谈如何从事数学科专题研究.docx
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谈如何从事数学科专题研究
談如何從事專題研究
高雄師範大學數學系左太政
壹、緒言:
數學科專題研究的內涵
1.數學科專題研究是學生數學課外活動之一;
2.學生選取專題研究題材可能與下列有關:
（1）解釋數學的理論;
（2）解決數學問題;
（3）利用不同的數學概念探討遊戲。
貳、參與數學科專題研究活動的重要性:
專題研究是推展數學教育活動之一,其重要性如下:
一、專題研究應是數學教育之一部份，可訓練學生敏銳的觀察力、創造力及思考力。
藉觀察去發掘一些問題，並能使用數學的方法來解決問題，期使能透過數學方法使學生獲得一些知識。
二、學生個人從事專題研究（科展）工作，期望自老師處獲得指導、建議並評估其正確性，尤其是在思考、觀察、創造及作品結構方面。
三、專題研究（科展）是教師在教學過程中,指導學生如何學習自生活經驗取材或加深加廣教材,使學生瞭解數學生活的連結,也是一種學習活動。
四、學生可自科專題研究過程中獲得解題思考的表達能力。
五、學生可自專題研究過程中獲得組織數學知識的能力。
簡言之,學生在教師指導下,以類似科學研究的方法去從事專題研究以獲取知識、應用知識和解決問題;從而能掌握知識的內容,使學生能體驗、理解和應用科學的方法,培養創新的精神和實踐的能力。
參、如何尋找專題研究（科展）之題材:
科展題材應以學生『所學習教材內容』所做之數學研究為主;老師可協助學生尋找具挑戰性題材,使其與教材結合。
專題研究題材及內容須考慮下列因素:
一、選擇何種類型的專題研究的問題（適合學生程度）
（例如:
幾何、數論、組合、益智數學遊戲、代數等題型）
二、自何處找問題:
請老師提供題材（目）或引導學生去發掘題材,或由學生間經由討論或發掘題材,最好能隨時記錄所查到資料並註明出處。
可考慮自下列尋找題材:
1.國內外競賽試題的推廣或修改。
2.數學或科學類課本、書籍、國內外期刊、雜誌等。
（例如:
MathematicsTeachers,Arithmaticsteachers,MonthlyMathematics等）
3.已發表的作品之修改、推廣或利用不同方法（強調一題多解）：
例如有關「魔方陣」、「黃金分割」、「商高定理」、「河內塔（HanoiTower）」、「費瑪點及拿破崙定理」、「點燈問題」等問題。
4.利用網際網路資源-國內外數學各領域相關資源網站等。
5.結合電腦的應用:
利用軟體輔助解決問題如動態幾何（GSP）等,或先用電腦實驗尋求解答在輔以數學方法來驗證。
6.自周遭環境中尋找問題或與其他學科的連結。
肆、如何蒐集研究資料及文獻探討:
題目確定後，下一個步驟是學生自行蒐集相關資料,可請教師長、同學、家人或到校內外圖書館、上網及到附近的大學數學系尋找資料。
[資料來源]:
一、歷屆全國科展得獎作品或各縣市參展作品。
二、科學教育月刊、科教季刊、數學傳播、牛頓等科教方面雜誌。
三、科技及科教叢書。
四、大學相關科學書籍。
五、國內外有關數學及科學教育期刊雜誌，如MathematicsTeachers,ArithmaticsTeachers,MonthlyMathematics等。
六、國內外競賽試題。
七、網際網路教學及競賽題材資源-例如網址:
（1）http:
//www.utm.edu/research/primes/
（2）http:
//www.utm.edu/research/primes/largest.html
（3）http:
//problems.math.umr.edu/index.htm
（4）國內外各大學數學系網站。
（5）各搜尋器搜尋題材如:
Fermatpoint,HanoiTower,Fibonaccisequence,etc.
