随机过程课后习题.docx
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随机过程课后习题
习题一
1•设随机变量X服从几何分布，即：
P（X二k）二pqk,k=0,1,2,...。
求X的特征函数、EX及DX。
其中0：
：
：
p：
：
：
1,q=1-p是已知参数。
2.
（1）求参数为（p,b）的丨分布的特征函数，其概率密度函数为
p
I亘xpf>0
P（x）—（P）b0,p0
0,x空0
（2）求其期望和方差；
（3）证明对具有相同的参数b的］分布，关于参数p具有可加性。
3.设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）丫二aF（X）b,（a=0,b是常数）；
（2）
Z=lnF（X），并求E（Zk）（k为自然数）。
4.设X1,X2,...,Xn相互独立，具有相同的几何分布，试求
1
6.试证函数f小讦为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布
7.设X「X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N（a卢2），试求n维随机向量
1n
X1,X2,...,Xn的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求X二―aXi的概
niT
率密度函数。
一8.设X、丫相互独立，且
（1）分别具有参数为（m,p）及（n,p）的二项分布；
（2）分别服从参数为（p1,b）,（p2,b）的丨分布。
求X+Y的分布。
9.已知随机向量（X,丫）的概率密度函数为
\1
P（x,y）才
；［1xy（x2-y2）］,-1：
：
x,y:
:
1
4
试求其特征函数。
o其他
10.已知四维随机向量（X1,X2,X3,X4）服从正态分布，均值向量为0,协方差矩阵为B=Lkl）44，求E（X1,X2,X3,X4）。
11.设X1,X2和X3相互独立，且都服从N（0,1），试求随机变量丫!
=X「X2和Y2-X1X3组成的随机向量（Y1,丫2）的特征函数。
12.设X1,X2和X3相互独立，且都服从N（o,；「2），试求:
（1）随机向量（X1,X2,X3）的特征函数；
（2）设3hX^S^X+XsS亍X^X3X,求随机向量（S1,S2,S3）的特征函数；
（3）第=X2-X1和2X3-X2组成的随机向量（丫1,丫2）的特征函数。
13.设（X1,X2,X3）服从三维正太分布N（0,B），其中协方差矩阵为B=（j）33，且二11-屯2。
试求E［（x；-；「2）（x；-；「2）（x；-；「2）］。
14.设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N（0,二2）。
试求Yn=exp（-JXj）的期望。
i=1
22X
15•设X、丫是相互独立同分布的N（0,1）随机变量，讨论UY2和V的
独立性。
16•设X、丫是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论U和V—的独立性。
X+Y
y）。
17•设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数分别如下，试求E（X|Y二
产x
1—y=
（〔）p（x,y）二
—ey,x〉0,y：
>0
y
Q其他
18.设X、丫是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间［0,1］上的均匀分布，丫服从参数为■的指数分布。
求
（1）X与X+Y的联合概率密度函数；
（2）D（X|Y=y）。
习题二
1.设X（i=1,2,3,…）是独立随机变量列，且有相同的两点分布
n
Y（0）=0,Y（n）八Xi,试求:
i=1
（1）随机过程｛Y（n）,n=0,1,2,…｝的一个样本函数；
（2）P[Y
（1）=k]及P[丫
（2）=k]之值；
（3）P[Y（n）=k];
（4）均值函数；
（5）协方差函数。
、.2
2.设X（t）二AocstBint‘，其中a、b是相互独立且有相同的N（0,二）分布
的随机变量，•■是常数，t（」：
，二），试求：
（1）X（t）的一个样本函数；
（2）X（t）的一维概率密度函数；
（3）均值函数和协方差函数。
n
3.设随机过程X（t）=»（Y.cosktZksinkt）,^0。
其中笔匕,…,Yn,
k吕
乙乙，…,Zn是相互独立的随机变量，且Yk,Zk〜N（0,二/）*=1,2，…,n。
（1）求｛X（t）｝的均值函数和相关函数；
（2）证明｛X（t）｝是正太过程。
4.设｛W©t0色是参数▽2的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：
21
（1）X（t）二W（t）,t一0；
（2）X（t）=tW（—）,t0；
（3）X（t）=cAw（c2t）,t_0；（4）X（t）=W（t\_tW（t）,0Et乞1。
5•设到达某商店的顾客组成强度为•的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若｛Y（t）,t_0｝是购买商品的顾客流，证明｛Y（t）,t-0｝是强度为-p的Poisson流。
6•在题5中，进一步设｛Z（t）,t—0｝是不购买商品的顾客流，试证明｛Y（t）,t—0｝与｛Z（t）,t_0｝是强度分别为-p和■（1-p）的相互独立的Poisson流。
7.设｛N1（t）,t—0和｛N2（t）,t_0｝分别是强度为\和2的独立Poisson流。
试证明：
（1）｛N「N2（t）,t-0｝是强度为'2的Poisson流；
（2）在｛NQt-Q的任一到达时间间隔内，｛N2（t）,t-0｝恰有k个时间发生的概率为
k
Pk—*（—）,^0,1,2,...
