直线的交点坐标和距离公式.docx

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直线的交点坐标和距离公式

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直线的交点坐标和距离公式

地点：

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时间：

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说明：

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eq\a\vs4\al（第二节　直线的交点坐标与距离公式）

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．两条直线的交点

设两条直线的方程为l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组

eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0））的解，

（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；

（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．

[探究]　1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？

提示：

当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．

2．距离

[探究]　2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？

提示：

使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．

[自测·牛刀小试]

1．（教材习题改编）原点到直线x＋2y－5＝0的距离是（　　）

A．1　　　　　　　　　B.eq\r（3）

C．2D.eq\r（5）

解析：

选D　d＝eq\f（|－5|,\r（12＋22））＝eq\r（5）.

2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是（3,4），则AB的长为（　　）

A．10B．5

C．8D．6

解析：

选A　设A（a,0），B（0，b），则a＝6，b＝8，即A（6,0），B（0,8）．所以|AB|＝eq\r（（6－0）2＋（0－8）2）＝eq\r（36＋64）＝10.

3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝（　　）

A．－1B．－eq\f（1,2）

C．2D.eq\f（1,2）

解析：

选B　由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1，,y＝－2，））

将其代入x＋by＝0，得b＝－eq\f（1,2）.

4．已知直线l1与l2：

x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是eq\r

（2），则直线l1的方程为________．

解析：

设直线l1的方程为x＋y＋λ＝0，则

eq\r

（2）＝eq\f（|－1－λ|,\r（12＋12））＝eq\f（|λ＋1|,\r

（2）），解得λ＝1或λ＝－3.即直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

答案：

x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

5．点（2,3）关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．

解析：

设对称点为（a，b），则

eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（b－3,a－2）＝1，,\f（a＋2,2）＋\f（b＋3,2）＋1＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－4，,b＝－3.））

答案：

（－4，－3）

[例1]　

（1）经过直线l1：

x＋y＋1＝0与直线l2：

x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：

2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是________________．

（2）已知两直线l1：

mx＋8y＋n＝0与l2：

2x＋my－1＝0，若l1与l2相交，则实数m，n满足的条件是__________．

[自主解答]　

（1）法一：

由方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＋1＝0，,x－y＋3＝0，））

解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝1，））即点P（－2,1），

∵l3⊥l，∴k＝－eq\f（1,2），

∴直线l的方程为y－1＝－eq\f（1,2）（x＋2），即x＋2y＝0.

法二：

∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ（x－y＋3）＝0，

即（1＋λ）x＋（1－λ）y＋1＋3λ＝0.

∵l与l3垂直，∴2（1＋λ）－（1－λ）＝0，解得λ＝－eq\f（1,3）.

∴直线l的方程为eq\f（2,3）x＋eq\f（4,3）y＝0，即x＋2y＝0.

（2）因为两直线l1与l2相交，所以当m＝0时，l1的方程为y＝－eq\f（n,8），l2的方程为x＝eq\f（1,2），两直线相交，此时m，n满足条件m＝0，n∈R；

当m≠0时，由两直线相交．

所以eq\f（m,2）≠eq\f（8,m），解得m≠±4，此时，m，n满足条件m≠±4，n∈R.

[答案]　

（1）x＋2y＝0　

（2）m≠±4，n∈R

若将本例

（1）中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程．

解：

由方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＋1＝0，,x－y＋3＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝1，））

即点P（－2，1）．

又l∥l3，即k＝2，故直线l的方程为y－1＝2（x＋2），

即2x－y＋5＝0.

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经过两条直线交点的直线方程的设法

经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0）或m（A1x＋B1y＋C1）＋n（A2x＋B2y＋C2）＝0.

1．设直线l1：

y＝k1x＋1，l2：

y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.

（1）证明l1与l2相交；

（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．

证明：

（1）反证法：

假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0得keq\o\al（2,1）＝keq\o\al（2,2）＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．

（2）由方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝k1x＋1，,y＝k2x－1，））

解得交点P的坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,k2－k1），\f（k2＋k1,k2－k1））），

而2x2＋y2＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,k2－k1）））2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（k2＋k1,k2－k1）））2

＝eq\f（8＋k\o\al（2,2）＋k\o\al（2,1）＋2k1k2,k\o\al（2,2）＋k\o\al（2,1）－2k1k2）

＝eq\f（k\o\al（2,1）＋k\o\al（2,2）＋4,k\o\al（2,1）＋k\o\al（2,2）＋4）＝1，

即交点P（x，y）在椭圆2x2＋y2＝1上．

[例2]　已知点P（2，－1）．

（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？

若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

[自主解答]　

（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），可见，

过P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件，

此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2），

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得eq\f（|－2k－1|,\r（k2＋1））＝2，解得k＝eq\f（3,4）.

