04183概率论与数理统计经管类.docx

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04183概率论与数理统计经管类

04183概率论与数理统计（经管类）

1.若E（XY）=E（X）E（Y）,则必：

d（X+Y）=D（X）+D（Y）

2.一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是

次品的概率为0.1。

3.设随机变量X的分布函数为F（x），下列结论错误的是：

F（X）连续

kknk

4.当X服从参数为n,p的二项分布时，P（X=k）=nPq

5.设X服从正态分布N（2,4），y

服从参数为12的指数分布，且X与丫相互独立，则

D（2XY

3）

20

Xn独立同分布，且EX1

及DX

2

都存在，则当n充分大时，用中心极限定理得

n

PXi

i1

aa为常数

的近似值为

7.

设二维随机变量（X,丫）的联合分布函数为

F（x,y），其联合分布律为

0

1

2

-1

0.20

0.1

0

0

0.4

0

1

0.1

0

0.2

8.

F（0,1）_

0.6。

设X「X2,,Xk是来自正态总体N©1）的样本，则统计量X

X；

X22

Xk服从（分布）

分布

9•设两个相互独立的随机变量

X与丫分别服从N（0-1）和Ng），则：

P（X

Y1）12

2为未知，通过样本x1,x2Xn检验H0:

0时，需要用统计量:

12•设A、B表示三个事件，则

AB表示

B都不发生;

13.设随机变量X的概率密度为

f（x）

x

ce5

0,

x0;

X°,则常数c等于（0.2）

f（x）

14•设随机变量X的概率密度为

ax3,0x1

0,其他，则常数a=（4

15.设P（A）1/2，P（B）1/3，P（BA）06，则P（AB）1/12

16.随机变量F~F（n1,n2）,则F~（F（n2,n1））18•设X~N0,2,Y~N0,1,且X与丫相互独立，则随机变量ZXY~N（0,3）

19.抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为23,将此硬币连抛4次,则恰好3次正面朝上的概率是：

881

20.设A,B,C为三事件，则（AC）B（AC）B

21.已知P（A）=0.7,P（B）=0.6,P（Ab）°.3，则P（AB）0.1。

X

22.设随机变量X服从正态分布N（卩，8,2则随b的增大，概率P（保持不变）。

23.对正态总体的数学期望卩进行假设检验，如果在0.05的显著水平下拒绝H0:

卩=g0,那么在0.01的显著水平下，（必拒绝H0）。

24.设F（X）和f（X）分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（F（）°）

25.设X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P（XEX2）0.5。

26.设二维随机变量（X,丫）的联合分布律为

0

1

2

-1

0.20

0.1

0

0

0.4

0

1

0.1

0

0.2

则P（X丫1）=0.8。

1fX（上）

27.已知随机变量X的概率密度为fx（X），令丫=-2X，则丫的概率密度fY（y）为：

22

28.设随机变量X服从参数为的指数分布，且E（X1）=3，贝u=0.5。

29.设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F（x,y），贝UF（x,+®）=Fx（x）

30.设A与E互为对立事件，且P（A）>0,P（B）>0,则下列各式中正确的是（P（AB）0.5）

31.设随机变量X的分布函数是F（x），下列结论中不一定成立的是：

F（x）为连续函数

32.设随机变量X〜U（2,4）,则P（3

f（x）

33.设随机变量X的概率密度为

2x,

0,

0x1

其它，则P（2X3）=1。

34.设X〜N（-1,2）,Y~N（1,3）,且X与Y相互独立，则X+Y〜N（0,5）

丄

35.设随机变量X〜B（36,6），则D（X）=（5）。

二、填空题

1.100件产品，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一个产品，则第二次取到次品的概率是0.1

3

e

3.已知随机变量X服从参数为的泊松分布，则P（X3）=3!

4•设随机变量

X〜N（0,1）,丫〜N（0,1），且X与Y相互独立，则X2+Y2〜

5•设总体X

服从正态分布N

X-X2,,Xn来自总体

X的样本,

X为样本均值，则

D（X）=n

6.

设随机变量

X的分布律为

X

-1

0

1

P

0.25

0.5

0.25

7.

