第6节电势差与电场强度的关系.docx

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第6节电势差与电场强度的关系

第6节　电势差与电场强度的关系

要点一公式U＝Ed的适用范围和电场强度表达式的对比

公式U＝Ed虽然是由匀强电场导出来的，但该结论具有普遍意义，尽管该公式一般只适用于匀强电场的计算，但对其他非匀强电场亦可用于定性判断．下表是电场强度的三个公式对比：

公式区别

物理含义

引入过程

适用

范围

E＝

是电场强度大小的定义式

F∝q，E与F、q无关，反映的是电场的性质

任何电场

E＝k

是真空中点电荷场强的决定式

由E＝

和库仑定律导出

点电荷形

成的电场

E＝

是匀强电场中场强的决定式

由F＝qE和W＝qU导出

匀强电场

要点二公式E＝U/d的理解和如何把公式应用到非匀强电场中

1．公式E＝

反映了匀强电场中电场强度与电势差之间的关系，由公式可知，电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向．

2．公式中d可理解为电场中两等势面之间的距离，由此可得出一个结论：

在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．

3．对于非匀强电场，用公式E＝

可以定性分析某些问题．例如E越大处，等差等势面距离d越小．因此可以断定，等势面越密的地方电场强度也越大．

4．E＝

适用于匀强电场的计算，但对于某些非匀强电场问题，有时也可以进行定性地分析.

1.电场强度、电势和电势差的区别与联系是什么？

描述电场的物

理量及意义

电场强度E

电势φ

电势差UAB

电场的力

的性质

电场的能

的性质

电场中两点间对电荷做功的本领

对电场中的

电荷的描述

静电力F

电势能Ep

静电力做功W

相互关系

F＝qE

Ep＝qφ

W＝qUAB

W＝－ΔEp，U＝Ed

由表中可以看出，电场强度是描述电场的力的性质的物理量，可以理解为已知电场强度，就可以知道任意电荷在该点的受力情况；同理，已知φ时，可得任意电荷在该点的电势能；已知UAB时，可得到在AB间移动任意电荷时静电力所做的功．

2．电场线是直线的电场有哪些常见情况？

（1）点电荷电场（如图1－6－3所示）

图1－6－3

（2）等量异种电荷连线（如图1－6－4所示）

图1－6－4

（3）匀强电场（如图1－6－5所示）

图1－6－5

可见，一条电场线是直线，不一定是匀强电场．

只有在匀强电场中可以直接应用U＝Ed，在非匀强电场中只能对有关问题进行定性分析.

一、匀强电场中电势差与电场强度的关系

【例1】图1－6－6所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离都是2cm，则该电场的场强为________V/m，到A点距离为1.5cm的P点电势为________V.

图1－6－6

答案　

　－2.5

解析　因为电场是匀强电场，所以可用E＝

求解，但必须明确d是指A、B两点在电场线方向上的距离，且各单位必须用国际单位制中的单位．

所以E＝

＝

＝

V/m＝

V/m

UBP＝E

sin60°＝

×0.005×

V＝2.5V

φP＝－2.5V

二、非匀强电场中的电场线

【例2】

（1）如图1－6－7是一非匀强电场，某一电场线上A、B、C三点

＝

，比较UAB和UBC的大小．

图1－6－7

（2）如图1－6－8所示，在同一幅等差等势面图中，为什么等势面越密的地方场强越大？

图1－6－8

答案　

（1）UAB>UBC　

（2）见解析

解析　

（1）由电场线分布可知，AB段的任一点的场强都大于BC段任一点的场强，故AB段场强的平均值E1大于BC段场强的平均值E2，又UAB＝E1·

；UBC＝E2·

，故UAB>UBC.

（2）在同一幅等差等势面图中，我们往往把每个相邻等势面间的电势差取一个定值，如果相邻等势面的间距越小（等势面越密），那么场强E＝U/d就越大.

1.下列公式适用于任何电场的是（　　）

A．W＝qU　　B．U＝Ed　　C．E＝

　　D．E＝k

答案　AC

2．如图1－6－9所示是一个匀强电场的等势面，

图1－6－9

每两个相邻等势面相距2cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是（　　）

A．竖直向下，E＝100V/m

B．水平向左，E＝100V/m

C．水平向左，E＝200V/m

D．水平向右，E＝200V/m

答案　B

解析　电场线和等势面的关系是相互垂直的，所以电场线是水平方向的，又因为电势随着电场线方向逐渐降低，所以电场强度方向水平向左．根据E＝

＝

＝100V/m.

