全国中考数学压轴题分类解析汇编专题09几何综合问题学生版.docx

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全国中考数学压轴题分类解析汇编专题09几何综合问题学生版

几何综合问题

1.（2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。

当x取何值时，y的值最大？

最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.

2.（2012山西省12分）问题情境：

将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：

小宇同学展示出如下正确的解法：

解：

OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）

反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：

依据2：

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？

请写出你的证明过程．

拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

3.（2012福建厦门10分）已知

ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分

别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．

（1）如图，若PE＝

，EO＝1，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3

－4，求BC的长．

4.（2012甘肃白银10分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，

，延长DB到点F，使

，连接AF．

（1）证明：

△BDE∽△FDA；

（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

5.（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

6.（2012广东肇庆10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P.求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）ABCE=2DPAD．

7.（2012贵州毕节14分）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是

的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。

（1）求证：

EF是⊙O的切线；

（2）若

∠F=

，AE=4，求⊙O的半径和AC的长。

8.（2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点

P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

（2）若PC=

，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

9.（2012江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。

（1）已知∠APB是

上关于点A、B的滑动角。

①若AB为⊙O的直径，则∠APB=

②若⊙O半径为1，AB=

，求∠APB的度数

（2）已知

为

外一点，以

为圆心作一个圆与

相交于A、B两点，∠APB为

上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交

于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

10.（2012四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=

．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．

（1）求证：

；

（2）若PQ=2，试求∠E度数．

11.（2012四川广安9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：

直线CP是⊙O的切线．

（2）若BC=2

，sin∠BCP=

，求点B到AC的距离．

（3）在第

（2）的条件下，求△ACP的周长．

12.（2012四川达州7分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作

⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.

（1）求证：

PC是⊙O的切线.

（2）若AF=1，OA=

，求PC的长.

13.（2012四川德阳14分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.

⑴求证：

AE·FD=AF·EC；

⑵求证：

FC=FB；

⑶若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长.

14.（2012四川资阳9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点

，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．

（1）（3分）BD＝DC吗？

说明理由；

（2）（3分）求∠BOP的度数；

（3）（3分）求证：

CP是⊙O的切线；

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：

“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：

“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

15.（2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：

△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3

表示正方形ABCD的面积S．

16.（2012山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．

（1）求证：

△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；

（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

17.（2012山东聊城10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是

上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．

（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？

请说明理由；

（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

18.（2012山东东营10分）

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：

CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用

（1）的结论证明：

GE＝BE＋GD．

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．

19.（2012广西来宾10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．

20.（2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．

（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；

第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；

第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．

第三步，连接BD．

（2）求证：

AD2=AE•AB；

（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求

的值．

21.（2012广西桂林10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2．

（1）求证：

四边形AO1BO2是菱形；

（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：

CE＝2O2D；

（3）在

（2）的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．

22.（2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。

（1）求证：

∠EAC＝∠CAB；

（2）若CD＝4，AD＝8：

①求O的半径；

②求tan∠BAE的值。

23.（2012内蒙古呼和浩特8分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．

（1）求证：

∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；

（2）若PA=10，sinP=

，求PE的长．