数学指导意见.docx
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数学指导意见
山东省普通高中2017届数学学科
教学指导意见
2017年秋，北京、天津、山东、海南即将进入高考招生制度综合改革，为积极稳妥
地推动落实本次高考招生制度综合改革实验，依据教育部新修订的普通高中课程方案、
普通高中数学课程标准的精神，制定本高中数学学科教学与评价指导意见，供高考招生
制度综合改革试点省市，在新修订的普通高中课程方案以及普通高中数学课程标准实施
前的过渡时期使用。
一、理念与目标
（一）课程理念
1.学生发展为本，立德树人，提升素养
高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，
提升数学核心素养。
高中数学课程面向全体学生，实现：
人人都能获得良好的数学教育，
不同的人在数学上得到不同的发展。
2.优化课程结构，突出主线，精选内容
高中数学课程体现社会发展的需求、数学学科的特征和学生的认知规律，发展学生
数学核心素养。
优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择；突出数学主线，
凸显数学的内在逻辑和思想方法；精选教学内容，处理好数学核心素养与知识技能之间
的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，
同时注重数学文化的渗透。
3.把握数学本质，启发思考，改进教学
高中数学教学以发展学生数学核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思
考，引导学生把握数学内容的本质。
提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方
式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。
注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性。
不断引导学生感悟数学的科
学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
4.重视过程评价，突出素养，提高质量
高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学核心素养的形成和发展，
制定科学合理的学业质量标准，促进学生在不同学习阶段数学核心素养水平的达成。
评
价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程。
开发合理的评价工具，将知识
技能的要求与核心素养的达成有机结合，建立目标多元、方式多样的评价体系。
通过评
—36—
价，提高学生学习兴趣，帮助学生认识自我，增强自信；帮助教师改进教学，提高质量。
（二）课程目标
通过高中数学课程的学习，获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知
识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提
出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、
数学运算、数据分析等数学核心素养；会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，
会用数学语言表达世界。
通过高中数学课程的学习，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良
好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学
精神；不断提高应用能力实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、
文化价值和审美价值。
（三）数学核心素养
核心素养是育人价值的集中体现，是通过学习而逐步形成的关键能力、必备品格与
价值观念。
数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成
和发展的。
数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思
维品质与关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中
逐步形成和发展的。
数学核心素养是落实课程目标的重要途径，包括：
数学抽象、逻辑
推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学核心素养既相对独立、又
相互交融，是一个有机的整体。
1.数学抽象
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。
主要包括：
从
数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体
背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，
贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。
数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、
结论一般、有序多级的系统。
数学抽象主要表现为：
获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法
与思想，认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，
—37—
积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握
事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。
2.逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。
主要包括两
类：
一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的
推理，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，
是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
逻辑推理主要表现为：
掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表
述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习，学生能提出和论证数学命题，掌握逻辑推理的基本形式，
学会有逻辑地思考问题；发现和提出数学命题；探索和表述论证过程；能够在比较复杂
的情境中把握事物理解事物命题之间的关联，把握事物发展的脉络，把握知识结构；形
成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。
3.数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决
问题的素养。
数学建模过程主要包括：
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分
析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题。
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用
数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
数学建模主要表现为：
发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析
和解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出
问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经
验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升应用能力实践能力，
增强创新意识和科学精神。
4.直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解
决数学问题的素养。
主要包括：
借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；
利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解
—38—
决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、
进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为：
建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观
理解问题，运用空间想象认识事物。
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象
能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力；形成数学
直观直觉，在具体的情境中感悟事物的本质。
5.数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。
主要
包括：
理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，
求得运算结果等。
数学运算是解决数学问题的基本手段。
数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的
基础。
数学运算主要表现为：
理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，形成程序化
思维。
通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解
决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成程序化思考问题的品质，养成一丝不苟、
严谨求实的科学精神。
6.数据分析
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，
形成关于研究对象知识的素养。
数据分析过程主要包括：
收集数据，整理数据，提取信
息，构建模型，进行推断，获得结论。
数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也
是“互联网+”相关领域的主要数学方法，已经深入到科学、技术、工程和现代社会生
活的各个方面。
数据分析主要表现为：
收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括
和形成知识。
通过高中数学课程的学习，学生能提升学生收集和整理，理解和处理数据的能力；
获取有价值信息的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的
—39—
意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的
活动经验。
二、课程结构
（一）课程结构
高中数学课程分为必修课程、选修Ⅰ课程和选修Ⅱ课程。
高中数学课程内容突出函
数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、
选修Ⅰ和选修Ⅱ课程。
数学文化融入课程内容。
高中数学课程结构如下：
高中数学选修Ⅰ
函数
几何与代数
选修Ⅱ
A：
数理类
B：
经济、社会类和部分理工
C：
人文类
D：
体育、艺术类
E：
拓展、生活、地方、大学先修课
必修
预备知识
函数
几何与代数
统计与概率
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（二）学分与选课说明
1.学分设置
必修课程8学分，选修Ⅰ课程6学分，选修Ⅱ课程6学分。
2.课程与选课说明
在选择数学课程时，学生、教师、家长应认真学习以下关于课程与选课的说明。
如
果学生以高中毕业为目标，可以只学习必修课程，参加高中毕业的数学学业水平考试，
还可以选择感兴趣的选修Ⅱ课程中的课程进修学习；如果学生计划通过参加数学高考进
入高等学校学习，必须学习必修课程和选修Ⅰ课程，参加数学高考，还可以选择感兴趣
的选修Ⅱ课程中的课程进修学习；如果学生除了必修课程和选修Ⅰ课程，还希望多学习
一些数学课程，为进一步发展奠定更坚实的数学基础，展示自身的数学才能，可以根据
自身未来发展的需求选择选修Ⅱ课程中的某些课程，为大学的自主招生提供参考。
（1）必修课程
必修课程为学生发展提供共同基础，是高中学业水平考试的内容要求。
（2）选修Ⅰ课程
选修Ⅰ课程是供学生选择的课程，必修课程和选修Ⅰ课程是高考的内容要求。
对于
选修Ⅰ课程，如果学生不参加高考，仍然可以选择其中的课程学习。
（3）选修Ⅱ课程
选修Ⅱ课程是由学校根据学校自身情况选择设置的课程，供学生依据个人志趣自主
进行选择的课程，分为A、B、C、D、E五类。
这些课程为学生确定发展方向提供引导，为学生展示数学才能提供平台，为学生发
展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考。
学生可以根据自己的志向和大学专业
的要求选择学习其中的某些课程。
A课程是供有志于学习数理类（如：
数学、物理、计算机、精密仪器等）专业学生
