分，共40分）

　　装订线

　　?

11?

　　?

33?

T设A=1?

1,则AA=31113

　　?

214?

　　TTT3029

　　设a=[1,?

1,2],b=[2,1,4],则（ab）=92?

1?

4?

　　428

　　?

1

　　?

0

　　设A=?

　　?

0k

　　?

3

　　k1001?

　　0k10

　　0?

0?

　　?

则A=1?

k4k1?

　　设A=,AB=B+3E,则B=?

12

　　3

　　设A为三阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，再对调B的2,3行得到E，则

　　?

100?

A=101?

　　010

　　已知a1,a2,a3为三元列向量，a1,a2,a3=1，则a1+a2,?

a3,a1+4a2=1

　　设A为三阶方阵，A=2，则A+2A=

　　32

　　已知在空间直角坐标系下a=2i+j?

k,b=2i+j?

3k,则a?

b=a×b=?

2i+4j.

　　?

120?

12?

2?

则A?

1=?

1?

11?

　　设A=111，

　　?

001?

001

　　8,

　　10.点（1,2,?

1）到平面2x+2y?

z=?

5的距离为4二、单项选择题（每小题2分，共10分）

　　设A为n阶方阵，则

（2）不是对称矩阵

（1）A+AT

（2）A?

AT（3）AAT（4）ATA

　　设A和B都是n阶方阵，下列选项正确的是（4）

（1）若A=E,则A=E或A=?

E.

（2）若A=O,则A=O.（3）（A+B）=A+2AB+B..（4）（A+E）=A+2A+E..设A和B都是n阶方阵，下列选项正确的是

（2）

（1）A+B=A+B.

（2）AB=BA.

　　2

　　2

　　2

　　2

　　2

　　22

　　（3）?

A=?

A.（4）

　　AB22

　　=A?

B

　　BA

　　?

　　?

OA?

　　设A和B都是n阶矩阵，A=2,B=3,则=（BO

　　3）

　　?

O3B

（1）?

（2）

　　O2A?

O3A

　　?

　　O2B

　　?

O2B?

O2A

　　（3）?

?

（4）

　　AOBO33

　　设A和B为矩阵，下列选项正确的是

（1）

（1）若A和B等价，且A可逆，则B也可逆.

（2）（A+B）（3）若AB可逆，则A和B都可逆.（4）（AB）三、（8分）计算行列式

　　?

1?

1

　　=A?

1+B?

　　=A?

1B?

1

　　+abbbb

　　babbbbbabbbbbabbb

　　b=（a+3b）（a?

b）2+（a+4b）（a?

b）3=（a2+3ab?

b2+a+3b）（a?

b）2ba

　　四、（8分）设A为n阶可逆矩阵，α为n元列向量，P=?

T?

　　αA

　　?

　　E

　　0?

，A

　　?

A

　　M=?

T

　　?

αα?

，

（1）计算并化简PM.

（2）证明M可逆的充要条件是αTA?

1α≠k.?

k?

　　?

A

　　解

（1）PM=?

　　?

0

　　2

　　?

　　4分

　　A（k?

αTA?

1α）

　　α

（2）PM=A（k?

αTA?

1α），P=A≠0，

　　M可逆?

M=A（k?

αTA?

1α）≠0?

αTA?

1α≠k.4分?

211?

　　?

1?

五、（9分）设A=022，B=AB+A，求B.

　　?

2028?

8?

8

　　解B=32?

2416?

1616?

8

　　?

x=5?

t

　　x?

2yz?

1?

　　，直线L2的方程为?

y=2t，六、（12分）已知直线L1的方程为==

　　112?

z=1+2t

　　?

（1）证明L1和L2为异面直线.

（2）求经过直线L1并平行于直线L2的平面的方程。

（1）证P1（2,0,1）,P2（5,0,1）,s1=[1,1,2],s2=[?

1,2,2]

　　T

　　T

　　300

　　12=?

6≠0,∴L1和L2为异面直线.6分∵（PP12,s1,s2）=1

　　?

122

（2）2x+4y?

3z=18分

　　七、（8分）设n>1，α为n元列向量，αα=1,A=ααT，证明A不可逆，A+E可逆。

（1）证法1因为A的1,2行成比例，A=0,所以A不可逆3分方法2设β与α垂直，Aβ=0,方程组Ax=0有非零解，所以A不可逆

（2）A=（αα）（αα）=α（αα）α=αα=A,A?

A=0，

　　2

　　T

　　T

　　T

　　T

　　T

　　T

　　2

　　（A+E）（A?

2E）=?

2E,所以A+E可逆。

3分

　　八、（5分）设n1,n2,n3分别为三个平面的法向量，n1+n2,n2+n3,n3不共面，证明

　　这三个平面相交于唯一点。

　　证记A=[n1,n2,n3],这三个平面的系数矩阵的行列式的转置为A，由

　　n1+n2,n2+n3,n3不共面可知A≠0,所以这三个平面相交于唯一点。