3.（2019·湖南省师范大学附属中学模拟）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：
千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，（5,10]，（10,15]，（15,20]，（20,25]，（25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男
女
总计
网购迷
20
非网购迷
45
总计
100
（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.
附：
K2＝
，n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P（K2≥k0）
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解
（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为（0.01＋0.02＋0.04）×5＝0.35，
后2个小矩形的面积之和为（0.04＋0.03）×5＝0.35，所以中位数位于区间（15,20]内.
设直方图的面积平分线为15＋x，则0.06x＝0.5－0.35＝0.15，得x＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35，
所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.
所以补全的列联表如下：
男
女
总计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
总计
60
40
100
因为K2＝
＝
≈6.593>5.024，查表得P（K2≥5.024）＝0.025，
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为
，
.
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X，Y，
由题意知，X～B
，Y～B
.
所以E（X）＝2×
＝1，E（Y）＝2×
＝
.
因为ξ＝X＋Y，
则E（ξ）＝E（X）＋E（Y）＝
，
所以ξ的期望为
.
4.（2019·齐齐哈尔模拟）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：
（平均每天锻炼的时间单位：
分钟）
平均每天锻炼的时间/分钟
[0,10）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均体育锻炼时间在[40,60）的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；
锻炼不达标
锻炼达标
总计
男
女
20
110
总计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
①求这10人中，男生、女生各有多少人？
②从参加体会交流的10人中，随机选出2人做重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和期望.
参考公式：
K2＝
，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
解
（1）
锻炼不达标
锻炼达标
总计
男
60
30
90
女
90
20
110
总计
150
50
200
由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为k＝
＝
≈6.061>5.024.
所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
（2）①“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3∶2，故用分层抽样方法从中抽出
10人，男生有6人，女生有4人.
②X的可能取值为0,1,2；
P（X＝0）＝
＝
，
P（X＝1）＝
＝
，
P（X＝2）＝
＝
，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴X的期望E（X）＝0×
＋1×
＋2×
＝
.
5.某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年，如图1所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表.其中图2是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.
二级滤芯更换的频数分布表
二级滤芯更换的个数
5
6
频数
60
40
以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；
（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及期望；
（3）记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值.
解
（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯.
设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.
因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4.
所以P（A）＝0.4×0.4×0.4＝0.064.
（2）由柱状图可知
一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4.
由题意，X可能的取值为20,21,22,23,24，并且
P（X＝20）＝0.2×0.2＝0.04，
P（X＝21）＝0.2×0.4×2＝0.16，
P（X＝22）＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32，
P（X＝23）＝0.4×0.4×2＝0.32，
P（X＝24）＝0.4×0.4＝0.16.
所以X的分布列为
X
20
21
22
23
24
P
0.04
0.16
0.32
0.32
0.16
E（X）＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4.
（3）方法一 因为m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
22×80＋200×0.32＋400×0.16＋6×160＝2848；
若m＝23，n＝5，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
23×80＋200×0.16＋5×160＋400×0.4＝2832.
故m，n的值分别为23,5.
方法二 因为m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1（单位：
元），则
Y1
1760
1960
2160
P
0.52
0.32
0.16
E（Y1）＝1760×0.52＋1960×0.32＋2160×0.16＝1888.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2（单位：
元），则
Y2＝6×160＝960，E（Y2）＝1×960＝960.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
E（Y1）＋E（Y2）＝1888＋960＝2848.
若m＝23，n＝5
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1（单位：
元），则
Z1
1840
2040
P
0.84
0.16
E（Z1）＝1840×0.84＋2040×0.16＝1872.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2（单位：
元），则
Z2
800
1200
P
0.6
0.4
E（Z2）＝800×0.6＋1200×0.4＝960，
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
E（Z1）＋E（Z2）＝1872＋960＝2832.
故m，n的值分别为23,5.
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