线性代数期末考试试卷+答案合集.doc
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大学生校园网—VvSchool.CN线性代数综合测试题
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）
1.若，则__________。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。
3．已知矩阵，满足，则与分别是阶矩阵。
4．矩阵的行向量组线性。
5．阶方阵满足，则。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）
1.若行列式中每个元素都大于零，则。
（）
2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）
3.向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。
（）
4.，则。
（）
5.若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。
（）
三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分）
1.设为阶矩阵，且，则（）。
① ② ③ ④4
2.维向量组（3£s£n）线性无关的充要条件是（）。
①中任意两个向量都线性无关
②中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④中不含零向量
3.下列命题中正确的是（）。
①任意个维向量线性相关
②任意个维向量线性无关
③任意个维向量线性相关
④任意个维向量线性无关
4.设，均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。
①若，均可逆，则可逆 ②若，均可逆，则可逆
③若可逆，则可逆 ④若可逆，则，均可逆
5.若是线性方程组的基础解系，则是的（）
①解向量 ②基础解系 ③通解 ④A的行向量
四、计算题（每小题9分，共63分）
1.计算行列式。
解·
2.设，且求。
解.，
3.设且矩阵满足关系式求。
4.问取何值时，下列向量组线性相关？
。
5.为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？
当方程组有无穷多解时求其通解。
①当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为
6.设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
7.设，求的特征值及对应的特征向量。
五、证明题（7分）
若是阶方阵，且证明。
其中为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题
1.5 2. 3. 4.相关
5.
二、判断正误
1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.×
三、单项选择题
1.③ 2.③ 3.③ 4.② 5.①
四、计算题
1.
2.
，
3.
4.
当或时，向量组线性相关。
5.
①当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为
6.
则，其中构成极大无关组，
7.
特征值，对于λ1＝1，，特征向量为
五、证明题
∴，∵
一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（）
（A）或;（B）；（C）或;（D）。
2、和均为阶矩阵，且，则必有（）
（A）；（B）；（C）.（D）。
3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（）
（A）的列向量线性无关；（B）的列向量线性相关；
（C）的行向量线性无关；（D）的行向量线性相关.
4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（）
（A）的秩小于；（B）；
（C）的特征值都等于零；（D）的特征值都不等于零；
二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）
5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则=。
6、为阶矩阵，且，则。
7、已知方程组无解，则。
8、二次型是正定的，则的取值范围是。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）
9、计算行列式
10、计算阶行列式
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
写出证明过程）
11、若向量组线性相关，向量组线性无关。
证明：
（1）能有线性表出；
（2）不能由线性表出。
12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。
证明
（1）；
（2）。
五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。
解答应写出文字说明或演算步骤）
13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。
14、已知方程组与方程组有公共解。
求的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且
，
求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
1、C；2、D；3、A；4、A。
二、填空题
5、-125;6、；7、-1；8、。
三、计算题
9、解：
第一行减第二行，第三行减第四行得：
第二列减第一列，第四列减第三列得：
（4分）
按第一行展开得
按第三列展开得
。
（4分）
10、解：
把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式
（4分）
（4分）
四、证明题
11、证明：
（1）、因为线性无关，所以线性无关。
，
又线性相关，故能由线性表出。
（4分）
，
（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，
不妨设。
由
（1）知，能由线性表出，
不妨设。
所以，
这表明线性相关，矛盾。
12、证明
（1）
（4分）
（2）
由
（1）得：
，代入上式得
（4分）
五、解答题
13、解：
（1）由得的特征值为，，。
（4分）
（2）的特征向量为，
的特征向量为，
的特征向量为。
（3分）
（3）因为特征值不相等，则正交。
（2分）
（4）将单位化得，，（2分）
（5）取
（6）（1分）
14、解：
该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为
因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。
（5分）
另一方面，记向量，则
直接计算得，就是它的一个基础解系。
根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为
，。
（7分）
15、解：
将①与②联立得非齐次线性方程组:
若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.
对③的增广矩阵作初等行变换得:
.（4分）
1°当时，有，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时
，
则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:
所以①与②的全部公共解为，k为任意常数.（4分）
2°当时，有，方程组③有唯一解,此时
，
故方程组③的解为:
即①与②有唯一公共解.（4分）
线性代数习题和答案
好东西
第一部分选择题（共28分）
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式=m，=n，则行列式等于（）
A.m+n B.-（m+n）
C.n-m D.m-n
2.设矩阵A=，则A-1等于（）
A. B.
C. D.
3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）
A.–6 B.6
C.2 D.–2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A.A=0 B.BC时A=0
C.A0时B=C D.|A|0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）
A.1 B.2
C.3 D.4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（）
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
A.秩（A）C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n（≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α，使（λE-A）α=0，则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）
A.k≤3 B.k<3
C.k=3 D.k>3
12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）
A.|A|2必为1 B.|A|必为1
C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）
A.A与B相似
B.A与B不等价
C.A与B有相同的特征值
D.A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）
A. B.
C. D.
第二部分非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
15..
16.设A=，B=.则A+2B=.
17.设A=（aij）3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则（a11A21+a12A22+a13A23）2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23）2=.
18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.
20.设A是m×n矩阵，A的秩为r（21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=.
22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.
23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.
24.设实二次型f（x1,x2,x3,x4,x5）的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.设A=，B=.求
（1）ABT；
（2）|4A|.
26.试计算行列式.
27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求：
（1）秩（A）；
（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.
31.试用配方法化下列二次型为标准形
f（x1,x2,x3）=，
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0，η1，η2线性无关。
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15.6
16.
17.4
18.–10
19.η1+c（η2-η1）（或η2+c（η2-η1）），c为任意常数
20.n-r
21.–5
22.–2
23.1
24.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解
（1）ABT=
=.
（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
|A|=.
所以|4A|=64·（-2）=-128
26.解
=
=
27.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
（A-2E）-1=
所以B=（A-2E）-1A=
=
28.解一
所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解对矩阵A施行初等行变换
A
=B.
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.
经正交标准化，得η1=，η2=.
λ=-8的一个特征向量为
ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为T=.
对角矩阵D=
（也可取T=.）
31.解f（x1，x2，x3）=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
设，即，
因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。
经此变换即得f（x1，x2，x3）的标准形
y12-2y22-5y32.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且
（E-A）-1=E+A+A2.
33.证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2=b，
所以η1，η2是Ax=b的2个解。
（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。
所以
l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0.
所以η0，η1，η2线性无关。
共3页第19页
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