九年级上册数学第二十一章一元二次方程讲学稿.docx
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九年级上册数学第二十一章一元二次方程讲学稿
数学学科师生共用讲学稿
级:
九级学科:
数学执笔:
燕杰审核:
郑少山
内容:
一元二次方程定义
(1)课型:
新授讲学时间:
学习目标:
(1)抽象出一元二次方程,体会它是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
(2)理解一元二次方程的概念,一般形式
(3)培养学生的观察、类比、归纳能力。
重点:
一元二次方程的概念及一般形式。
难点:
从实际问题中抽象出一元二次方程;正确识别一般式中的“项”和“系数”。
学习过程:
一、课前预测:
1、什么叫一元一次方程一般形式是
2、列方程解应用题的一般步骤是
3、一矩形周长为24cm,长比宽大5cm,求矩形的长和宽。
解:
设矩形的宽为xcm,则长为,
列方程
化成一般形式
二、课堂探究
1、一元二次方程定义
根据下列问题,列出关于x的方程,并化成最简单的形式填入下表:
问题1一矩形面积24cm2,长比宽大5cm,求矩形的长和宽。
设矩形的宽为为xcm,则长为cm
问题2如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么,铁皮各角应切去多大的正方形?
设正方形的边长为xcm
问题3要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
设应邀请x个队参加
问题4要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部高的比,雕像的下部应设计为多高?
雕像的下部应设计为xm高
根据要求填表
列方程
化成最简形式
问题1
问题2
问题3
问题4
★观察上述所得的方程:
你发现他们有什么共同的特点:
★一元二次方程的定义
★请写出三个一元二次方程的例子
★判断下列方程哪些是一元二次方程,哪些不是
①x2+2x-4=0②4x2=9
③x2+3x=0④3y2-5y=7
⑤(x+2)2=(x-1)2⑥mx2-3x+2=0(m是系数)
⑦
⑧
2、一元二次方程一般形式
一元二次方程一般形式
二次项系数的取值范围:
__________为什么?
______________
★将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式:
__________二次项系数:
_____,一次项系数,常数项:
____________
★口答上表中一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项
3、课堂小结:
①本节课你学到了什么?
②你有什么疑惑的地方?
三、随堂检测:
1、将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
①5x2-1=4x
②4x2=x
③4x(x+2)=25
④(3x-2)(x+1)=8x-3
2、根据下列问题,列出关于x的方程,将其化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积等于较
长一段的长的平方,求较短一段的长x;
(4)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边相差2,求较长的直角边的长x。
四、课后拓展:
1、已知关于X的方程(K-1)X
-KX=X2-1,当K____时,原方程为一元二次方程(任写一个)。
2、已知a是方程X2-2006X-1=0的一个根,求
的值。
数学学科师生共用讲学稿
年级:
九年级学科:
数学执笔:
李丰林审核:
郑少山
内容:
一元二次方程定义
(2)课型:
新授讲学时间:
教学目标:
1、会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程的解的概念。
2、会在简单的实际问题中估算方程的解,理解方程的解的实际意义。
重点:
简单一元二次方程的试解。
难点:
让学生接受一元二次方程有两个解;实际问题中方程的解的意义。
学习过程:
一、学前准备:
1、解方程并说出方程解的定义:
①3x=2(x+5)
②
方程解的定义:
______________________________________
若x=3是方程8x-a=17的解,则a=
2、说出一元二次方程的定义
3、根据一元一次方程解的定义,你认为应该如何定义一元二次方程?
二、课堂探究:
1、上节有关排球赛问题中,我们列出了方程x2-x=56,你能发现它的解吗?
试一试,把找出的解写出来
完成下表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
x2-x
…….
把你的发现说出来:
一元二次方程解(根)的定义
将x=-7代入方程x2-x=56
左边=右边
说明所以方程x2-x=56有个解
请你说出排球赛问题的答案,并说明你的理由
2、你能想出下列方程的根吗?
把答案学出来
①x2-36=0②4x2-9=0
3、试一试:
①下面那些数是方程x2-x-6=0的根?
-4-3-2-101234
②试写出方程x2-x=0的根,你能写出几个?
4、小组交流,共同探究:
对①x2-36=0②4x2-9=0③x2-x=56三个方程可能的解法在小组内进行交流,并把方程的解写下来
可注意以下几点:
①几种解法的缺陷。
(例如:
易丢负根,计算量大等)
②在实际问题中,不符合实际意义的解要舍去。
5、小结提炼:
(1)一元二次方程的解与一元一次方程解的区别与联系。
(2)试解过程中积累了那些方法、经验。
(3)说出你的收获和疑惑
三、随堂检测:
1、下列那些数是方程x2+x-12=0的根?