■■12■■12
8.设｛N（t）,t-0｝是Poisson过程，n和Tn分别是｛N（t）,t-0｝的第n个时间的到达时间和点间距距离。
试证明：
（1）E（n）二nE（Tn）,n=1,2，…；
（2）D（n）二nDg,n=1,2,...<
9•设某电报局接收的电报数N（t）组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：
（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；
（2）下午第一个电报的到达时间的分布。
10•设｛Ndt）,t—0｝和｛N2（t）,t_0｝分别是强度为■!
和、2的独立Poisson过程，令X（t）二N&）-N2（t）,t一0,求｛X（t）,t一0｝的均值函数与相关函数。
11•设｛N（t）,t-C｝是强度为■的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随即变量，且与｛N（t）｝独立，求［0,T］内事件数N的分布律。
习题三
1.证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。
2.设Xn,n=1,2,...，是独立同分布的随机变量序列，均值为卩，方差为1，定
1n
义YnXi。
证明limXn八i。
n心n厂
3.研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。
（1）X（t^AtB，其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、
b，万差为s1、s2;
（2）X（t^At2BtC，其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为s；、s；、s；;
（3）｛N（t）,t_0｝是Poisson过程；
（4）｛W（t）,t_0｝是Wiener过程.
4.试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。
5.求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。
（1）X（t）二cosjtV），其中「是常数，。
服从［0,2n上的均匀分布；
（1）
（2）X（t）=tW；,t0,其中W（t）是参数为1的Wiener过程；
（3）X（t）二W2t,t-0，其中W（t）是参数为s2的Wiener过程。
6.均值函数为mx（t）=5sint、相关函数为Rx（s,t^3e_0.5（t^）的随机过程
输入微分电路，该电路输出随机过程Y（t）=X（t），试求Y（t）的均值函数、相关
函数、X（t）与Y（t）的互相关函数。
7.试求第3题中可积过程的如下积分:
1t1屮
Y（t）t°X（u）du，Z（t）=「tX（u）du
的均值函数和相关函数。
8.设随机过程X（t）二Ve3tcos2t，其中V是均值为5、方差为1的随机变量,
T
试求随机过程Y（t）=.°X（s）ds的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数＜
9.设｛W（t）,t一0｝是参数为s2的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相
关函数。
t
（1）X（t）=（W（s）ds,t工0；
t
（2）X（t）=.0sW（s）ds,t—0；
（3）X（t）二七、[W（s）-W（t）]ds,t—0
10.求一阶线性随机微分方程
X（t）+aX（t）=0,t狂0
〔X（0）=X°
（a0）
的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中X。
是均值为0、
方差为s2的正态随机变量
11.求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数
（1）
Y（t^X（t），L[a，b]（a0）
Y（a）二Y0
其中X（t）是一已知的二阶均方连续过程，£是与X（t）独立的均值为m方差为
s2的随机变量
Y（t）aY（t）=X（t）,t—0
Y（0）=Y。
（a0）
其中X（t）是一已知的均值函数为mx（t）=sint、相关函数为
Rx（s,t）=eV（扎＞0）的二阶均方连续过程。
习题四
1.设随机过程X（t）二Acos（‘t•心），其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为
