点到直线的距离定律Word格式.docx
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XiXo
把方程组作变形,
把①,②两边分别平方后相加,
222222
(AB)(XiXo)(Ba)(yiyo)
2
(AxoByoC),
A2B2
(XiXo)2(yiyo)2(AXoByoC)
|AxoByoC|
—2学
7AB
此公式还可以用向量的有关知识推导,介绍如下:
设P1(x1,y1)、P2(X2,y2)是直线I上的任意两点,则
Ax1ByiCo③
Ax2By2Co④
把③、④两式左右两边分别相减,得
A(xiX2)B(yiy2)0,
由向量的数量积的知识,知
n-P2P10,
这里n=(A,B)。
所以n=(A,B)是与直线I垂直的向量。
d|PPo|cos,
(如图所示)
/F畑%)
<
7
-0°
x<
_
一(LAoa)8(lxoxm
一(LAOA二Xox)-(8/)一
Soo.
-so--on--so。
一£
丄一(
^te<
s
〈一S8一一。
du-P
(底更®
吕)
。
08话8疋芷一P
2.平行线间的距离公式
3.点关于点的对称点(中点坐标公式)4.已知P0(X0,y0)直线I:
Ax+By+C=0(B丸)
点P。
(X0,y。
)关于直线I的对称点:
设为Pi(Xi,yi)
b^lc0
22
则A2
•(A)1
XiX0B
特别地关于特殊直线的对称点。
(X轴、y轴、直线y=x,直线y=—x)
5.直线I关于点Po(X0,yo)对称直线(三种方法)
6.直线I关于直线l1A1XByG0的对称直线(三种方法)
特别地直线I关于特殊直线y=±
x+b的对称直线。
【典型例题】
例1.求与直线1:
5X12y60平行且到I的距离为2的直线的方程。
解法一:
设所求直线的方程为5x12yc0,
在直线5x12y60上取一点P0(0,1),
点P0到直线5X12yc0的距离为
|12X_c|2
——2=
|c6|
13
J52(12)2
由题意,得
2。
•'
•C=32或c=—20,
解法二:
设所求直线的方程为
5x12yc0,
由两平行直线间的距离公式,
故所求直线的方程为
5x12y320和5x12y
200。
小结:
求两条平行线之间的距离,
可以在其中的一条直线上取一点,求这点到另一条直线
的距离,即把两条平行线之间的距离,转化为点到直线的距离。
也可以直接套两平行
例2.已知正方形的中心为G(-1,0),一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程。
解:
正方形中心G(-1,0)到四边距离均为
1156
Jl232金
则1\_Cl1具,即|ci1|6。
解得Ci5或Ci7。
故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0
设正方形另一组对边所在直线的方程为3x—y+c2=0。
则|3X
(1)C2I6
即|C23|6,
3。
所以正方形另两边所在直线的方程为:
3xy90和3xy30。
综上所述,正方形其他三边所在直线的方程分别为:
x3y70、3xy90、3xy30。
本例解法抓住正方形的几何性质,利用点到直线的距离公式,求得了正方形其他三边所在直线的方程。
例3.求直线x2y10关于直线xy10对称的直线的方程。
由x2y10,得X1
xy10,y0
•••点(1,0)为两已知直线的交点。
设所求直线的斜率为k,由一条直线到一条直线的角的公式,
11
得一2,k2。
111k
故所求直线方程为
y2(x1),即2xy20。
y0),
即直线x2y10关于直线xy10对称的直线的方程为2xy20。
解法三:
设P(x,y)是所求直线上的任一点,P关于直线x+y—1=0对称的点为P0(X0,
则P0在直线x2y10上。
-Xo2yo10,
kPPoj
1—y—2(1—X)—1=02x—y—2=0即为所求。
求直线I关于直线11对称的直线的方程,只要在I上取两点A、B,求A、B关于11
的对称点A、B'
,然后写出直线AB的方程即为所求。
解法二和解法三中,都用到了求一个点
P关于某直线I的对称点Po的问题。
这个问题的解法就是根据:
①直线PoP与直线I垂直;
②
求直线的方程。
截距相等的直线方程。
得x4,y3。
•所求直线的方程为y3x,
4
即3x4y0。
当所求直线不过原点时,
设所求直线方程为xya,
因为点(—4,3)在直线x+y=a上,
43a,a1,
故所求直线方程为Xy10。
在(*)式中,令x0得y-一6
25
所以6或
把6和
列条件的a、b的值。
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到11、12的距离相等。
分析:
考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。
a2
令y0得x6。
32
由题意,得766。
532
1
—。
3
1分别代入(*)式整理,
3ab40
由①、②解得a=2,b=2。
•••l1的斜率也存在,
1a,b
故ll和l2的方程可分别表示为
例6.