此时l的方程为3x－4y－10＝0.

综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

（2）作图可得过P点与原点O的距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．

由l⊥OP，得klkOP＝－1，

所以kl＝－eq\f（1,kOP）＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2），

即2x－y－5＝0.

即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为eq\f（|－5|,\r（5））＝eq\r（5）.

（3）由

（2）可知，过P点不存在到原点距离超过eq\r（5）的直线，

因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．

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求两条平行线间距离的两种思路

（1）利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

（2）利用两平行线间的距离公式．

2．已知A（4，－3），B（2，－1）和直线l：

4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.

解：

设点P的坐标为（a，b）．∵A（4，－3），B（2，－1），

∴线段AB的中点M的坐标为（3，－2）．而AB的斜率kAB＝eq\f（－3＋1,4－2）＝－1，

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.

∵点P（a，b）在上述直线上，

∴a－b－5＝0.①

又点P（a，b）到直线l：

4x＋3y－2＝0的距离为2，∴eq\f（|4a＋3b－2|,5）＝2，

即4a＋3b－2＝±10，②

由①②联立可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－4，））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f（27,7），,b＝－\f（8,7）.））

∴所求点P的坐标为（1，－4）或eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（27,7），－\f（8,7）））.

[例3]　已知直线l：

2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）．求：

（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；

（2）直线m：

3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

[自主解答]　

（1）设A′（x，y），再由已知

eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（y＋2,x＋1）×\f（2,3）＝－1，,2×\f（x－1,2）－3×\f（y－2,2）＋1＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（33,13），,y＝\f（4,13），））

故A′eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（33,13），\f（4,13）））.

（2）在直线m上取一点，如M（2,0），则M（2,0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设对称点M′（a，b），则

eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2×\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a＋2,2）））－3×\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（b＋0,2）））＋1＝0，,\f（b－0,a－2）×\f（2,3）＝－1，））

得M′eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（6,13），\f（30,13）））.

设直线m与直线l的交点为N，则

由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，））

得N（4,3）．

又∵m′经过点N（4,3），

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

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求点关于直线对称问题的基本方法

（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；

（2）已知点与对称点的中点在对称轴上．

利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．

3．直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若点A（－4,2），B（3,1），求点C的坐标．

解：

把A，B两点的坐标代入y＝2x知，A，B不在直线y＝2x上，因此y＝2x为∠ACB的平分线，设点A（－4,2）关于y＝2x的对称点为A′（a，b），则kAA′＝eq\f（b－2,a＋4），线段AA′的中点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a－4,2），\f（b＋2,2））），∵eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（b－2,a＋4）·2＝－1，,\f（b＋2,2）＝2·\f（a－4,2），））

解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，,b＝－2，））∴A′（4，－2）．

∵y＝2x是∠ACB平分线所在直线的方程，∴A′在直线BC上，∴直线BC的方程为eq\f（y＋2,1＋2）＝eq\f（x－4,3－4），即3x＋y－10＝0.

由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x，,3x＋y－10＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝4，））∴C（2,4）．

1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法

与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直和平行的直线方程可设为：

（1）垂直：

Bx－Ay＋m＝0；

（2）平行：

Ax＋By＋n＝0.

1种思想——转化思想在对称问题中的应用

一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．

2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点

（1）在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；

（2）运用两平行直线间的距离公式d＝eq\f（|C1－C2|,\r（A2＋B2））的前提是将两方程中的x，y的系数化为分别相等.

创新交汇——新定义下的直线方程问题

1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．

2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．

[典例]　（2013·上海模拟）在平面直角坐标系中，设点P（x，y），定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点．

对于以下结论：

①符合[OP]＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；

②设P为直线eq\r（5）x＋2y－2＝0上任意一点，则[OP]的最小值为1；

其中正确的结论有________（填上你认为正确的所有结论的序号）．

[解析]　①由[OP]＝1，根据新定义得，|x|＋|y|＝1，上式可化为y＝－x＋1（0≤x≤1），y＝－x－1（－1≤x≤0），y＝x＋1（－1≤x≤0），y＝x－1（0≤x≤1），画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD为边长是eq\r

（2）的正方形，所以面积等于2，故①正确；

②当点P为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,\r（5）），0））时，[OP]＝|x|＋|y|＝eq\f（2,\r（5））＋0<1，所以[OP]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.

[答案]　①

eq\a\vs4\al（[名师点评]）

1．本题有以下创新点

（1）考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．

（2）考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．

2．解决本题的关键有以下两点

（1）根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；

（2）认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题．

3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点

（1）充分理解概念、定理的内涵与外延；

（2）对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；（3）注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．

eq\a\vs4\al（[变式训练]）

四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0,0），A（6,2），B（4,6），C（2,6），直线y＝kxeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,3）

（1）求S＝f（k）的函数表达式；

（2）当k为何值时，直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分．

解：

（1）如图所示，由题意得kOB＝eq\f（3,2）.