（6）歷屆國際奧林匹亞數學競賽試題。
七、課本及參考書籍。
伍、如何整理資料
編製好的數學專題研究問題,可引發研究其解題策略,可能就是一個專題研究的好題材,亦即專題研究本身就是解題活動,並可培養學生數學的能力。
陸、如何撰寫研究報告
作品說明需用WORD檔以A4格張直式橫書,並需繳交電腦檔。
一、摘要（三百字以內）
二、研究動機:
敘述問題如何發生,並需說明作品與教材的教學單元相關性。
三、研究目的:
具體明確簡潔地說明待答（待解決）的問題。
四、研究設備器材:
例如使用個人電腦、列表機、硬紙板及較具模型等。
五、研究過程或方式:
依據研究目的將待答的問題有步驟且分段的一一解決。
若有必要,需先舉特例說明,再予以推廣至一般情形。
研究內容需以學生在學期間之教材內容所做之科學研究為主;研究對象以住家附近區域所接觸之環境、事、物為主。
六、研究結果:
七、結論：
依據各項研究結果提出總結,並可提出進一步待解的研究問題。
八、討論:
對研究結果作進一步的探討或推廣。
九、參考資料及其他:
與作品有關的資料儘量列,並依規定格式列出中英文文獻及參考網站,如下列範例:
康明昌著（1987）,幾個有名的數學問題,臺北:
中研院數學研究所。
Larson,R.E.（1994）, Calculus,MA:
D.C.HeathandCompany.
十、附錄-圖形、實驗數據、電腦列印結果、模型等。
柒、科展作品內容應注意事項如下:
須注意參展作品之內容是否為已知的結果,例如:
「商高定理」的證明、魔方陣、費瑪點、河內塔、點燈問題等。
1.作品需依規定格式撰寫,必要時附上實驗數據及草稿。
2.展覽內容以學生在學期間之教材內容所做之科學研究為主。
3.強調「題材與教材的相關性」。
4.對作品的要求:
（1）.如何引起動機
（2）.強調創意及鄉土性
（3）.是否由同學們自行做
（4）.思考的程序
（5）.研究方法之嚴密性及完整性（是否只歸納結果而缺驗證）
（6）.不得只以電腦處理結果呈現而不用數學驗證
（7）.研究日誌或數據之詳實性
（8）.參考資料來源與主題之相關性
（9）.學生表達能力及生動程度（操作技術）
（10）.學術性或實用性價值
（11）.主題與教材之相關性
評審作品之流程
1.各區承辦科展學校將收齊之參展作品說明書,於參展日的前一星期送至評審教授（或教師）處;
2.評審委員審查參展作品,標記作品疑問之處,必要時須找尋相關資料及確認是否為已知結果;
3.設計評審當天的問題。
捌、結語
一般而言,從事科學專題研究可使學生從中學習思考、創造及解決問題之能力等。
同時,若作品能在科展獲得獎勵優勝者,則有助於推薦甄選或申請進入高中或大學。
附錄:
國外教學資源及競賽題庫網站
第一部分:
中小教學資源網站
1."www.cut-the-
2."cedar.evansville.edu/\~ck6/tcenters"（trianglecenters）
3."math.rice.edu/\~lanius/Lessons"（Mathlessons）
4."www.utm.edu/research/primes"
5."www.utm.edu/research/primes/largest.html"
6."forum.swarthmore.edu/teachers/high/"（Highschoolteachers'place）
7."www.ee.surrey.ac.uk/Personal/P.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2.html"
第二部分：
競賽題庫資源網站
1."math.rice.edu/~lanius/Geom/quiza.html"（SAT-typetest）
2."www.unl.edu/amc/problems.html"（AMCProblems,Problems,Problems）
3."problems.math.umr.edu/index.html"（IndexandJournalproblems）
簡介:
題目難度高,適合作為專題研究題材。
4."（Internetcenterformathematicsproblems）
5."forum.swarthmore.edu/mathsites/problems.html"（Internetcenterformathematicsproblems）
6."www.ualberta.ca/~ahsmc/links.html"（AHSMCLinksformathcontests）
7."olympiads.win.tue.nl/imo/"（InternationalMathematicsOlympiad-IMO）
自競賽題中尋找可能的專題研究題材
一、翻紙杯問題
1.有7個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。
（1）規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?
（2）同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個，
試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?
（提示：
可考慮從杯子數少時如2,3,4,5,6個分別討論並記錄其結果）
2.有8個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。
每一次運動時，正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?
3.如何推廣上述問題?
即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?
二、從鐘面數談起-將整數分組的概念
1.
（1）已知鐘面上有12個數分別為1,2,3,…,12.今將
這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？
共有幾種不同填法？
（2）能否所有可能正整數
使得
…,
能被分成三組且每組之數的和相同?
（3）如何將上述問題的結果推廣至
個數分別為
…,
?
2.
（1）如何在
這2005個數前面加上“＋”或“－”號，使其和為最小的非負整數？
（2）如何在
這2005個數前面加上“＋”或“－”號，使其和為最小的非負整數？
3.