-4-3-2-101234
2、写出下列方程的根:
①9x2=1②25x2-4=0③4x2=2
3、三个连读整数,前两个整数的平方和等于第三个数的平方,你能求出这三个整数分别是多少呢?
4、如果2是方程x2-c=0的一个根,那么常数c是几?
这个方程的根是几?
四、课后拓展:
1、若关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根中只有一个为0,则下列正确的是( )
A、b≠0,c≠0 B、b=0,c≠0
C、b≠0,c=0 D、b=0,c=0
2、若b=a+c,求证:
一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个根是-1。
数学学科师生共用讲学稿
年级:
九年级科目:
数学执笔:
胥凤霞审核:
郑少山
内容:
解一元二次方程(配方法1)课型:
新授课讲学时间:
学习目标:
1、会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的方程。
2、体验类比、转化、降次的数学思想方法。
3、经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型,能根据具体实际意义检验结果的合理性。
重点难点:
解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的方程。
学习过程:
一、课前检测
⑴写出几个完全平方数____________,写出几个完全平方式____________
完全平方式的形式______________
⑵完全平方公式(因式分解):
⑶平方根的定义:
二、课堂探究
1、填空:
⑴x2+8x+=(x+)2⑵y2-y+=(y-)2
⑶+4m+1=(+1)2⑷y2++36=(y+)2
⑸若a2=9,则a=⑹已知3x2=9,则x=
2、问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
3、例题精讲
⑴解方程(2x-1)2=5⑵解方程x2+6x+9=2
归纳:
若方程化成x2=p(p≥0),则可得x=;其方程化成(mx+n)2=p(p≥0),则可得x=。
4、巩固提高
⑴.解方程:
①2x2-8=0②9x2-5=3
③(x+6)2-9=0④3(x-1)2-6=0
⑤x2-4x+4=5⑥9x2+6x+1=4
⑵.某商店10月份营业额为5000元,12月份上升到7200元,求平均每月的增长率?
5、随堂小结
⑴通过本节课你掌握了什么?
⑵学会用平方根的定义来解一元二次方程。
三、随堂检测
1、填空
①x2-2x+1=(x-)2
②4a2-+9=(2a-)2
③若x2-16=0,则x=。
2、解方程
①5x2-30=0②2(x-3)2-8=0
③x2-6x+9=12④16y2-8y+1=7
3、美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。
我市近几年来,通过拆迁旧房,植草,栽树,修公园等措施,使城区绿地面积不断增加(如图所示)。
⑴、根据图中所提供的信息回答下列问题:
2003年底的绿地面积为公顷,比2002年底增加了公顷;在2001年,2002年,2003年这三个中,绿地面积最多的是年;
(2)、为满足城市发展的需要,计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷,试今明两绿地面积的年平均增长率。
四、课外拓展
你能证明代数式y2-6y+10的值恒大于零吗?
数学学科师生共用讲学稿
年级:
九年级科目:
数学执笔:
李景玉审核:
郑少山
内容:
解一元二次方程(配方法2)课型:
新授讲学时间:
学习目标:
1、通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步认识方程模型的重要性。
2、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程的方法。
3、能结合具体问题检验方程解的合理性。
4、理解解方程的程序化,体会化归思想。
学习重点:
用配方法解数字系数的一般一元二次方程
学习难点:
配方的过程
学习过程:
一、课前准备
解方程
⑴x2-4x+4=5⑵4x2+12x+9=81
二、合作探究
小组讨论解方程x2-4x-1=0怎样解?
1、练一练
⑴填空
①x2+10x+=(x+)2
②x2-12x+=(x-)2
⑵要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽应各是多少?
2、例题精讲
解方程
①x2-8x+1=0②2x2+1=3x
③3x2-6x+4=0
3、巩固提高
⑴填空
①x2+5x+=(x+)2②x2-0.5x+=(x-)2
⑵解方程
①x2+10x+9=0②x2-x-7=0
③3x2+6x-4=0④4x2-6x-3=0
⑤x2+4x-9=2x-11⑥x(x+4)=8x+12
⑶若一元二次(m-1)x2+3m2x+m2+3m-4=0的一个根是0,求m的值。
4、随堂小结
⑴通过本节课你掌握了什么?