2
x/X
2exp
（2）,x0,小
P（x）=<Q,xEO
式中0服从区间［0,2二］上的均匀分布，且A、0相互独立，试研究X是否为平稳过程。
2.设X是一平稳过程，且满足X（t^X（tT），称X为周期平稳过程，T为其周期，试证X的相关函数也是以T为周期的周期函数。
3.设X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明Z（t^X（t）Y（t）也是平稳过程。
4.设｛X（t）,：
：
:
:
:
t：
：
：
•是n阶均方可微的平稳过程，证明
｛X（n）（t）,讥—讨是平稳过程，且"（•）=（-1）9丁（.）。
5.设｛X（n）｝是一均值为0的平稳时间序列，证明：
（1）Z（n）=AX（n厂BX（n-m）仍是一平稳时间序列；
QOQO
（2）若数列｛A（n）｝绝对收敛，即a宀，则Z（n）AXnk-）仍
k-k:
是一平稳时间序列；
QO
（3）若｛X（n）｝是一白噪声，试求Z（n）='，A.X（n-k）的相关函数及其谱函
k=0
数。
6.设X（t）是雷达在t时的发射信号，遇目标返回接收机的微弱信号是aX（n-.J,a1，“是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记
噪声为N（t），于是接收机接收到的全信号为：
Y（t）二aX（t-“）N（t），若X、丫是平稳相关的平稳过程，试求RxyC）;进而，若N（t）的均值为0,且与X（t）相互独立，试求Rxy（）。
7.设X（t）s计，其中0是服从区间［0,2-］上的均匀分布的随机变量，试证：
（1）｛Xn，n=0,一1,一2,...｝是一平稳时间序列;
（2）{X（t）,-：
：
:
：
t：
：
：
}不是平稳过程
（3）
Rx（t）=
求相关函数和平均功率。
16•设X、丫是两平稳相关过程，且E[X（t）]=E[Y（t）]=O,RxC）=RyC）,
RXY（J=-RXY（-J，试证Z（t^X（t）cos0tY（t）sin「0t也是平稳过程。
又若
X、Y的谱密度函数存在，使用X、丫的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。
17.设X（t）=cosftQ），其中0为常数，O是特征函数为f（t）的实随机变量，证明X为平稳过程的充要条件为f
（1）=f
（2）。
18.设X为平稳正态过程，E[X（t）]=0,R（）是其相关函数，试证
Y（t）二sgn[X（t）]是一平稳过程，且其标准相关函数为
19.设｛X（t）,讥厂：
｝是一平稳过程，SC）为其谱密度函数，试证：
对任意的h>0,丫（t）=X（t•h）-X（t）是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量），并求丫
的谱函数。
20.设｛X（t）,：
:
：
t是均值为0、相关函数为RxC）的实正太平稳过程，证
明X2（t）也是平稳过程，并求其均值及相关函数。
21.设二阶过程｛x（t）,」：
：
:
：
t「：
｝的均值函数为E[x（t）]，相关函数为
只心心弋一“，其中…>0都是常数。
证明丫（t）=X（tT）-X（t）是一
平稳过程，并求其均值及相关函数
22•设｛Xn,n=0,_1,_2,...｝是白噪声序列，试证明
1
Y（n）=[X（n）X（n-1）...X（n-m1）]
m
是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。
23•设｛X（n）,n刃比2,...｝为均方连续的平稳过称，具有谱密度，试证:
对每个丄0，Xn（un严0,-1是平稳序列，并用S（）表出
{X（n）n=0,-1，的谱密度。
24•设•、是两个互相独立的实随机变量，E=0,D•=1，的分布函数是
F（x），试证明：
Z（t）二ejt为平稳过程，且其谱函数就是F「）。
25•设｛X（t）,-二：
：
：
—：
•：
：
｝是均方可导的平稳过程，S（）是其谱密度，试证
（1）Y（t）=「e」（t3x（s）ds,（：
0,常数）
—oO
（2）Z（t）二「e_：
zsin（t—s）x（s）ds,（：
0,■0均常数）
—跡
均为平稳过程，并求他们的谱密度。
26.设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：
Y（t）X（t）0Y（t）二X（t）
使用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。
27.