（1）已知有128個數分別為
…,
.今將這些數分為四組,使每組皆有32個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?
（2）已知有81個數分別為
…,
今將這些數分為三組,使每組皆有27個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?
【註】:
問題3若改為下列問題時,可形成專題研究（科展）題材:
4.已知有
個數分別為
…,
.今將這.些數分為
組,其中
為
之因數,使每組皆有
個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法？
三、河內塔（HanoiTower）
「數學歸納法」及「遞迴關係式」教學所使用的教具
1.已知一河內塔上有3根小木條，最左一根木條排列著
n個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列;若規定一次只能移動一個圓盤且小的圓盤必須在大的圓盤的上面,試問至少須移動多少次才能將此n個圓盤依原來的排列次序全部移至中間那一根小木條上？
（解）:
設f（n）表示n個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上所需最少次數,則我們得知f
（1）=1,f
（2）=3,且由操作過程中得到f（n）=2f（n-1）+1（遞迴關係式）,故f（n）=2^{n}-1,n=1,2,3,…。
2.承上題，已知一河內塔上有3根小木條,最左一根木條排列著n個大小不同的圓盤,由小而大且由上而下排列，若規定一次只能移動一個圓盤，小的圓盤必須在大的圓盤的上面，且僅能將圓盤移動至旁邊位置（不可跳著移動）的小木條上,試問至少須移動多少次才能將此n
個圓盤依原來的排列次序全部移至中間的小木條上？
（提示:
.）
3.將河內塔上的3根小木條依序排列在一圓周上，
分別標上號碼1,2,3,如果1號一根木條排列著n個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列，且規定一次只能依順時針方向移動一個圓盤，試問至少須移動多少次才能將此n個圓盤依原來的排列次序全部移至3號小木條上?
2號小木條上?
4.已知一河內塔上有n根小木條，最左一根木條排列著n個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列，若規定一次只能移動一個圓盤，試問至少須移動多少次才能將此n個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上？
5.試分別討論上述問題中n個大小不同的圓盤改成
「n個大小一樣但塗上兩種、三種等不同顏色的圓盤」。
6.河內塔與九連環之相關性。
（九連環之遞迴關係式為
）
四、整數三角形（IntegerTriangle）
預備知識:
三角函數及其性質、正弦定理、餘弦定理、面積公式、海龍公式。
『定義』:
凡是三邊長都是正整數的三角形稱為「整數三角形」。
海龍公式（Heronformular）
Alexandria城的數學家Heron（或稱為Hero,西元10-75）,他專長於幾何及力學,於西元60年時發表海龍公式。
1.設三角形的三邊長分別為a,b,c,試導出海龍公式。
2.設四邊形內接於一圓,若其四邊長分別為a,b,c,d,試求此四邊形的面積。
（Brahmagupta公式）
3.設四邊形ABCD的四邊長分別為a,b,c,d,試求此四邊形的面積。
4.已知三角形的三邊長分別為10,17,21,試求其三高長。
5.設a,b,c為一個三角形的三邊長,且s=（a+b+c）/2.試問滿條件s（s-c）=（s-a）（s-b）的三角形是何種三角形?
海龍三角形（HeronTriangle）
『定義』:
凡是面積仍是正整數的整數三角形稱為「海龍三角形」。
例如:
三角形的三邊長分別為3,4,5是海龍三角形。
1.已知海龍三角形的兩邊長分別為9,10,試求其第三邊長。
2.設a,b,c為一直角三角形的三邊長,其中c為斜邊長,已知a,b,c皆為正整數,且其和等於1000,試求所有可能$（a,b,c）的值。
3.已知一直角整數三角形的三邊長為兩兩互質,若其面積值為630,且周長為126,試求此三角形的三邊長。
4.設a,b,c為一直角三角形的三邊長,其中c為斜邊長,已知$a,b,c皆為正整數,且其和等於1000,試求所有（a,b,c）的值。
5.如果三角形的三邊長分別為3,4,5,則面積為6,我們發現此三角形的三邊長與面積恰好是連續整數。
試求滿足這種條件的所有海龍三角形。
6.試求周長是12的所有海龍三角形。
7.試求周長一定但至少有兩種不同的海龍三角形之最小周長。
8.試求周長是100單位的五個不同的海龍三角形。
9.試求周長是84的所有海龍三角形。
10.能否找出所有的海龍三角形?
