高考数学理科一轮复习数学归纳法学习型教学案带答案.docx

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高考数学理科一轮复习数学归纳法学习型教学案带答案

高考数学（理科）一轮复习数学归纳法学案带答案

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　学案39　数学归纳法

　　导学目标：

1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

　　自主梳理

　　．归纳法

　　由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．

　　2．数学归纳法

　　设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：

证明起始命题________成立；在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．

　　3．数学归纳法证题的步骤

　　证明当n取第一个值__________时命题成立．

　　假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

　　自我检测

　　．用数学归纳法证明：

“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a”在验证n＝1时，左端计算所得的项为

　　A．1

　　B．1＋a

　　c．1＋a＋a2

　　D．1＋a＋a2＋a3

　　2．如果命题P对于n＝k时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P对于n＝2时成立，则下列结论正确的是

　　A．P对所有正整数n成立

　　B．P对所有正偶数n成立

　　c．P对所有正奇数n成立

　　D．P对所有大于1的正整数n成立

　　3．证明n＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n＋1，当n＝2时，中间式子等于

　　A．1

　　B．1＋12

　　c．1＋12＋13

　　D．1＋12＋13＋14

　　4．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取

　　A．2

　　B．3

　　c．5

　　D．6

　　5．用数学归纳法证明“n3＋3＋3能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开

　　A．3

　　B．3

　　c．3

　　D．3＋3

　　探究点一　用数学归纳法证明等式

　　例1　对于n∈N*，用数学归纳法证明：

　　•n＋2•＋3•＋…＋•2＋n•1＝16n．

　　变式迁移1　用数学归纳法证明：

　　对任意的n∈N*,1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.

　　探究点二　用数学归纳法证明不等式

　　例2　用数学归纳法证明：

对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n－1>2n＋12均成立．

　　变式迁移2　已知m为正整数，用数学归纳法证明：

当x>－1时，m≥1＋mx.

　　探究点三　用数学归纳法证明整除问题

　　例3　用数学归纳法证明：

当n∈N*时，an＋1＋2n－1能被a2＋a＋1整除．

　　变式迁移3　用数学归纳法证明：

当n为正整数时，f＝32n＋2－8n－9能被64整除．

　　从特殊到一般的思想

　　例　已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.

　　求数列{an}、{bn}的通项公式；

　　设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．

　　【答题模板】

　　解　由已知得a2＋a5＝12a2a5＝27，又∵{an}的公差大于0，

　　∴a5>a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝a5－a23＝9－33＝2，a1＝1，

　　∴an＝1＋×2＝2n－1.[2分]

　　∵Tn＝1－12bn，∴b1＝23，当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，

　　∴bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－1－12bn－1，

　　化简，得bn＝13bn－1，[4分]

　　∴{bn}是首项为23，公比为13的等比数列，

　　即bn＝23•13n－1＝23n，

　　∴an＝2n－1，bn＝23n.[6分]

　　∵Sn＝1＋2n－12n＝n2，∴Sn＋1＝2，1bn＝3n2.

　　以下比较1bn与Sn＋1的大小：

　　当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，∴1b1<S2，当n＝2时，1b2＝92，S3＝9，∴1b2<S3，

　　当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，∴1b3<S4，当n＝4时，1b4＝812，S5＝25，∴1b4>S5.

　　猜想：

n≥4时，1bn>Sn＋1.[9分]

　　下面用数学归纳法证明：

　　①当n＝4时，已证．

　　②假设当n＝k时，1bk>Sk＋1，即3k2>2.[10分]

　　那么，n＝k＋1时，1bk＋1＝3k＋12＝3•3k2>32＝3k2＋6k＋3＝＋2k2＋2k－1>[＋1]2＝S＋1，∴n＝k＋1时，1bn>Sn＋1也成立．[12分]

　　由①②可知n∈N*，n≥4时，1bn>Sn＋1都成立．

　　综上所述，当n＝1,2,3时，1bn<Sn＋1，当n≥4时，1bn>Sn＋1.[14分]

　　【突破思维障碍】

　　．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．

　　2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．

　　【易错点剖析】

　　．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．

　　2．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．

　　．数学归纳法：

先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k时命题成立，并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．

