高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心.docx
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高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心
2012年高中数学竞赛讲座第五讲三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.一、外心.
三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M;引PN∥BA交
AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证:
P′点在△ABC外接圆上.（杭州大学《中学数学竞赛习题》
分析:
由已知可得MP′=MP=MB,NP′=NP
=NC,故点M是△P′BP的外心,点
N是△P′PC的外心.有
∠BP′P=21∠BMP=21∠BAC,∠PP′C=21∠PNC=2
1
∠BAC.
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而,P′点与A,B,C共圆、即P′在△ABC外接圆上.由于P′P平分∠BP′C,显然还有P′B:
P′C=BP:
PC.
例2.在△ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以△APS,△BQP,
△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.（B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》
分析:
设O1,O2,O3是△APS,△BQP,
△CSQ的外心,作出六边形O1PO2QO3S后再由外
心性质可知∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B,∠SO3Q=2∠C.
∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+
∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可
得△O1O2O3≌△O1KO3.
∴∠O2O1O3=∠KO1O3=2
1
∠O2O1K
=21
（∠O2O1S+∠SO1K
=2
1
（∠O2O1S+∠PO1O2
ABCPPM
N'ABCQ
KPOOO....S123
=
2
1
∠PO1S=∠A;同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:
1及中线长度公式,便于解题.
例3.AD,BE,CF是△ABC的三条中线,P是任意一点.证明:
在△PAD,△
PBE,△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.（第26届莫斯科数学奥林匹克
分析:
设G为△ABC重心,直线PG与AB
BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线,垂足为A′,C′,D′,E′,F′.易证AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′,
∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍,有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成
的新三角形相似.其逆亦真.
分析:
将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△′.G
为重心,连DE到H,使EH=DE,连HC,HF,则△′就是△HCF.（1a2,b2,c2成等差数列⇒△∽△′.若△ABC为正三角形,易证△∽△′.不妨设a≥b≥c,有
CF=2222221
cba-+,BE=2222221
ba
c-+,AD=222222
1
ac
b-+.将a2+
c2=2b2,分别代入以上三式,得
CF=
a23,BE=
b23,AD=
c2
3.∴CF:
BE:
AD=
a23:
b23:
c2
3
=a:
b:
c.
故有△∽△′.
（2△∽△′⇒a2,b2,c2成等差数列.当△中a≥b≥c时,△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′,
A
A'FF'G
EE'
D'C'PCBD
∴
∆
∆SS'=（aCF2
.
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
4
3
”,有∆∆SS'=4
3
.∴22a
CF=43
⇒3a2=4CF2=2a2+b2-c2
⇒a2+c2=2b2.
三、垂心
三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.
例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为
△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求证:
H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.（1992,全国高中联赛分析:
连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径
为R.由△A2A3A4知
1
321
2sinHAAHA∠=2R⇒A2H1=2Rcos∠A3A2A4;
由△A1A3A4得
A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2,于是,A2H1A1H2
故得H1H2A2A1
.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点
成中心对称.同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.
故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.
例6.H为△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆
心的⊙H交直线EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,C2.求证:
AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.（1989,加拿大数学奥林匹克训练题分析:
只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a,CA=b,AB=c,△ABC外
接圆半径为R,⊙H的半径为r.连HA1,AH交EF于M.A21A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2
∥
=∥=.
O
AAAA1
2
34
HH
1
2
HHH
MABB
AA
B
CC
CF
1
2111
222
DE
=r2+（AM2-MH2,①
又AM2-HM2=（21AH12-（AH-2
1
AH12
=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2
=cosA·bc-AH2
②
而ABHAH
∠sin=2R⇒AH2=4R2cos2A,
A
a
sin=2R⇒a2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2.③由①、②、③有
A21
A=r2
+bc
ac
b22
22-+·bc-（4R2-a2
=
2
1（a2+b2+c2
-4R2+r2.同理,21BB=21
（a2+b2+c2-4R2+r2,
21CC=2
1
（a2+b2+c2-4R2+r2.
故有AA1=BB1=CC1.四、内心
三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:
设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A′I=A′B=A′C.换言之,点A′必是△IBC之外心（内心的等量关系之逆同样有用.
例7.ABCD为圆内接凸四边形,取
△DAB,△ABC,△BCD,△CDA的内心O1,O2,O3,O4.求证:
O1O2O3O4为矩形.
（1986,中国数学奥林匹克集训题
证明见《中等数学》1992;4
例8.已知⊙O内接△ABC,⊙Q切AB,AC于E,F且与⊙O内切.试证:
EF
中点P是△ABC之内心.
（B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》
分析:
在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增
加了条件AB=AC.当AB≠AC,怎样证明呢?