⑵能学会用配方法来解一元二次方程。
三、随堂检测
⑴用配方法解方程x2+8x+9=0,将原方程变形后得到的方程为()。
A、(x+4)2=7B、(x+4)2=-9
C、(x+4)2=25D、(x+4)2=16
⑵已知分式
的值为0,则x的值为()。
A、x=-3B、x=3
C、x=-3或x=1D、x=3或x=-1
⑶解方程
①x2-2x+1=25②2x2+3x=3
③x2+5x+7=x+11④2y2-7y+3=0
四、课外拓展
你能用配方法来证明-2x2+4x-5的值恒小于零吗?
数学学科师生共用讲学稿
年级:
九年级学科:
数学执笔:
肖合菊审核:
郑少山
内容:
解一元二次方程(公式法1)课型:
新授课讲学时间:
学习目标:
1、理解用配方法推导求根公式的过程
2、了解公式法的步骤,理解一元二次方程求根公式
3、能利用公式法解一元二次方程
4、通过对公式的的推导,体会“降次转换”的基本思想,体会数学的转化思想
学习重点:
运用公式法解一元二次方程
学习难点:
公式的推导
学习过程
一、学前准备:
1、用配方法解方程
①x2+4x-5=0②2x2+6x=7
2、学习疑难摘要____________________________________________
二、课堂探究:
1、任何一元二次方程都可写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),能否用配方法的步骤求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解?
(小组讨论)
解:
移项得:
___________________
把二次项的系数化为1得:
___________________
配方得______________________
整理得:
______________________
因为4a2﹥0,当b2-4ac≥0时,开方得:
_______________
当b2-4ac﹤0时,方程___________
总结:
2、独立思考,解决问题
解方程:
2x2-x-1=0
用配方法解:
用公式法解:
3、师生探究,合作交流
例1:
解方程
①x2+1.5=-3x
解:
把一元二次方程化成一般式:
确定a、b、c的值
求出(b2-4ac)的值.
若b2-4ac≥0.利用公式
求出原方程的根
②x2-
x+0.5=0③4x2-3x+2=0
归纳:
1.用公式法解一元二次方程的步骤有哪些?
2.方程的根与(b2-4ac)的值有何关系?
利用公式法法解方程:
x(x-4)=5
4、学习体会:
①本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
②你认为老师上课过程中还有哪些须注意或改进的地方?
③预习时的疑难解决了吗?
三、自我测试:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________其中b2-4ac__0
2.方程(2x+1)(x+2)=6化为一般形式是________
当b2-4ac=____时,用求根公式得:
___________________
3.用公式法解方程:
(1)x2+x-6=0
(2)x(2x-4)=5-8x
(3)x(x+8)=16(4)x2=2(x+1)
4、关于x的方程x2-ax-3=0的一个根是6,则另一个根是()
A2B-2C-6或2D6或-2
四、应用与拓展
1、不解方程你能判断方程5x2-7x-9=0根的情况吗?
2、①当x是什么数时,代数式
的值等于1?
②若分式
的值是零,则x的值一定是()
A-2B2C±2D不等于-2
③当x为何值时,分式
没有意义?
数学学科师生共用讲学稿
年级:
九年级学科:
数学执笔:
梁芳审核:
郑少山
内容:
解一元二次方程(公式法2)课型:
新授课讲学时间:
学习目标:
1、掌握公式法解一元二次方程的步骤
2、能正确的运用公式法解一元二次方程
3、能根据b2-4ac的值判定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的情况,反之由根的情况判断b2-4ac的符号
学习重点:
能正确的运用公式法解一元二次方程
学习难点:
b2-4ac的值与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况的关系
一、学前准备:
1、公式法解一元二次方程的一般步骤是
______________________________
2、利用公式法解方程:
①x(x+8)=16②2x2+8x-7=0
3、一元二次方程2x2+x-6=0的根的情况是()
A、有两个相等的实数根B、有两个不相等的实数根
C、无实数根D、不能确定
思考:
上题能不能不解方程判断根的情况?
4、预习疑难摘要_______________________
二、探究活动
1、师生探究,合作交流
例1、讨论不解方程,判断下列方程根的情况
①x2-4x+4=0②x2-3x+2=0
③x2-x+2=0
小结:
由b2-4ac的值可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
当b2-4ac﹥0时,方程有_______________的实数根
当b2-4ac=0时,方程有________________的实数根
当b2-4ac﹤0时,方程__________实数根
反之因根的情况可判定b2-4ac的符号
例2、关于x的方程mx2-2x+1=0有两个实数根,则m的取值范围是什么?
小结:
由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,可确定b2-4ac的符号,进而求出方程系数中字母的取值(范围)
2、独立思考解决问题
若关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,则k的最小整数值是多少?
3、学习体会
①、本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
②、你认为老师上课过程中还有那些需要注意或改进的地方?