尤拉三角形（EulerianTriangle）
『定義』:
凡是三中線長都是正整數的整數三角形稱為『尤拉三角形』。
例如:
三角形的三邊長分別為136,170,174時,其三中線長為158,127,131。
1.設三角形的三邊長分別為a,b,c,若三中線長為x,y,z,試以a,b,c表示x,y,z.
2.能否找出所有的尤拉三角形?
《思考題》:
1.試找出所有的整數直角三角形使其面積數值等於周長數值。
2.試找出所有的整數三角形使其面積數值等於周長數值。
3.試找出所有的整數三角形使其周長數值是面積數值兩倍（或其它倍數）。
4.試找出四邊之長都是整數且其面積數值等於周長數值的所有矩形。
5.試找出四邊之長都是整數,其周長數值是面積數值兩倍（或其它倍數）的所有矩形。
整數多邊形及海龍三角形
一整數三角形的面積是整數值則稱之為『海龍三角形』。
1.試找出三邊之長都是整數，其面積數值等於周長數值的所有直角三角形。
2.試找出三邊之長都是整數，其面積數值等於周長數值的所有三角形。
3.試找出三邊之長都是整數，其周長數值是面積數值兩倍（或其它倍數）的所有三角形。
4.試找出四邊之長都是整數，其面積數值等於周長數值的所有矩形。
5.試找出四邊之長都是整數，其周長數值是面積數值兩倍（或其它倍數）的所有矩形。
6.上述結論是否可推廣至多邊形？
7.試找出三邊長為連續整數的所有的海龍三角形。
五、從一題幾何作圖題談起
例題1.是否存在一個凸1990邊形，具有下列二個性質:
（1）所有內角的度數都相等；
（2）1990條邊的邊長分別為
的一個排列。
資料來源:
中學數學競賽導引（1993）。
上海教育出版社。
p644~649
【提示】:
1.先從邊數較少的偶數邊形開始，是否可能存在凸四邊形且滿足性質
（1）及邊長是1,2,3,4的一個排列？
2.必可存在凸六邊形滿足性質
（1）及邊長是1,2,3,…,6的一個排列如右圖所示。
（為什麼？
）
【證明】略。
請參閱中學數學競賽導引（1993）。
上海教育出版社。
p645
由上題的解法可做如下的推廣:
【推廣】對任意正整數
，必存在同時滿足下列兩個條件的凸
邊形:
（1）所有內角的度數都相等；
〈2〉
條邊的邊長分別為
的一個排列。
【提示】:
可以用下列方法安排各邊的長度:
將各邊依序編號，再將奇數號碼的邊長依序取為
其餘各邊之邊長取其對應邊邊長再加上
，如圖為六邊形及十邊形之構圖。
【證明】略。
例題2.是否存在一個凸1990邊形，具有下列二個性質:
（1）所有內角的度數都相等；
（2）1990條邊的邊長分別為
的一個排列。
（1990年第31屆IMO試題，荷蘭提供）
【證明】略。
請參閱資料:
中學數學競賽導引（1993）。
上海教育出版社。
p647~648
【註】：
因為1990=2×5×199,且5和199都是互質的奇數，可做如下的推廣：
【推廣】對於任意二個互質的奇數
和
，必存在同時滿足下列兩個條件的凸
邊形:
（1）所有內角的度數都相等；
〈2〉將其各邊依序邊號，奇數號碼的邊長分別為
的一個排列，偶數號碼的邊長分別為
的一個排列。
【註】：
滿足以上條件
的最小值為30。
【習題】：
邊長都是有理數且滿足內角都相等的八邊形是中心對稱的。
【證明】略。
請參閱資料:
中學數學競賽導引（1993）。
上海教育出版社。
p660～661
六、數學命題的推廣
1.正三角形ABC一邊的中點到其它兩邊距離之和必為定值。
2.承上題，「一邊的中點」改為「一邊上任意一點」。
3.承上題，「一邊的中點」改為「正三角形內任意一點」。
4.承上題，「正三角形」改為「等腰三角形」；另外，「底邊的中點」改為「底邊上任一點」或「等腰三角形內任一點」。
5.承上題，「正三角形」改為「正多邊形」；另外，「一邊的中點」改為「一邊上任一點」或「正多邊形內任一點」。
6.承上題，「正三角形」改為「邊長相等的凸多邊形」；另外，「一邊的中點」改為「一邊上任一點」或「凸多邊形內任一點」。
7.承上題，「正三角形」改為「內角相等的凸多邊形」；另外，「一邊的中點」改為「一邊上任一點」或「凸多邊形內任一點」。
8.試問如何繼續推廣上題？
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