选择的课程。
B课程是供有志于学习经济、社会类（如：
数理经济、社会学等）和部分理工类（如：
化学、生物、机械等）专业学生选择的课程。
C课程是供有志于学习人文类（如：
语言、历史等）专业学生选择的课程。
D课程是供有志于学习体育、艺术（包括音乐、美术）类等专业学生选择的课程。
E课程是由学校自主选择开设、供学生自主选择的课程。
包括拓展视野、日常生活、
地方特色的数学课程，及还包括大学数学的先修课程等。
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三、课程内容
（一）必修
包括：
集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）、基本初
等函数II（三角函数）、三角恒等变换、立体几何初步、平面解析几何初步、平面向量、
解三角形、统计、概率。
预备知识
1.集合（4课时）
【内容标准】
（1）集合的含义与表示
①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问
题，感受集合语言的意义和作用。
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
【教学提示】
集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有数学知识，通过
列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。
学习集合语言最好的方法是使用，在教学中
要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐
熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言。
在关
于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，有助于学生学习、掌握、
运用集合语言和其他数学语言。
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函数主线
2.函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（32课时）
【内容标准】
（1）函数
①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作
用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析
法）表示函数。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几
何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
（2）指数函数
①通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留
量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，
探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
（3）对数函数
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数
的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函
数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0，a≠1）。
（4）幂函数
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通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1
x
y=
1
2x的图象，了解它们的变化情况。
（5）函数与方程
①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函
数的零点与方程根的联系。
②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这
种方法是求方程近似解的常用方法。
（6）函数模型及其应用
①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会
直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分
段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
（7）撰写数学文化小论文
根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和
人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中
的函数实例，采取小组合作的方式撰写有关函数概念的形成、发展或应用的小论文，在
班级中进行交流。
【教学提示】
（1）函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。
函
数概念的引入方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。
从
学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际
问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。
再通过对指数函数、对数函数
等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。
像函数这样的核心概念需要多次接触、
反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。
（2）在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨
论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
（3）指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具
体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步
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体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操
作，感受“逼近”过程。
（4）反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过
比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=logax互
为反函数（a>0，a≠1）。
不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函
数的反函数。
（5）在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化
规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻
画现实问题中的作用。
（6）应注意鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题。
例如，利用计算
器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数
的性质，求方程的近似解等。
3.基本初等函数II（三角函数）（16课时）
【内容标准】
（1）任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π
2
±α、π±α的正弦、余弦、正
切），能画出y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（－π
2
π
2
）上的性
质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x+cos2x=1，sinx
cosx
=tanx。
⑤结合具体实例，了解y=Asin（ωx+ϕ）的实际意义；能借助计算器或计
算机画出y=Asin（ωx+ϕ）的图象，观察参数A、ω、ϕ对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重
要函数模型。
【教学提示】
（1）在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学
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生体会三角函数模型的意义。
例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、
波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化
规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型。
（2）在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。
单位圆可以帮助学生直观地认
识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系
式，以及三角函数的图象和基本性质。
借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探
索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。
（3）提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆
运动、波的传播、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。
（4）弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的
单位（圆周的1
2π
所对的圆心角或周角的1
2π
）。
随着后续课程的学习，他们将会逐步
理解这一概念，在此不必深究。
4.三角恒等变换（8课时）
【内容标准】
（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法
的作用。
（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的
正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、
半角公式，但不要求记忆）。
【教学提示】
（1）在三角恒等变换的教学中，可以采用不同的方式得到三角恒等变换基本公式；
也可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和
与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。
鼓励学生独立探索和
讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基
本训练。
（2）在教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。
例如，求三角
函数值，求解测量问题，分析y=Asin（ωx+ϕ）中参数变化对函数的影响等。
在
三角函数、平面向量和三角恒等变换相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。
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几何与代数主线
5.立体几何初步（18课时）
【内容标准】
（1）空间几何体
①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单
组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组
合）的直观图。
③了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
（2）点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽
象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
◆公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
◆公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
◆公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线。
◆公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理：
空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨
论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平
行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
—47—
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