①当eq\f（1,3）

2x＋y＝14相交，

由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx，,2x＋y＝14，））

解得交点为P1eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（14,k＋2），\f（14k,k＋2）））.

因为点P1到直线OA：

x－3y＝0的距离为d＝eq\f（14（3k－1）,\r（10）（k＋2）），所以S＝eq\f（1,2）|OA|·d＝eq\f（14（3k－1）,k＋2）；

②当eq\f（3,2）≤k<3时，直线y＝kx与线段BC：

y＝6相交于点P2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（6,k），6）），

所以S△OP2C＝eq\f（1,2）|P2C|·6＝eq\f（6（3－k）,k）.

又因为S四边形OABC＝S△AOB＋S△OBC＝14＋6＝20，

所以S＝S四边形OABC－S△OP2C＝26－eq\f（18,k）.

故S＝f（k）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（14（3k－1）,k＋2）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,3）

（2）若要直线y＝kx平分四边形OABC的面积，由

（1），知只需eq\f（14（3k－1）,k＋2）＝10，解得k＝eq\f（17,16）.

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1．点（1，－1）到直线x－y＋1＝0的距离是（　　）

A.eq\f（1,2）　　　　　　　　　　B.eq\f（3,2）

C.eq\f（3\r

（2）,2）D.eq\f（\r

（2）,2）

解析：

选C　d＝eq\f（|1－（－1）×1＋1|,\r（12＋（－1）2））＝eq\f（3\r

（2）,2）.

2．（2013·海口模拟）直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（－1,1）且与y轴交于点P，则P点坐标为（　　）

A．（3,0）B．（－3,0）

C．（0，－3）D．（0,3）

解析：

选D　由题意知，直线l2的方程为y－1＝2（x＋1），

令x＝0，得y＝3，即点P的坐标为（0,3）．

3．（2013·南昌模拟）P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r

（2），则P点坐标为（　　）

A．（1,2）B．（2,1）

C．（1,2）或（2，－1）D．（2,1）或（－1,2）

解析：

选C　设P（x,5－3x），

则d＝eq\f（|x－5＋3x－1|,\r（12＋（－1）2））＝eq\r

（2），|4x－6|＝2,4x－6＝±2，

即x＝1或x＝2，故P（1,2）或（2，－1）．

4．（2013·南京调研）与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为（　　）

A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0

C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0

解析：

选A　与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4（－y）＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.

5.直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点（5,1）到l的距离为eq\r（10）.则l的方程是（　　）

A．3x＋y＋4＝0B．3x－y＋4＝0

C．3x－y－4＝0D．x－3y－4＝0

解析：

选C　由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（7x＋5y－24＝0，,x－y＝0，））得交点（2,2），

设l的方程为y－2＝k（x－2），即kx－y＋2－2k＝0，

∵eq\f（|5k－1＋2－2k|,\r（k2＋（－1）2））＝eq\r（10），解得k＝3.

∴l的方程为3x－y－4＝0.

6．曲线eq\f（|x|,2）－eq\f（|y|,3）＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是（　　）

A．m>4或m<－4B．－4

C．m>3或m<－3D．－3

解析：

选A　曲线eq\f（|x|,2）－eq\f（|y|,3）＝1的草图如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点．则m>4或m<－4.

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

7．已知坐标平面内两点A（x，eq\r

（2）－x）和Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r

（2）,2），0）），那么这两点之间距离的最小值是________．

解析：

d＝eq\r（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（\r

（2）,2）））2＋（\r

（2）－x）2）＝eq\r（2\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（3\r

（2）,4）））2＋\f（1,4））≥eq\f（1,2）.

即最小值为eq\f（1,2）.

答案：

eq\f（1,2）

8．与直线x－y－2＝0平行，且它们的距离为2eq\r

（2）的直线方程是________________．

解析：

设与直线x－y－2＝0平行的直线方程为x－y＋c＝0，则2eq\r

（2）＝eq\f（|c＋2|,\r（12＋（－1）2）），得c＝2或c＝－6，即所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y－6＝0.

答案：

x－y＋2＝0或x－y－6＝0

9．平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________（将你认为所有正确的序号都填上）．

①0　　②eq\f（1,2）　　③1　　④2　　⑤3

解析：

三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k＝0,1,2时均符合题意．

答案：

①③④

三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）

10．过点P（0,1）作直线l使它被直线l1：

2x＋y－8＝0和l2：

x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解：

设l1与l的交点为A（a,8－2a），

则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a,2a－6）在l2上，

代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，

解得a＝4，即点A（4,0）在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

11．光线从A（－4，－2）点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被