8.

P（2X1

设随机变量

2）=1

X服从参数为的泊松分布，且E[（X1）（X2）]1，则

设F1X与

F2X分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使FX

a%x

bF2X是某一随

机变量的分布函数，则a,b满足a-b=1。

（X1）2

9.设X〜N（1,4），贝U4

2

（1）。

10.设X^X2，,Xn来自正态总体N

的样本，则

X

n服从N（0,1）。

11.已知P（A）=P（B）=13，（）

则P（AB）

7/18

12.抛硬币5次，记其中正面向上的次数为

X，则

P（X<4）=

5/32

13.设D（X）=1,D（Y）=4,相关系数Xy=0.12,贝UCOV（X,Y）=0.24

14.（X,Y）~f（x,y）=

Ce（Xy）,x0,y0

0,其他，则C=1

15若随机变量

X的方差存在，由切比雪夫不等式可得P（XE（X）1）

D（X）

16总体X~N（

X1,X2Xn为其样本，未知参数卩的矩估计为

17.设随机变量

f（X）

X的概率密度为

2x,

0,

X1

其它，以丫表示对X的三次独立重复观察中事

件{X12}

出现的次数，贝UEY=3/4

18.样本来自正态总体N（g，a2）,当b2未知时，要检验H0:

卩=卩0,采用的统计量是

X

S_n

19•在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是

0.7,且这两门课是否及格相互独立。

现从该班任选一

名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为0.42

f（x）

20•设连续型随机变量X的密度为

x2,0x2

0其它，则P（1X1）1/4

21.设X服从N（2,4），则P（x2）=0.5

22.设X1，X2,L,Xn是来自于总体服从参数为的泊松分布的样本，贝U的一无偏估计为X

19•设随机变量Xi（i1,2）的分布律为

Xi

-1

0

1

Pk

%

%

14

且X1,X2独立，则PX10，X21=1/8

23.设两个相互独立的随机变量X与丫分别服从N（0,1）和N（1,1），则X2Y服从N（2,5）

24.设X为连续型随机变量，

c为常数

，则P（x

c）=

。

25.设随机变量X的分布律为

X

0

1

2

P

0.1

0.4

0.5

记X的分布函数为F（x），则F

（1）=0.5

26.把3个不同的球随机放入

3个不同的盒中，则出现

2个空盒的概率为

1/27

27.设A，B为随机事件，则（AB）AA

28.设A,E为随机事件，且P（A）=0.8P（B）=0.4

P（BA）0.25，则P（AB）

0.5

29.若已知E（X）=2,D（X）=4，则e（2X2）=16

30.设随机变量X〜N（1，9），D（2X3）=36

31.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19

A发生但B不发生的概率与B发生但A不发

生的概率相等，则P（A）=4/9

32x1,x2Xn为总体x的样本，X服从［0,］上的均匀分布，>0是未知参数，记

Xi

ni1，则

的无偏估计是

2x

33若E（X）=g,D（X）=b20,由切比雪夫不等式可估计

P（3X

8/9

34.设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F（x,y）,_则F（x,+®）=

F（x）

35随机变量F~F（n1，n2），则F〜F（n2,n1）

三、计算题

1.设X与Y为相互独立的随机变量，X在［-2,2］上服从均匀分布,的概率密度。

Y服从参数为入=3的指数分布，求：

（X,Y）

2•设连续型随机变量

X的分布函数为

ae

F（x）

x0

x0

求：

（1）求常数a；

求随机变量X的密度函数。

3•设随机变量X

~U（2,5）

，现对X进行三次独立观测，求（

1）P（X

3）;

（2）至少有两次观测值大

于3的概率。

f（x,）

4.设X1,,Xn是来自总体的一样本，求

的矩估计。

x1,0x

0,其它

1

，其中

为未知参数，求

5.已知某电子器材厂生产一种云母带的厚度服从正态分布，其均值=0.13（mm），标准差=0.015（mm）

某日开工后检查10处厚度，算出其平均值x=0.146（mm），若厚度的方差不变，试问该日云母带的厚度的均

值与0.13（mm）有无显著差异（=0.05，Uo.O25^1-96）?

