高中数学题型全面归纳不等式选讲docx.docx
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第三节不等式选讲（选修4-5）
考纲解读
1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.
2.
了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位
.
3.
了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.
4.
会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式
.
命题趋势探究
本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明
为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.
知识点精讲
一、不等式的性质
1.同向合成
（1）a
b,b
c
a
c；
（2）a
b,c
d
a
c
b
d；
（3）a
b
0,c
d
0
ac
bd.
（合成后为必要条件）
2.同解变形
（1）a
b
a
cb
c；
（2）a
b
c
0,ac
bc
c
0,acbc；
（3）ab0
1
1
0
a
b0.
b
a
（变形后为充要条件）
3.作差比较法
abab0,abab0
二、含绝对值的不等式
（1）a
0,|x|a
a
xa；a0,|x|
a
x
a,或xa
（2）|a||b|
a2
b2
（3）|x
a|
|x
b|
c零点分段讨论
三、基本不等式
（1）a2
b2
2ab（当且仅当等号成立条件为
a
b）
（2）a
0,b
0,a
b
2
ab（当且仅当等号成立条件为
ab）；
2
a0,b
0,c
0,ab
c
3abc（当且仅当a
b
c时等号成立）
3
（3）柯西不等式
（a2
b2）（c2
d2）
（ac
bd）2（当且仅当ad
bc时取等号）
①几何意义：
|ab|≤|a||b|
|adbc|
a2
b2
c2
d2
②推广：
（a12
a22
an2）（b12
b22
bn2）
（a1b1
a2b2
anbn）2.当且仅
当向量a=（a1,a2,
an）与向量b=（b1,b2,
bn）共线时等号成立.
四、不等式的证明
（1）作差比较法、作商比较法.
（2）综合法——由因到果.
（3）分析法——执果索因.
（4）数学归纳法.
（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.
（6）反证法.
（7）放缩法.
题型归纳即思路提示
题型
201
含绝对值的不等式
一、解含绝对值的不等式
思路提示
对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：
|f（x）|
g（x）
g（x）
f（x）
g（x）
；
|f（x）|
g（x）
f（x）g（x）或f（x）
g（x）；
|f（x）|
|g（x）|
f2（x）
g2（x）（f（x）g（x））（f（x）g（x））0.
有时去绝对值也可根据|x|2
x2来去绝对值.
例16.14
（2015·山东）解不等式|x－1|－|x－5|<2
的解集．
变式
1
不等式|x
5|
|x
3|
10的解集是（
）
A.[5,7]
B.
[
4,6]
C.（
5]
[7,
）
D.
（
4]
[6,
）
变式2已知函数f（x）|x2||x5|.
（1）证明：
3f（x）3；
（2）求不等式f（x）x28x15的解集
.
二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题
1
例16.15
若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋2a＋2对任意实数x恒成立，则实数
a的取值
范围为________.
1
变式1不等式x＋x≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围.
变式2若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
变式3
（2017·石家庄调研）设函数f（x）＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.
（1）
解不等式f（x）<－1；
（2）
设函数g（x）＝|x＋a|－4，且g（x）≤f（x）在x∈[－2,2]上恒成立，求实数
a的取值范围．
三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题
例16.16（2016·深圳模拟）若关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，求d的取值范围．
变式2
已知a
R，关于x的方程x2
x|a
1||a|0有实根，求a的取值范围.
4
四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围
例16.17（全国卷I卷（理））已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+x│–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
变式1
设函数f（x）
|x
a|
3x，其中a
0.
（1）
当a1
时，求不等式
f（x）
3x2
的解集；
（2）
若不等式
f（x）
0
的解集为
x|x
1，求a的值.
变式2（2017·开封模拟）设函数f（x）＝|x－a|，a<0.
1
（1）证明：
f（x）＋f－x≥2；
（2）若不等式
f（x）＋f（2x）<
1
的解集非空，求
a的取值范围．
2
变式3（2012山东理13）若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k=.
题型202不等式的证明
一、比较法（差值法和比值法）
思路提示
将待比较的两个代数式通过作差或作商，与0与1进行比较，得到大小关系.