3．如图1－6－10中

图1－6－10

a、b、c是一条电场线上三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定（　　）

A．φa>φb>φcB．Ea>Eb>Ec

C．φa－φb＝φb－φcD．Ea＝Eb＝Ec

答案　A

解析　一条电场线可以判断电势的高低，但是不能判断场强的大小．因为一条电场线无法确定疏密程度．

4．如图1－6－11所示

图1－6－11

的匀强电场中有a、b、c三点，

＝5cm，

＝12cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角．一个电荷量为q＝4×10－8C的正电荷从a移到b，静电力做功为W1＝1.2×10－7J．求：

（1）匀强电场的场强．

（2）电荷从b移到c，静电力做的功．

（3）a、c两点间的电势差．

答案　

（1）60V/m　

（2）1.44×10－7J　（3）6.6V

解析　

（1）设a、b间距离为d，由题设条件有W1＝qUab＝qEd，所以E＝

＝

V/m＝60V/m.

（2）W2＝qE

·cos60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5J＝1.44×10－7J

（3）电荷从a移到c静电力做功：

W＝W1＋W2，又W＝qUac，所以Uac＝

＝

V＝6.6V

题型一利用匀强电场中电场线和等势面的关系求解问题

匀强电场中有a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°.电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为（2－

）V、（2＋

）V和2V．该三角形的外接圆上最低电势、最高电势分别为（　　）

A．（2－

）V、（2＋

）V　　　　　B．0V、4V

C．（2－

）V、（2＋

）VD．0V、

V

思维步步高作出三点位置关系图象．在匀强电场中电场线和等势面的分布情况是什么样的？

直角三角形内各个边之间的数值关系是什么？

如何找出等势线从而找出电场线？

解析　如右图所示，

根据匀强电场的电场线与等势面都是平行等间距排列，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降落，取ab的中点O，即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2V，故Oc为等势面，MN为电场线，方向为MN方向，

，UON∶UOP=2∶

，故UON=2V，N点电势为零，为最低电势点，同理M点电势为4V，为最高电势点．

答案　B

拓展探究如图1所示，

图1

在地面上方有一个匀强电场，在该电场中取点O作为圆心，以R＝10cm为半径，在竖直平面内做一个圆，圆平面平行于匀强电场的电场线，在O点固定一个电荷量为Q＝－5×10－4C的电荷．当把一个质量为m＝3g，电荷量为q＝2×10－10C带电小球放在圆周上的a点时，它恰好能静止不动，那么匀强电场的电场线跟Oa线夹角为________．若将带电小球从a点缓慢移到圆周上最高点b，外力做功W＝________J.

答案　arctan

　9×10－3

解析　分析带电粒子的受力，粒子受到自身的重力，方向竖直向下，圆心处电荷的吸引力和匀强电场的静电力，三个力处于平衡状态，根据三力平衡之间的关系求出相应的角度，在移动电荷的过程中，圆心处电荷对电荷不做功，有静电力做功和重力做功．

确定电场线可以用等势面，根据是电场线和等势面垂直；同样，判断等势面也可以用电场线，理由相同，这是高考在电场知识的考查的主要方向之一.

题型二公式E＝

的理解

匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，

图2

AB的长度为1m，D为AB的中点，如图2所示．已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14V、6V和2V．设场强大小为E，一电荷量为1×10－6C的正电荷从D点移到C点静电力所做的功为W，则（　　）

A．W＝8×10－6J，E>8V/m

B．W＝6×10－6J，E>6V/m

C．W＝8×10－6J，E≤8V/m

D．W＝6×10－6J，E≤6V/m

思维步步高D点电势跟A、B两点间的电势有什么关系？

怎样根据这个关系求出D点的电势？

从D移动到C静电力做功和什么因素有关？

怎样求解静电力做的功？

电场线的方向怎样确定？

AB方向是不是电场线方向？

解析　电场是匀强电场，所以AB中点处D点的电势是AB间电势的中间值，为10V，DC间的电势差为8V，静电力做功W＝qUDC＝8×10－6J；由图及各点电势可知，电场线不平行于AB，根据E＝

，其中d为沿着电场线方向的距离，所以电场强度E>

＝8V/m.

答案　A

拓展探究a、b、c、d是匀强电场中的四个点，

图3

它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在的平面平行．已知a点的电势是20V，b点的电势是24V，d点的电势是4V．如图3所示，由此可知，c点的电势为（　　）

A．4VB．8V

C．12VD．24V

答案　B

解析　匀强电场中，ab之间的电势差等于dc之间的电势差，可知c点电势为8V.

在匀强电场中，电势差和电场强度存在E＝

，但要注意的是d不是两点之间的距离，而是两点所处等势面的距离，或者说是两点沿着电场线方向的距离.

