高中数学奥赛学案数学归纳法.docx

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高中数学奥赛学案数学归纳法

数学归纳法

数学归纳法是用于证明与正整数

有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．

1．数学归纳法的基本形式

（1）第一数学归纳法

设

是一个与正整数有关的命题，如果

①当

（

）时，

成立；

②假设

成立，由此推得

时，

也成立，那么，根据①②对一切正整数

时，

成立．

（2）第二数学归纳法

设

是一个与正整数有关的命题，如果

①当

（

）时，

成立；

②假设

成立，由此推得

时，

也成立，那么，根据①②对一切正整数

时，

成立．

2．数学归纳法的其他形式

（1）跳跃数学归纳法

①当

时，

成立，

②假设

时

成立，由此推得

时，

也成立，那么，根据①②对一切正整数

时，

成立．

（2）反向数学归纳法

设

是一个与正整数有关的命题，如果

①

对无限多个正整数

成立；

②假设

时，命题

成立，则当

时命题

也成立，那么根据①②对一切正整数

时，

成立．

3．应用数学归纳法的技巧

（1）起点前移：

有些命题对一切大于等于1的正整数正整数

都成立，但命题本身对

也成立，而且验证起来比验证

时容易，因此用验证

成立代替验证

，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．

（2）起点增多：

有些命题在由

向

跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．

（3）加大跨度：

有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．

（4）选择合适的假设方式：

归纳假设为一定要拘泥于“假设

时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．

（5）变换命题：

有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．

5．归纳、猜想和证明

在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．