解:
•••f(x)—2x2Jx24x8
已知函数f(X)Jx22x2Jx24x8,求f(X)的最小值,并求取得
J(x1)2(01)2J(x2)2(02)2
它表示点P(x,0)与点A(1,1)的距离加上点P(X,0)与点B(2,2)的距离之和,即在X轴上求一点P(X,0)与点A(1,1)、B(2,2)的距离之和的最小值。
由下图可知,转化为求两点A'
(1,-1)和B(2,2)间的距离,其距离为函数f(x)的最小值。
BC2.2)
A'
(IT)
•••f(X)的最小值为J(12)2(12)2屈
再由直线方程的两点式得A'
B方程为3xy4Go
令yG得x4。
当x-时,f(x)的最小值为JIGo
33
数形结合是解析几何最根本的思想,因此本题联系图形求解,使解法直观、简捷而且准确,易于入手。
例7.用解析法证明:
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
则直线AB的方程为bxay
直线BC的方程为bx
ayabG
设底边AC上任意一点为
P(X,G)(—awxwa),
贝yp至Uab的距离|PE|
|bxab|b(ax)
妇2—b2寸a2b2
P到BC的距离为|PF|ja^
A到BC的距离
h|baab|2abja__b2
b2
•••|PE||PF|
b(ax)b(ax)
__b^Ja2b2
•••原命题得证。
例8.等腰直角三角形斜边所在直线的方程是
3x—y=0,—条直角边所在直线I经过点(4,
—2),且此三角形的面积为10,求此直角三角形的直角顶点的坐标。
设直角顶点为C,C到直线y=3x的距离为d,
10,
则--d•2d
.——Qk
•d如,设l的斜率为k,则飞tan45
•••l的方程为y2—(X4),即x2y80
设I'
是与直线y3x平行且距离为J10的直线,
则J-mL心0,.・.m±
10,
J10
•I'
的方程是3xy±
100
012
0得C点坐标是G
由方程组x2y80及x2y8
3xy1003xy10
(2834)
(7,7)
例9已知直线I:
(2m)x(12m)y43m0,
(1)求证:
不论m为何实数,直线I恒过一定点M;
(2)过定点M作一条直线11,使h夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求h的方程;
(3)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小,求l2的方程。
0,
(1)化原直线方程为2xy4m(x2y3)
2xy40
由x2y30,定点M的坐标为(1,2)
(2)设过点M的直线方程为x1,
ab
它与x轴、y轴分别交于A(a,0),B(0,b)。
••M为AB中点,由中点坐标公式得a=—2,b=—4,
•••所求直线方程为2xy40
当且仅当k=-2时,围成的三角形面积最小,
【模拟试题】
求其他三边所在直线的方程。
E
Al
C逹
r
(1991年全国高考题)
【试题答案】
13x4y
250或x5
提示:
(1)
当直线I的斜率存在时,可设
I的方程为ykxbo
根据题意,得
•••所求的直线
(2)当直线
105kb,
|b|
5,
k
解得
b
I的方程为3x4y
I的斜率不存在时,直线的倾斜角为2
即直线I与x轴垂直。
根据题意,得所求直线I的方程为x
点P(1,1)到直线x•
cos
y•sin2
0的距离为
|cossind盂
2|
・2—
Sin
|sin
|V2sin(
[0,
•••当sin(
1,即
—时,
|J2
最大。
3.提示:
由
cos2
1|
sin2
得
sin
••sin
4.解:
可设
CD所在直线方程为:
x3ym0,
则|m5|2•|105|
•m7或17
o
•••点E在CD上方,.・.m=—17。
经检验不合题意,舍去。
••m=7,.・.CD所在直线方程为X3y70。
••AB丄BC,
•••可设BC所在直线方程为3xyn0
I30n|I105|
AD所在直线方程为3Xy
5.分析:
在直线上任取一点,求这点到另一直线的距离。
在直线2x7y60上任取一点,如P(3,0),
[注意]
用上面方法可以证明如下结论:
|CiC2I
设直线方程为y2k(x1),则kxy
xy10或7xy
角,则由夹角公式求得所求直线的斜率
•••所求直线方程为x
7y15
0或7xy50
在寻求问题解的过程中,数形结合可优化思维过程。
8.分析:
画图分析,可知符合题意的直线
I有2条。
其一直线经过AB的中点;
其二直线与AB
所在的直线平行。
又由AB的中点为(一
1,1)得所求直线为yX2;
当所求直线与AB所
在的直线平行时,得所求直线方程为y
8x6y25的斜率为
9.解:
直线
3,与它垂直的直线斜率为4,因此原点关于此直线
对称的点应在直线y
—x
4上。
对照选项,只有(
4,3)在直线上,故选D。
[评注]本题考查直线方程和对称点的有关知识。
k7或k
解之得