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．匀强电场中各处场强相等，电势也相等

B．等势体各点电势相等，场强也相等

C．沿电场线方向电势一定越来越低

D．电势降低的方向就是电场线的方向

答案　C

2．下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是（　）

A．在相同距离上的两点，电势差大的其场强也必定大

B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落

C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降落必定相等

D．电势降低的方向必定是电场强度的方向

答案　C

3．下图中，A、B、C是匀强电场中的三个点，各点电势φA＝10V、φB＝2V、φC＝6V，A、B、C三点在同一平面上，下列各图中电场强度的方向表示正确的是（　　）

答案　D

4．如图4所示，匀强电场场强E＝100V/m，A、B两点相距10cm，A、B连线与电场线夹角为60°，则UBA之值为（　　）

图4

A．－10V　　　B．10V　　　C．－5V　　　D．－5

V

答案　C

5．如图5所示，

图5

A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20cm，把一个电荷量q＝10－5C的正电荷从A移到B，静电力做功为零；从B移到C，静电力做功为－1.73×10－3J，则该匀强电场的场强大小和方向为（　　）

A．865V/m，垂直AC向左

B．865V/m，垂直AC向右

C．1000V/m，垂直AB斜向上

D．1000V/m，垂直AB斜向下

答案　D

解析　把电荷q从A移到B，静电力不做功，说明A、B两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向应垂直于直线AB，可见，选项A、B不正确．

UBC＝

＝

V＝－173V

B点电势比C点低173V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，场强大小E＝

＝

＝

V/m＝1000V/m

6．如图6所示，

图6

在沿着x轴正方向的匀强电场E中，有一动点A以O点为圆心、以r为半径逆时针转动，θ为OA与x轴正方向之间的夹角，则O、A两点之间的电势差为（　　）

A．UOA＝Er

B．UOA＝Ersinθ

C．UOA＝Ercosθ

D．UOA＝

答案　C

解析　OA之间沿电场线方向的距离是d＝rcosθ，根据U＝Ed＝Ercosθ，选项C正确．

7．如图7所示，

图7

在电场强度E＝2×103V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4cm，MB＝3cm，AB＝5cm，且MA边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9C的正电荷从B移动到M点，再从M点移动到A点，静电力做功为（　　）

A．0.16×10－6JB．0.12×10－6J

C．－0.16×10－6JD．－0.12×10－6J

答案　C

二、计算论述题

8．如图8所示，

图8

MN板间匀强电场E＝2.4×104N/C，方向竖直向上．电场中A、B两点相距10cm，AB连线与电场方向夹角θ＝60°，A点和M板相距2cm.

（1）此时UBA等于多少？

（2）一点电荷Q＝5×10－8C，它在A、B两点电势能之差为多少？

若M板接地，A点电势是多少？

B点电势是多少？

答案　

（1）－1200V　

（2）6×10－5J　－480V　－1680V

解析　

（1）在匀强电场中等势面与电场线垂直，且φA大于φB，所以UBA＝φB－φA为负值．又因为在匀强电场中E＝

，则UAB＝E·dAB.题目中已知AB连线与电场线夹角60°，则AB连线与等势面夹角为30°，dAB＝xAB·sin30°＝

xAB＝5cm＝0.05m，UAB＝2.4×104×0.05V＝1200V，则UBA＝－1200V.

（2）正电荷在电势高处电势能大，电势能差为：

ΔEp＝EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8C×1200V＝6×10－5J．若M板接地，M板电势为0，A点电势比零低，UMA＝φM－φA＝EdMA＝480V，则φA＝－480V，φB＝－480V－1200V＝－1680V.

9.

图9

在一个匀强电场中有A、B、C三点，AB长为5cm，AC长为3cm，BC长为4cm，如图9所示．电场强度方向平行于纸面，电子在静电力作用下由C运动到A，动能减少120eV，质子在静电力作用下由C运动至B，动能增加120eV，求该匀强电场的大小和方向．

答案　5.0×103V/m　场强方向垂直AB的直线斜向上

解析　电子由C运动到A，减少的动能转化为电子的电势能，因电子带负电，则可知C点电势高于A点，两点间电势差为120V．质子由C点移到B点，减少的电势能转化为动能，则C点电势高于B点，两点间电势差亦为120V，由此可知A、B两点位于同一等势面上．

因为该电场为匀强电场，根据电场线与等势面的关系可知，场强方向垂直AB的直线斜向上，如右图所示，场强方向可用CD来表示．由已知条件得

，所以场强大小为

V/m.

10．如图10所示的电场，

图10

等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面的电势已在图中标出．现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动．问：

（1）小球应带何种电荷？

电荷量是多少？

（2）在入射方向上小球最大位移是多少？

（电场足够大）

答案　

（1）正电　

（2）

解析　

（1）作电场线如下图（a）所示，由题意，只有小球受到向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上．如图（b）所示，只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动．所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图（b）知qE＝mg.相邻等势面间的电势差用U表示，所以E＝

，所以q＝

＝

.

（2）由图（b）知

F合=

=

mg（因为qE=mg）

由动能定理

合·

=

所以