自学考试线性代数试卷及答案.doc
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2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184线性代数(经管类)试卷
本试卷共8页,满分100分,考试时间150分钟。
说明:
本试卷中,表示矩阵的转置矩阵,表示矩阵的伴随矩阵,是单位矩阵,表示方阵的行列式,表示矩阵的秩。
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式=2,若元素的代数余子公式为(i,j=1,2,3),则【】
A.B.0C.1D.2
2.设为3阶矩阵,将的第3行乘以得到单位矩阵,
则=【】
A.B.C.D.2
3.设向量组的秩为2,则中【】
A.必有一个零向量
B.B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为【】
A.B.C.D.
5.二次型的正惯性指数为【】
A.0B.1C.2D.3
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、
6.设,则方程的根是
7.设矩阵,则=
8.设为3阶矩阵,,则行列式=
9.设矩阵,,若矩阵满足,则=
10.设向量,,,则由线性表出
的表示式为
11.设向量组线性相关,
则数
12.3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数
为
13.设3阶矩阵满足,则必有一个特征值为
14.设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1,则
15.设二次型正定,
则实数的取值范围是
三、计算题(本大题共7小题,每小题9分,共63分)
16.计算4阶行列式的值。
17.已知矩阵,求。
18.设矩阵,且矩阵满足,求。
19.设向量
试确定当取何值时能由线性表出,并写出表示式。
20.求线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)。
21.设矩阵与对角矩阵相似,求数与可逆矩阵,使得。
22.用正交变换将二次型化为标准形,写出标准形和所作的正交变换。
四、证明题(本题7分)
23.设向量组线性相关,且其中任意两个向量都线性无关。
证明:
存在全不为零的常数使得。
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数(经管类)试题答案及评分参考
(课程代码04184)
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)
1.D2.A3.C4.B5.C
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
6.5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.<<
三、计算题(本大题共7小题,每小题9分,共63分)
16.解=......3分
......9分
17.解......2分
..........7分
从而......9分
18.解由,得......2分
又由可逆......5分
由,可得
两边左乘,得到
......9分
19解设,......2分
该线性方程组的增广矩阵为
......6分
由于能有线性表出,则必有
此时,方程组有唯一解
表示式为......9分
20.解方程组的增广矩阵
......2分
可知<<4,方程组有无穷多解......4分
由同解方程组
求出方程组的一个特解,
导出组的一个基础解系为......7分
从而方程组的通解为
为任意常数)......9分
21.解由条件可知矩阵的特征值为......2分
由,得......4分
对于,由线性方程组求得一个特征向量为
对于,由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为
令,则......9分
22.解二次型的矩阵......2分
由
故的特征值为......4分
对于,求解齐次线性方程组,得到基础解系
将其单位化,得......7分
令,则为正交矩阵,
经正交变换,化二次型为标准形......9分
四、证明题(本题7分)
23.证由于向量组线性相关,故存在不全为零的常数,使得
......2分
其中必有。
否则,如果,则上式化为
其中不全为零,由此推出线性相关,与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾......5分
类似地,可证明........7分