已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳的正太过程，通过实验测得Z的功率谱密度为
（1）试证Y也为平稳的，且&（•）=RX（0）2RX（.）；
（2）
利用
（1）的结论分别求X和丫的自相关函数与功率谱密度。
题27图
28•设线性时不变系统的脉冲响应h（t）二U（t）exp（-江），其中1•0为常数,
U（t）为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为
RxG）=exp［—cc”|］,（a>0）的平稳过程。
试求：
（1）系统输入与输出的互相关函数。
（2）输出的功率谱密度和自相关函数。
29•设随机过程X（t）二Acost-Bsint,:
:
:
t<，其中A和B是相互独立的零均值随机变量，且D（A）二D（B）。
试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
30.设随机过程X（t^Acos（t0）^：
：
：
t「：
：
，其中AG、是相互独立的随机变量，且0服从区间［0,2二］上的均匀分布。
试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
31.设随机过程X（t）二Acos（，tV:
:
:
t：
：
：
•:
:
，其中A、「、心是相互独立的随机变量，其中A的均值为2,方差为4,且0服从区间［-二，二］上的均匀分布，••服从区间（-5,5）上的均匀分布。
试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
32.设平稳过程的期望为m,自相关函数为R（），协方差函数为C（.）。
（1）若JC（.）^<-:
:
，试证明X的均值各态历经；
（2）若C（0）£+=o，且当忖T渋时，C（e）t0，试证明X的均值各态历经。
33.设平稳过程X二｛X（t）——：
t一的均值mx=0，相关函数
RxC）二A^H（1|a）,a（，其中A、a是常数。
问X的均值是否具有各态历经性。
习题五
1•设｛Un,n=1,2,...｝是相互独立的随机变量序列，试问下列的｛Xn,n十,…｝是
否是马氏链，并说明理由：
（1）XnUU…5；
（2）Xn讪U2...Un）2。
2.｛Xn,n=1,2,...｝是随机差分方程Xn二In的解，其中'是已知常数,
X。
=0,而｛In,n二1,2,...｝是独立同分布的取可数值的随机变量。
试证明
{Xn,n=1,2,...}是马氏链
3•有两个状态0和1的马氏链｛Xn,n=1,2,...｝，其状态转移概率矩阵为
p00p01
P=
试证：
（1）当|p00'p11-1：
1时，有
p（n）_1
1-p11
1-p00
+（P0°+H-1）n
1-p00
-（1-p00）
1—
2-p00-p11
J-p11
1-p00」
2-p00-p11
1-（1一p11）
1-p11J
nimp00、nm
（2）特别地，当pg二=p,q=1-p时有
（3）试求概率P{X0=1|X^1}
4•有三个黑球和三个白球，把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态：
0,1,2,3。
现每次从甲、乙袋中
各取一球，然后互相交换，即把从甲袋中取出的球放入乙袋，而把从乙袋中取出的球放入甲袋，经过n次交换过程的状态记为Xn。
试问过程是否是马氏链？
如果疋,试计算其一步转移概率矩阵。
5•设一个有三个状态的马氏链，其状态转移概率为
巾qi0”
P=0P2q2
Z30P3丿
其中p「q=1,i=1,2,3。
试求首达概率碣）和f°T）,n=1,2,3。
6.设马氏链的转移概率矩阵分别表示如下：
（1）试对S进行分类，并说明各状态的类型；
（2）求平稳分布，其平稳分布是否唯一？
为什么?