6.10件产品中有4件是次品，从中随机抽取2件，求

（1）两件都是次品的概率，

（2）至少有一件是次品的概率。

7.有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为：

0.3，0.2，0.1，0.4,如果他乘火车、轮

11

船、汽车来的话，迟到的概率分别为0.25，3，12，而乘飞机则不会迟到，求：

（1）他迟到的概率。

（2）已知迟到了，他乘火车来的概率是多少。

0232

8.设随机变量X的分布律为0.30.20.40.1，求丫的分布律，其中，

2

⑴丫（2X）;⑵Zcos（2X）。

9.正常人的脉搏平均次数为72次/分。

今对10名某种疾病患者测量脉搏，平均数为

67.5次/分，样本标准差为6.3386。

设患者的脉搏次数X服从正态分布，试检验患者的脉

搏与正常人的脉搏有无差异。

［注a=0.05，t0.025（9）=2.262］

10.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为

1%和2%

现从A和B的产品中分别占60°0和40°0的

一批产品中随机抽取一件，发现是次品，试求该次品属于A生产的概率

Xx

11.已知随机变量X与Y的相关系数为P,求1=aX+b与2=CY+d的相关系数，其中a，b，c，d均为常数，且a工0，c工0.

f（x,）

12.设,Xn是来自总体X的一样本，求

（1）x,0x1

0,其它，其中为未知参数,

求极大似然估计。

13•从五副不同的手套中任取4只，求其中至少有两只手套配成一副的概率。

14设二维随机变量的分布律为

Y

1

0

0

1

1

3

4

1

1

1

4

6

试求：

（1）.（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布律，

（2）.X与Y是否相互独立，为什么？

f（x）

15.设X的密度函数为

2（1x）,0x1

0,其他，，求Y=X3的期望和方差。

3xy,0

f（x,y）0,y

1,0y1

其他

（1）求边缘概率密度

fx（x）」Y（y）；

（2）求E（X）和D（X）

17•设随机变量X

的密度函数为

f（x）

ax2,0

0,其他

求：

（i）常数a的值;

（2）YX1的密度函数fY（y）

18.设连续型随机变量

的分布函数为

0,x

F（x）-,0

8

1,

0,

x8,

x8,

求

（1）.X的概率密度

f（x）;（2/（XE（X）

D（X））

8

19.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（Q）。

今在生产的一批导线中取样品

9根，测得s=0.007（Q）,

设总体为正态分布。

问在显著性水平=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大。

（0.05（8）15.507,

0.95（8）2.733）。

20.某厂生产的铁丝的折断力服从正态分布，且已知平均折断力为材料，据检验，标准差不会改变，今从新生产的铁丝中随机抽取抽取

570公斤，标准差为

10根，测得折断力的平均值为574.8公

8公斤。

现在改变了原

斤，问新产品的平均折断力是否有显著改变？

（0.05,

0.0251.96）

三、计算题（答案）

16.设（X,Y）的概率密度为

fx（X）

1,1x1,

2,其他

fY（y）

2e2y,y0,

0,其他

因为X与Y相互独立，所以

f（x,y）

fx（y）fY（y）

e2y,1

0,

x1,y0,

其他

2.

解：

1）由

F（

2）

F（x）

因为

x

3.

解：

1）因

x

，故

f（x）F

（x）F（x）

ex,x0

0,x0

f（x）

1

3

其他

2

，故

P（X

5

13dx

3）=3

2）P（至少有两次观测值大于

3）=

323

C；（3）3

3

20

27

EX

xfx

dx

4解：

由

5解：

H°:

0.13;H1:

0.13，取

N（0,1）

0.1460.13

故拒绝域为:

Z196

6.0251.96，而

6解：

（1）用A表示取到两件皆次品，贝UA

c；丄

故P（A）=C1015

1.96

0.015.10

中含有

C3个基本事件。

因此拒绝H°,认为有显著的差异。

（2）用B表示取到的两件中至少有一件是次品,则B=B1+B2,显然B0,B1,B2互不相容，

B（i=0,1,2）表示两件中有i件次品,

c3c7

c2

P（B）=P（B1）+P（B2）=10

Cw

15

7解:

设H1

｛乘火车｝；

H2

｛乘汽车｝；H3

H

｛乘轮船｝;4｛乘飞机｝;

A=｛他迟到｝，

PAH1

PH1

PAH2P

H2

PAH3Ph3

PAH4PH4

1丄2。

色

20

则1）1045310125

2）

PH1A

PH1A

PAH1PH1

P

8.解：

因为X的分布律为

0.3

2

0.2

32

0.40.1

（2）Z

9.X~N

竺竺0.5

320

，故得

X

0

/2

3/2

Y（2X）2

2

0

2

2

4

Zcos（2X）

-1

1

-1

1

P

0.3

0.2

0.4

0.1

2

（2X

cos（2X

（u,b2）

H0:

u=u0

由于总体方差未知，可用

由X=67.5S=6.3386

（X0）

T=S/n=（67.2-72）

t0.025（9）=2.262

Y

0

2

2

4

P

0.2

0.7

0.1

.（5）

的分布律为

.（8）

的分布律为

Z

-1

1

P

0.7

0.3

T统计量。

'10/6.3386=2.394

=2.3947>2.262，T落入拒绝域故否定原假设。

认为患者的脉搏与正常人有显著差异。

10.解:

设Ha｛A生产的次品｝,Hb｛B生产的次品｝,C=｛抽取的一件为次品｝,

PHaC

PCHaPHa

PCHaPHa

0.010.6

PCHbPHb

0.01

0.60.02

0.47

11.COV（X1,X2）=COV（aX+b,cY+d）=acCOV（X,Y）（2分

（1分）

D（X1）=D（aX+b）=a2D（X）

D（X2）=D（cY+d）=c2D（Y）

（1分）

X1X2

COV（X1,X2）

.D（X1）,D（X2）_

acCOV（X,Y）

ac

ac

12解:

因为L（）

n

i1f（x,）

ac|TDX）jDYy=|ac|

n

i1

（1）xi

ac

InL（）（ln

（1）Inx）

故i1

PX0,Y

由于

0）?

P（Y1）竺

144

从而由

lnL（）n（1

i11

?

1

lnxi）0

得

n

n

lnxi

i1；

41111

C5C2C2C2C2

8

13.解:

:

令“没有两只手套配成一副”

这一事件为a，则P（A）=Cw

21

8

13

—

P（A）1P（A）

1-

则

“至少有两只手套配成一副的概率”这一事件为A，

21

21

14.解:

关于X的边缘分布律

X

0

1

p

7

5

12

12

关于Y的边缘分布律

Y

-1

0

P

7

5

12

12

因此X与Y不互相独立

15.

E（Y2）

E（X6）

x6f（x）dx

D（Y）

E（Y2）（E（Y））2

1

28

16.

f（x）dx

17.1）由

1

ax

0

2dx

2）

FyW）

P（Yy）

P（X

3

E（Y）E（X）

12x6

0

1

100

a

3，得

y）

x3f（x）dx

13

o2x（1x）dx

丄

10

（1x）dx—

28

0.036

0.026

P（X

y1）

（y1）2

f（x）dx

0,y

（y1）2

2

3xdx,1y

0,y

（y1）3

1,2y

8Jy2

1,2y

f（y）

f（y）

3^,1

8

0,其他

18.

（1）

P（X

⑵

f（x）

E（X）

H:

19.解：

0'

故拒绝域为:

（n

1）s2

2

20.H0

570

选取统计量

574.8570

得8/*10

1

F'（x）8

0

2

0.005;比：

2（n1）

2

80.007

0.0052

1.8974

即认为平均折断力无显著改变。

x8

其他

2

P（X4）3）

22

0.005取

0.05（8）

15.68

〜N（0,1）

15.507

15.507

带入x

1.8974<1.96

p（10X上）

33

（n1）s2

，因此拒绝

574.8

即u落在接受域内,

話dx-1

㊁86

2（n1）

H0，认为显著地偏大。

8,n10

故接受H0