中考数学题型专项研究第3讲不等式组的解法.docx
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中考数学题型专项研究第3讲不等式组的解法
第3讲不等式（组）的解法
1．确定不等式的解集并把它表示在数轴上．
2．确定不等式组的解集并把它表示在数轴上．
3．确定不等式组的特殊解．
1．去分母时，容易出现漏项或者是两边所乘的不是最简公分母．
2．去括号时，如果括号前是负因数，容易出现部分变号错误．
3．移项时，对“被移动的项”理解错误，导致该变号的不变，不该变号的变了号．
4．化系数为1时，两边同时除以未知数的系数，容易把该系数写到分子上．
5．在不等式两边同时乘上或除以负数时不等号的方向要改变．
6．在数轴上表示解集时，要注意有等号的点用实心点，无等号的点用空心圈．
7．确定不等式组的解集时对公共部分的表示不合理，规律：
大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1、把解集表示在数轴上．
近几年直接考查解不等式（组）题目较少，但不等式（组）是解决实际问题的有效工具，所以能够准确解不等式（组）就显得尤为重要．确定不等式组的解集时，先确定每个不等式的解集，再利用数轴寻找它们的公共部分．
【典例解析】
【例题1】（2017毕节）关于x的一元一次不等式
≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ）
A．14B．7C．﹣2D．2
【考点】C3：
不等式的解集．
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．
【解答】解：
≤﹣2，
m﹣2x≤﹣6，
﹣2x≤﹣m﹣6，
x≥
m+3，
∵关于x的一元一次不等式
≤﹣2的解集为x≥4，
∴
m+3=4，
解得m=2．
故选：
D．
【例题2】关于x的不等式组
的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（ ）
A．3B．2C．1D．
【考点】CC：
一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得最小值．
【解答】解：
，
解①得x≤a，
解②得x＞﹣
a．
则不等式组的解集是﹣
a＜x≤a．
∵不等式至少有5个整数解，则a的范围是a≥2．
a的最小值是2．
故选B．
【例题3】（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据
（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
【考点】B7：
分式方程的应用；C9：
一元一次不等式的应用．
【分析】
（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：
（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，
依题意得：
=
，
解得x=5．
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
答：
梨树苗的单价是5元；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，
依题意得：
（5+2）+5a≤6000，
解得a≥850．
答：
梨树苗至少购买850棵．
【例题4】为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【分析】
（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；
（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
【解答】解：
（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得
，
解得
，
答：
改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得：
，
解得
，
∴3≤a≤5，
∵x取整数，
∴x=3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：
改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：
改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：
改扩建A类学校5所，B类学校5所．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
【专项训练】
一、选择题：
1.（2017湖南株洲）
已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A．a＞bB．a+2＞b+2C．﹣a＜﹣bD．2a＞3b
【考点】C2：
不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
【解答】解：
由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
2.（2017浙江湖州）一元一次不等式组
的解是（ ）
A．x＞﹣1B．x≤2C．﹣1＜x≤2D．x＞﹣1或x≤2
【考点】CB：
解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．2-1-c-n-j-y
【解答】解：
解不等式2x＞x﹣1，得：
x＞﹣1，
解不等式
x≤1，得：
x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：
C．
3.（2017青海西宁）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】CB：
解一元一次不等式组；C4：
在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式﹣2x+1＜3，得：
x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故选：
B．
4.（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】C4：
在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．
【解答】解：
∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，
∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2．
故选D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
5.（2017齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个B．17个C．33个D．34个
【考点】C9：
一元一次不等式的应用．
【分析】设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：
设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000，
解得：
m≤16
，
∵m为整数，
∴m最大取16，
∴最多可以买16个篮球．
故选：
A．
二、填空题：
6.（2017黑龙江鹤岗）不等式组
的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是 a≤﹣
．
【考点】CB：
解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可确定a的范围．
【解答】解：
解不等式x+1＞0，得：
x＞﹣1，
解不等式a﹣
x＜0，得：
x＞3a，
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
则3a≤﹣1，
∴a≤﹣
，
故答案为：
a≤﹣
．
7.（2017山东聊城）不等式组
的解集是 4＜x≤5 ．
【考点】CB：
解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：
x≤5，
解不等式②得：
x＞4，
∴不等式组的解集为4＜x≤5，
故答案为：
4＜x≤5．
8.（2017黑龙江佳木斯）若关于x的一元一次不等式组
无解，则a的取值范围是 a≥2 ．
【考点】CB：
解一元一次不等式组．
【分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出a的取值范围．
【解答】解：
由x﹣a＞0得，x＞a；由1﹣x＞x﹣1得，x＜2，
∵此不等式组的解集是空集，
∴a≥2．
故答案为：
a≥2．
9.（2017山东烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 x＜8 ．
【考点】C9：
一元一次不等式的应用．
【分析】根据运算程序，列出算式：
3x﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出不等式3x﹣6＜18，通过解该不等式得到x的取值范围．21·世纪*教育网
【解答】解：
依题意得：
3x﹣6＜18，
解得x＜8．
故答案是：
x＜8．
10.（2017湖南株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是
＜x≤6 ．
【考点】C6：
解一元一次不等式．
【分析】根据题意列出不等式组，再求解集即可得到x的取值范围．
【解答】解：
依题意有
，
解得
＜x≤6．
故x的取值范围是
＜x≤6．
故答案为：
＜x≤6．
三、解答题：
1.（2017广西河池）解不等式组：
．
【考点】CB：
解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：
x＞0.5，
解不等式②得：
x＜2，
∴不等式组的解集为0.5＜x＜2．
2.（2017•新疆）解不等式组
．
【考点】CB：
解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①，得：
x≤1，
解不等式②，得：
x＜4，
则不等式组的解集为x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3.（2017广西百色）某校九年级10个班级师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．
（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟，若从20：
00开始，22：
30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
【考点】C9：
一元一次不等式的应用；9A：
二元一次方程组的应用．
【分析】
（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据“两类节目的总数为20个、唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个”列方程组求解可得；
（2）设参与的小品类节目有a个，根据“三类节目的总时间+交接用时＜150”列不等式求解可得．
【解答】解：
（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，
根据题意，得：
，
解得：
，
答：
九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个；
（2）设参与的小品类节目有a个，
根据题意，得：
12×5+8×6+8a+15＜150，
解得：
a＜
，
由于a为整数，
∴a=3，
答：
参与的小品类节目最多能有3个．
4.（2017广西）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【考点】C9：
一元一次不等式的应用；8A：
一元一次方程的应用．
【分析】
（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
【解答】解：
（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x=18，
解得：
x=8，
则10﹣x=2，
答：
甲队胜了8场，则负了2场；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）≥15，
解得：
a≥5，
答：
乙队在初赛阶段至少要胜5场．
5.（2017哈尔滨）威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
【考点】C9：
一元一次不等式的应用；9A：
二元一次方程组的应用．
【分析】
（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；【来源：
21·世纪·教育·网】
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了．
【解答】解：
（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得
，
解得：
答：
A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得
200a+100（34﹣a）≥4000，
解得：
a≥6
答：
威丽商场至少需购进6件A种商品．
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