③、预习时的疑难解决了吗?
三、自我检测
1、用公式解方程
①x2-7x=6②x2-2
x+3=0
2、关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围
3、若关于x的一元二次方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有两个实数根,求m的取值范围
四、应用与拓展
1、请你给出一个c值,c=_________时,使方程x2-3x+c=0无解?
2、关于x的一元二次方程(a+c)x2+bx+0.25(a-c)=0有两个相等的实数根,那么a、b、c为三边的三角形是()
A、以a为斜边的直角三角形B、以c为斜边的直角三角形
C、以b为底边的等腰三角形D、以c为底边的等腰三角形
3、已知关于x的一元二次方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根,求k的值及方程的解。
数学学科师生共用讲学稿
年级:
九年级科目:
数学执笔:
王占国审核:
郑少山
内容:
解一元二次方程(因式分解法)课型:
新授讲学时间:
教学目标:
(1)会用因式分解法解一元二次方程,并明确因式分解法只适用于一些特殊一元二次方程。
(2)了解因式分解法的基本思路也是将二次方程化为一次方程,既降次。
(3)经历探究因式分解法是如何使二次方程降为一次方程的过程,渗透“转化”的数学思想。
学习重点:
掌握因式分解法解一元二次方程
学习难点:
理解因式分解法解一元二次方程的意义
学习过程:
一、课前预习:
1、因式分解:
X2+6x+9=_____________4x-16x2=________________
X2-x+6=______________(2x-1)2-(3-x)2=________________
2、思考:
如果a·b=0那么a=________或b=______________.
如果(x﹣3)(x-4)=0那么_______=0或________=0既x=____或x=_____
二、课堂探究:
小组活动一:
问题3(课本):
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以每秒10米的速度竖直上抛,那么经过x秒物体离地面的高度(单位:
秒)为(10x—4.9x2)米
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?
(精确到0.01秒)
设物体经过x秒落回地面,这时它离地面的高度为米
可列方程…………………①
(1)解方程①除配方法或公式法来解外,你能否找到更简单的方法吗?
(2)方程①的右边为0,左边可以因式分解,得
x()=0
于是______=0或________=0
所以x1=,x2=
(3)你能说出x1=0和x2≈2.04表示的意义吗?
x1表示的意义________________________________________________________
x2表示的意义__________________________________________________________
小组活动二:
讨论以上解放程①的方法是如何使二次方程降为一次方程的?
①你能写出因式分解法的概念吗?
_____________________________________叫做因式分解法
②因式分解法解一元二次方程的实质是__________________________
例题精讲:
解下列方程
<1>x(x-2)+x-2=0<2>5x2-2x-0.25=x2-2x+0.75
巩固提高:
用因式分解法解下列方程
①4x2-144=0②3x2-12x=-12
③3x(x-1)=2(x-1)④(x-5)2=(2x-3)2
随堂小结:
1、通过本节课你掌握了什么?
2、总结归纳配方法、公式法、因式分解法的使用范围及方法,明确配方法和因式分解法的实质是降次。
公式法是配方法推导出来的。
3、提出你的疑惑:
三、随堂检测:
1、解下列方程
(1)x2+x=0
(2)3x2-6x=-3
(3)4x2-121=0(4)3x(2x+1)=4x+2
(5)(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5米,得出大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径?
四、拓展思考:
1、若依以下步骤解一元二次方程2x2+3x+1=x2-1,请问那一个步骤有错误?
(A)因式分解得(2x+1)(x+1)=(x+1)(x-1)
(B)消去x+1得2x+1=x-1
(C)移项得2x-x=-1-1
(D)演算得x=-2。
错误的序号:
_________________
2、已知x、y为实数,且满足(x2+y2)(x2+y2-1)=12,求(x2+y2)的值
数学学科师生共用讲学稿
年级:
九年级学科:
数学执笔:
孔令东审核:
郑少山
内容:
复习解一元二次方程课型:
复习课讲学时间:
学习目标:
理解一元二次方程各知识点之间的联系;
掌握一元二次方程三种解法,并会解可化为一元二次方程的分式方程;
会利用根的判别式判断一元二次方程根情况。
会利用根与系数的关系解决有关的简单问题。
学习重点:
一元二次方程定义及解法
学习难点:
一元二次方程定义及解法的灵活应用
学习过程:
一、课前反思:
1、一元二次方程的一般形式
2、一元二次方程的解法;;;
3、ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为
二、课堂探究
直接开平方法解方程:
2x2-18=0
公式法解方程:
2x2+7x-3=0.5
因式分解