例16.18（2014·常州期末）已知x≥1，y≥1，求证：
x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.
变式1（2015·徐州、连云港、宿迁三检）已知a，b，c都是正数，求证：
a2b2b2c2c2a2
abc≥abc.
二、利用函数的单调性证明
思路提示
使用对象：
在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成
的.
解题程序：
（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端为所
作辅助函数f（x）.
（2）求f（x）并验证f（x）在指定区间上的单调性.
（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证.
例16.19
已知0
x1，求证：
xsinx
1x3
.
6
变式1
证明：
当0x
时，
2x
sinxx.
2
三、综合法与分析法
思路提示
字母
A,A1,A2,
An,B分别表示一组不等式，
其中
B为已知不等式，
A为待证不等式
.
若有
A
A1
A2
An
B，综合法是由
B前进式地推导
A，分析法是由
A倒退
式地分析到
B.用分析法时，必须步步可逆
.
1.综合法（由因到果）
111
例16.20
已知a，b，c>0且互不相等，abc＝1.试证明：
a＋b＋c＜a＋b＋c.
变式1已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.
（1）证明：
若a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|；
（2）t·a2＋b2c2＋d2＝a4＋c4＋b4＋d4，求实数t的取值范围．
.
2.分析法（由果索因）
16.21（2017·沈阳模拟）设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：
（1）a
＋b＋c≥
3；
a
b
c
（2）bc＋
ac＋
ab≥
3（
a＋
b＋
c）．
c2＋a2＝a2＋b2＋c2（当且仅当a＝b＝c时等号成立）证得．
2
所以原不等式成立．
abca＋b＋c
（2）bc＋ac＋ab＝abc.
变式1已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
b2－ac<3a.
四、反证法
思路提示
从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结
论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.
例16.22设二次函数f（x）=x2+px+q，求证：
|f
（1）|，|f
（2）|，|f（3）|中至少有一个不小
1
于2.
变式1
已知a,b,
R，
a
3
b
3
2
求证：
ab
2
.
五、放法
思路提示
预证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得
BB1,B1
B2,,BKA或A
A1,A1A2,,AKB，再利用传递性，达到证明目的，
常见的放缩途径有“添舍”放缩、
“分母”放缩和“单调”放缩.
例16.23
（2015·安徽卷）n∈N*，xn是曲y=x2n+2+1在点（1，2）的切与x交
点的横坐.
（1）求数列{xn}的通公式；
x12x32
x22n-1
1
（2）Tn=
，求：
Tn≥4n.
·⋯·
变式1证明：
nn（n1）n1（n2,nN）.
变式2若a，b∈R，求证：
|a＋b|≤
|a|
＋|b|
1
＋|a＋b|
1＋|a|
1＋|b|.
例16.24
b
c
d
a
求证：
1
2（a,b,c,dR）.
abcbcdcdadab
例16.25设a,b,c,mR，且满足am
bm
cm，问m取何值时，以a,b,c为边可构成
三角形，并判断该三角形的形状.
六、三角换元法
思路提示
若x2
y2
1，x2
y2
1等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，
2
但是务必注意换元前后参数的范围变化.
例16.26
（2017
江苏卷）
已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.
变式1
设
x,y
R
，2
2
，求证：
x
y
5
x
y
|
|
.
1
4
12
3
七、构造法
思路提示
一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：
（1）构造辅助函数.
（2）构造辅助数列.
（3）构造几何图形.
例16.27
设x,y
R，b
0，若0a
1
，求证：
bb2
1
.
b
a
1
.
例16.28已知a,b,c为三角形的三边长，求证：
ab
c
.
1a1b
变式1
证明：
|ab||a||b|.
1|ab|1|a|1|b|
变式2
已知x
0且x
1，m
n0，求证：
xm1
xn
xm
例16.29证明：
当x1且x0时，有（1x）n1nx（n
1c
1
xn.
N）.
例16.30设a,b,cR，求证：
a2b2b2c2a2c22（abc）.
变式1设x,yR，求证：
x23x3y23y3x23xyy26.