　　2．第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．

　　第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．

　　一、选择题

　　．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是

　　A．假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1命题成立

　　B．假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1命题成立

　　c．假设n＝2k＋1时命题成立，证明n＝k＋1命题成立

　　D．假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋2命题成立

　　2．已知f＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则

　　A．f中共有n项，当n＝2时，f＝12＋13

　　B．f中共有n＋1项，当n＝2时，f＝12＋13＋14

　　c．f中共有n2－n项，当n＝2时，f＝12＋13

　　D．f中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f＝12＋13＋14

　　3．如果命题P对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P对n＝4不成立，则下列结论正确的是

　　A．P对n∈N*成立

　　B．P对n>4且n∈N*成立

　　c．P对n<4且n∈N*成立

　　D．P对n≤4且n∈N*不成立

　　4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上

　　A．k2＋1

　　B．2

　　c.k＋14＋k＋122

　　D．＋＋＋…＋2

　　5．已知f是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f≥k2成立，则f≥2成立，下列命题成立的是

　　A．若f≥9成立，且对于任意的k≥1，均有f≥k2成立

　　B．若f≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f<k2成立

　　c．若f≥49成立，则对于任意的k<7，均有f<k2成立

　　D．若f＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f≥k2成立

　　二、填空题

　　6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．

　　7．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是______________．

　　8．凸n边形有f条对角线，凸n＋1边形有f条对角线，则f＝f＋________.

　　三、解答题

　　9．用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n．

　　0．数列{an}满足an>0，Sn＝12，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明．

　　11．已知函数f＝1x2e－1|x|．

　　判断f的奇偶性；

　　在上求函数f的极值；

　　用数学归纳法证明：

当x>0时，对任意正整数n都有f<n！

•x2－n.

　　学案39　数学归纳法

　　自主梳理

　　．一般结论　完全　不完全　2.P1　P0　Pk　Pk＋1

　　3．n0　n＝k　n＝k＋1

　　自我检测

　　．c　[当n＝1时左端有n＋2项，∴左端＝1＋a＋a2.]

　　2．B　[由n＝2成立，根据递推关系“P对于n＝k时成立，则它对n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4时成立，再推出n＝6时成立，…，依次类推，P对所有正偶数n成立”．]

　　3．D　[当n＝2时，中间的式子

　　＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.]

　　4．c　[当n＝1时，21＝12＋1；

　　当n＝2时，22<22＋1；当n＝3时，23<32＋1；

　　当n＝4时，24<42＋1.而当n＝5时，25>52＋1，∴n0＝5.]

　　5．A　[假设当n＝k时，原式能被9整除，

　　即k3＋3＋3能被9整除．

　　当n＝k＋1时，3＋3＋3为了能用上面的归纳假设，只需将3展开，让其出现k3即可．]

　　课堂活动区

　　例1　解题导引　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：

等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

　　证明　设f＝1•n＋2•＋3•＋…＋•2＋n•1.

　　当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

　　假设当n＝k时等式成立，

　　即1•k＋2•＋3•＋…＋•2＋k•1

　　＝16k，

　　则当n＝k＋1时，

　　f＝1•＋2[－1]＋3[－2]＋…＋[－1]•2＋•1

　　＝f＋1＋2＋3＋…＋k＋

　　＝16k＋12

　　＝16．

　　由可知当n∈N*时等式都成立．

　　变式迁移1　证明　当n＝1时，

　　左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，

　　∴等式成立．

　　假设当n＝k时，等式成立，即

　　－12＋13－14＋…＋12k－1－12k

　　＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.

　　则当n＝k＋1时，

　　－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2

　　＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2

　　＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋2

　　＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋1，

　　即当n＝k＋1时，等式也成立，

　　所以由知对任意的n∈N*等式都成立．

　　例2　解题导引　用数学归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．

　　证明　当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.

　　∵左边>右边，∴不等式成立．

　　假设当n＝k时不等式成立，

　　即1＋131＋15…1＋12k－1>2k＋12.

　　则当n＝k＋1时，

　　＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－1

　　>2k＋12•2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋1

　　>4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.

　　∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

　　由知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．

　　变式迁移2　证明　当m＝1时，原不等式成立；

　　当m＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，

　　因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；

　　假设当m＝k时，不等式成立，

　　即k≥1＋kx，则当m＝k＋1时，

　　∵x>－1，∴1＋x>0.

　　于是在不等式k≥1＋kx两边同时乘以1＋x得，

　　k•≥＝1＋x＋kx2

　　≥1＋x.