（3）求P（X（n2）=11X（n）=0），P{X（n2）=2|X（n）=0}
7.试讨论齐次马氏链的平稳概率的存在性和唯一性问题，若存在，如何求出其所有的平稳概率？
并举例说明。
8.考虑一个状态为0，1，2,…的马氏链，其状态转移概率为
QOQO
Poi二Pi「Pi=1,'iPi：
=1,i一1
i=0i=0
试证明此马氏链是不可约、非周期、正常返的，并求其平稳概率。
9.假定今天下雨，则明天仍下雨的概率为〉，而如果今天不下雨，则明天下雨
的概率为［，试求下雨的极限概率。
10.考虑一个有平稳概率-：
i的不可约非周期马氏链，设其初始分布为二i,记
Qj=P{x°j|XQ}
则Q可看作为一个马氏链的转移概率矩阵，试证明：
Qi（n）=P{X°=j|Xn=i}
11.设有两个相同部件，工作时的寿命均服从参数为'的指数分布，储备时的寿
命均服从参数为:
的指数分布。
开始时一个部件工作，一个部件储备，当工作部件失效时立即进行修理，修理时间服从参数为J的指数分布；当一个部件在修理时，若另一个也失效，则等待先修理者修理完毕后立即进行修理；当一个失效部
件修理完毕时，若另一个部件正在工作，则做储备，否则立即开始工作。
试求t
时有部件工作的概率。
12•设N（t）是率为'的Poisson过程，Yn是独立同分布取整数值的随机变量序列，
N（t）
X（t）='Yn
n丄
试证：
（1）X（t）是一马氏过程；
（2）求X（t）的数学期望和自相关函数。
13•设有两个串行微处理器（M「M2）和两个缓冲器（B1,B2）组成如题13图所示的系统。
请求到达Mi后依次经过Mi和M2的处理；每个周期有一个请求到达Mi的概率为p,没有请求到的概率为1-p;到达的请求存放在B中的容量分别为N1和N2（包括处理器正在处理的请求）。
请求的到达与在M〔及M2上的处理
时间相互独立。
试建立描述上述系统的马尔可夫链模型，其稳态分布是否存在?
如存在，试求出其稳态分布。
题13图
14•考虑一出租汽车站，其出租汽车到站和顾客到站分别按率为■T和’的独立
泊松分布过程进行（其中心v%）。
一辆出租车来到，不管出租车队伍多长都得等待，而一个顾客来到时仅当等待的顾客数不超过2时他才等待。
假设时间足够长后系统达到平衡状态，试求等待出租车的平均顾客数和一个顾客来到时不需要等待就能坐上出租车的概率。
15•试述离散时间马氏链与连续时间马氏过程间的联系及其相同点和不同点（从
状态分类，极限情况等来讨论）。
16.考虑具有k个通道的电话交换机，如果所有k条线都被占用，则一次呼叫来到时就被丢失了，呼叫电话规律服从比率为'的泊松过程，呼话的长短具有平均值为1*的独立指数分布的随机变量。
试求在系统达到平稳时一次呼叫来到时被丢失的概率。
17.设X（t）为有7个状态的时齐马氏过程，其状态转移强度矩阵Q如下所示,其中的*号表示非零值，试说明各状态的类型和周期。
18•假如在例5.7.1中的两个部件不同型，即它们的寿命分布和修理时间分布都是不相同的，但都是指数分布，试研究此时的系统。
19•设某金工车间有M台车床，由于经常需要测量和调换刀具等原因，各车床总是时而停止，时而工作。
假定在时刻t时，一台车床正在工作，但在时刻r=t
时停止工作的概率为J4：
C：
t）;再假定在时刻t时，一台车窗不工作，而在
时刻t•联时这台车床在工作的概率为■4:
（t）;而且各车床的工作情况是相
互独立的，如果用N（t）表示时刻t正在工作的车床数。
（1）说明N（t）是一齐次马尔可夫过程；
（2）求出它的平稳分布；
（3）特别当M=10^=60/=30时，求出在平稳状态时有一半以上车床
在工作的概率。
20.试证明参数为■（>0）的泊松过程｛N（t）,t—0｝是一个时间t连续状态离散的马尔可夫过程。
21.对M/M/K排队系统，记N（t）表示此系统在t时的队长，要求：
（1）说明N（t）是一个生灭过程，并写出其Q矩阵；
（2）列出柯尔莫哥洛夫微分方程，并研究其平稳分布的存在性和计算问题。
习题六
1.在例6.2.3中，如果假定报酬Yn不是在第n次更新时刻Tn时一次性得到，而是在［Tn4,Tn］中连续地、一点一点地得到的，试证明命题6.2.2中的结论仍成立。
2.试写出现时寿命t的分布函数及其极限。
3.试写出现时寿命t和剩余寿命t的联合分布函数及其极限。
4.试对Poisson过程而言，求出现时寿命和剩余寿命t的联合分布函数和它
们各自的分布函数。
5•试举例说明期望总寿命Et大于期望更新间隔时间EXn。
6•试证明以下结论：
对常返状态i，若在（X,T）中正常返且inf{jk|Pjk•0,jkG}•0，则i在
X中正常返且「：
二，-「G；反过来，若i在X中正常返且
sup{kPIj
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