八、利用柯西不等式证明不等式
思路提示
柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，
而且有明显的几何意义，
它
与基本不等式具有密切的关系，
其作用类似于基本不等式可用来求最大
（小）值或证明不等
式，不过它的特点更明显应用更直接.
1.二维形式的柯西不等式
设x1,x2,y1,y2
R，（x12
y12）（x22
y22）
（x1x2
y1y2）2
.等号成立
x1y2x2y1.
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,
an及b1,b2,
bn为任意实数，
则（a1b1
a2b2
anbn）2
（a12
a22
an2）（b12
b22
bn2），
当且仅当
a1
a2
an
（规定ai
0时bi
0，i
1,2,
n）时等号成立.
b1
b2
bn
证法一：
当
ai全为0时，命题显然成立.
n
ai2
0，考查关于x的二次函数f（x）
n
bi）2
，显然f（x）0恒成立.
否则
（aix
i1
i1
n
n
n
n
注意到f（x）
（
ai2）x2
2（
aibi）x
bi2，而f（x）
0恒成立，且ai2
0，
i1
i1
i1
i1
n
n
n
故f（x）的判别式不大于零，即
4（
aibi）2
4ai2
bi2
0，
i1
i1
i1
n
n
n
整理后得
ai2
bi2
（
aibi）2.
i1
i1
i1
证法二：
向量的内积证法.
令a
（a1,a2,
an），b
（b1,b2,
bn），
为a与b的夹角.
因为ab
|a||b|cosa,b
，且|cosa,b|1
，所以|ab||a||b||cosa,b
||a||b|
|ab|2|a|2|b|2，即（a1b1
a2b2
anbn）2
（a12
a22
等号成立
0或180
a,b平行
a1
a2
an.
b1
b2
bn
柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，许多复杂的不等式，下面举例说明.
例16.31已知x，y，z均为实数．
（1）若x＋y＋z＝1，求证：
3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33；
（2）若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．
2
2
2
2
a）（b
b
b），
n
1
2
n
应用它可以简单地证明
变式1已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3
3.求证：
x2
y2
z2
＋
＋
z＋2x＋3y
x＋2y＋3z
y＋2z＋3x
≥
3
2.
变式2
已知a
0,b0,c
0，acos2
bsin2
c.
求证：
acos2
bsin2
c.
例16.32
设实数a,b,c满足a2
2b2
3c2
3
，求证：
3a
9b
27c
1.
2
变式1
已知n
N,且n
2，求证：
1
1
1
1
1
1
1
2.
7
2
3
4
2n1
2n
2
变式2
已知正实数a,b,c满足abc
1，求证：
1
1
1
3.
a3（bc）
b3（ca）
c3（ab）
2
最有效训练题61（限时45分钟）
1.
不等式|2x
1|2
3x的解集是（
）
A.
x|x
1
B.
x|
1
x
3
C.
x|x
3
x|x
3
2
2
5
D.
5
5
2.
设a,b,c
（
0），则a
1,b
1,c
1
（
）
b
c
a
A.都不大于
2
B.
都不小于
2
C.
至少有一个不大于2
D.
至少有一个不小于
2
3.
若P
a
a7，Q
a
3
a
4（a
0），则P,Q的大小关系是（
）
A.
PQB.
P
QC.
P
QD.
由a的取值决定
4.
用数学归纳法证明某不等式，左边
1
1
1
1
2n
1
1，“从n
k到
n
k1”应将左边加上（
2
3
4
1
n2
）
A.
1
B.
1
1
C.
1
1
1
k1
2k
D.
2k12k2
12k4
2k2
5.
f（x）
2
x
3
1
x的最大值为（
）
A.
5B.
12
13
C.
13
D.
5
2
13
2
6.若正数a,b满足ab
a
b
3，则①
ab的取值范围是
；②ab的取值范围
是.
7.在实数范围内，不等式|2x1||2x1|6的解集为.
8.
若存在实数x使|x
a
|
|x
1|3成立，则实数
a的取值范围是
.
9.
已知a0,b0,c
0
a
b
c.求证
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