如图,显然EF中点P、圆心Q,BC中点K都在∠BAC平分线上.易知
AQ=αsinr.
∵QK·AQ=MQ·QN,
∴QK=AQ
QN
MQ⋅
ABCDOOO234O
1
AααM
B
C
K
N
E
RO
Q
Fr
P
=
α
sin/2（rr
rR⋅-=2（sinrR-⋅α.
由Rt△EPQ知PQ=r⋅αsin.
∴PK=PQ+QK=r⋅αsin+2（sinrR-⋅α=R2sin⋅α.∴PK=BK.α
利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心.五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9.在直角三角形中,求证:
r+ra+rb+rc=2p.
式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,
p表示半周.
（杭州大学《中学数学竞赛习题》
分析:
设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:
p（p-c=（p-a（p-b.
∵p（p-c=21（a+b+c·21
（a+b-c=41[（a+b2-c2]
=21
ab;（p-a（p-b=21（-a+b+c·21
（a-b+c
=41[c2-（a-b2]=2
1
ab.
∴p（p-c=（p-a（p-b.①观察图形,可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.
而r=2
1
（a+b-c
=p-c.∴r+ra+rb+rc
=（p-c+（p-b+（p-a+p=4p-（a+b+c=2p.由①及图形易证.
例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△
ABC内切圆的半径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆
半径.证明:
11qr·22qr=q
r.K
rrrrOOO2
1
3AO
ECBabc
（IMO-12分析：
对任意△A′B′C′，由正弦定理可知A'OD=OA′·sin2B'sinA'2=A′B′··sinsin∠A'O'B'2A'B'sin⋅sin22，=A′B′·A'+B'sin2A'B'coscos22.O′E=A′B′·A'+B'sin2ODA'B'∴=tgtg.O'E22亦即有C'OA'..EO'D.B'r1rA∠CMA∠CNBBtgtg·2=tgtgq1q22222=tgABrtg=.22q六、众心共圆这有两种情况：
（1同一点却是不同三角形的不同的心；（2同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，=BC，=DE，=FA.试证：
AD，ABCDEF（1BE，CF三条对角线交于一点；（2AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.（1991，国家教委数学试验班招生试题分析：
连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由△BDF，易证BP，，是它的三条高，是它的垂心，DQFSI利用不..等式有：
ErdosABI+DI+FI≥2·（IP+IQ+IS.F不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.BQ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.IPE∴AB+BC+CD+DE+EF+FAS=2（BI+DI+FIC≥（IA+IE+IC+（BI+DI+FID=AD+BE+CF.第6页共8页
I就是一点两心.例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.（加拿大数学奥林匹克训练题A分析：
设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:
EF=2:
1.设EFDCD交AM于G，G必为△ABC重心.G连GE，MF，MF交DC于K.易证：
OK111BCDG:
GK=DC:
（−DC=2:
1.323∴DG:
GK=DE:
EF⇒GE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF⇒OD丄GE.但OG丄DE⇒G又是△ODE之垂心.易证OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：
OI丄DE，OI=DE.（1988，中国数学奥林匹克集训题分析：
辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.DAC30°利用内心张角公式，有OKI1FE∠AIB=90°+∠C=105°，2B∴∠DIE=360°-105°×3=45°.1∵∠AKB=30°+∠DAO21=30°+（∠BAC-∠BAO21=30°+（∠BAC-60°21=∠BAC=∠BAI=∠BEI.2∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距A离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.H3求证：
1·d垂+2·d外=3·d重.G3O2O3G2分析：
这里用三角法.设△ABC外接圆H2OG半径为1，三个内角记为A，B，IBC.易知d外=OO1+OO2+OO3CO1G1H1第7页共8页
=cosA+cosB+cosC，①∴2d外=2（cosA+cosB+cosC.∵AH1=sinB·AB=sinB·（2sinC=2sinB·sinC，同样可得BH2·CH3.∴3d重=△ABC三条高的和=2·（sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB②BH∴=2，sin∠BCH∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3③=2（cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB欲证结论，观察①、②、③，须证（cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB+（cosA+cosC=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.cosB+练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.（1982，澳大利亚数学奥林匹克2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.（1989，捷克数学奥林匹克3.I为△ABC的内心.取△IBC，ICA，IAB的外心O1，2，3.求证：
O1O2O3△△OO△与△ABC有公共的外心.（1988，美国数学奥林匹克4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.（IMO-716.△ABC的边BC=（AB+AC，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.2试证：
过A，M，N三点的圆与直线GI相切.（第27届莫斯科数学奥林匹克7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：
H1，H2，H3，求作△ABC.（第7届莫斯科数学奥林匹克8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：
△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：
（1△AEF与△ABC有公共的内心；（2△AEF与△ABC有一个旁心重合.第8页共8页
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