　　所以k＋1≥1＋x，

　　即当m＝k＋1时，不等式也成立．

　　综合知，对一切正整数m，不等式都成立．

　　例3　解题导引　用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋1时常使用“配凑法”．在证明n＝k＋1成立时，先将n＝k＋1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得n＝k＋1时也成立．

　　证明　当n＝1时，a2＋＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除．

　　假设当n＝k时，

　　ak＋1＋2k－1能被a2＋a＋1整除，

　　则当n＝k＋1时，

　　ak＋2＋2k＋1＝a•ak＋1＋22k－1

　　＝a•ak＋1＋a•2k－1＋2k－1

　　＝a[ak＋1＋2k－1]＋2k－1，

　　由假设可知a[ak＋1＋2k－1]能被a2＋a＋1整除，

　　∴ak＋2＋2k＋1也能被a2＋a＋1整除，

　　即n＝k＋1时命题也成立．

　　综合知，对任意的n∈N*命题都成立．

　　变式迁移3　证明　当n＝1时，f＝34－8－9＝64，

　　命题显然成立．

　　假设当n＝k时，

　　f＝32k＋2－8k－9能被64整除．

　　则当n＝k＋1时，

　　32＋2－8－9＝9＋9•8k＋9•9－8－9＝9＋64

　　即f＝9f＋64

　　∴n＝k＋1时命题也成立．

　　综合可知，对任意的n∈N*，命题都成立．

　　课后练习区

　　．D　[A、B、c中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．]

　　2．D

　　3．D　[由题意可知，P对n＝3不成立对n＝4也成立）．同理可推P对n＝2，n＝1也不成立．]

　　4．D　[∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，

　　当n＝k＋1时，

　　左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋＋…＋2，

　　∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上

　　＋＋＋…＋2.]

　　5．D　[f＝25>42，∴k≥4，均有f≥k2.

　　仅有D选项符合题意．]

　　6．2k＋1

　　解析　∵当n＝k＋1时，

　　左边＝1＋2＋…＋k＋＋k＋…＋2＋1，

　　∴从n＝k到n＝k＋1时，应添加的代数式为＋k＝2k＋1.

　　7.12k＋12k＋2

　　解析　不等式的左边增加的式子是

　　2k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋12k＋2.

　　8．n－1

　　解析　∵f＝f＋2，f＝f＋3，

　　f＝f＋4，…，∴f＝f＋n－1.

　　9．证明　当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，

　　∴32≤1＋12≤32，命题成立．

　　当n＝2时，左边＝1＋22＝2；右边＝12＋2＝52，

　　∴2<1＋12＋13＋14<52，命题成立．

　　假设当n＝k时命题成立，

　　即1＋k2<1＋12＋13＋…＋12k<12＋k，

　　则当n＝k＋1时，

　　＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k>1＋k2＋2k•12k＋1＝1＋k＋12.

　　又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k<12＋k＋2k•12k＝12＋，

　　即n＝k＋1时，命题也成立．

　　由可知，命题对所有n∈N*都成立．

　　0．解　∵an>0，∴Sn>0，

　　由S1＝12，变形整理得S21＝1，

　　取正根得S1＝1.

　　由S2＝12及a2＝S2－S1＝S2－1得

　　S2＝12，

　　变形整理得S22＝2，取正根得S2＝2.

　　同理可求得S3＝3.由此猜想Sn＝n.

　　用数学归纳法证明如下：

　　当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．

　　假设当n＝k时，结论成立，即Sk＝k.

　　那么，当n＝k＋1时，

　　Sk＋1＝12＝12

　　＝12．

　　整理得S2k＋1＝k＋1，取正根得Sk＋1＝k＋1.

　　故当n＝k＋1时，结论成立．

　　由、可知，对一切n∈N*，Sn＝n都成立．

　　1．解　∵函数f定义域为{x∈R|x≠0}

　　且f＝1－x2＝1x2＝f，

　　∴f是偶函数．

　　解　当x<0时，f＝1x2，

　　f′＝－2x3＋1x2

　　＝－1x4，

　　令f′＝0有x＝－12，

　　当x变化时，f′，f的变化情况如下表：

　　x

　　－12

　　f′

　　＋

　　0

　　－

　　f

　　增

　　极大值

　　减

　　由表可知：

当x＝－12时，f取极大值4e－2，

　　无极小值．

　　证明　当x>0时f＝1x2，∴f＝x2e－x.

　　考虑到：

x>0时，不等式f<n！

•x2－n等价于x2e－x<n！

•x2－n⇔xn<n！

•ex

　　所以只要用数学归纳法证明不等式对一切n∈N*都成立即可．

　　①当n＝1时，设g＝ex－x，

　　∵x>0时，g′＝ex－1>0，∴g是增函数，

　　故g>g＝1>0，即ex>x．

　　所以当n＝1时，不等式成立．

　　②假设n＝k时，不等式成立，

　　即xk<k！

ex，

　　当n＝k＋1时，设h＝！

•ex－xk＋1，

　　h′＝！

ex－xk＝>0，

　　故h＝！

•ex－xk＋1为增函数，

　　∴h>h＝！

>0，

　　∴xk＋1<！

•ex，

　　即n＝k＋1时，不等式也成立，

　　由①②知不等式对一切n∈N*都成立，

　　故当x>0时，原不等式对n∈N*都成立．