小升初数学图形专题.docx
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小升初数学图形专题
第二部分空间与图形
量
一长度
（一）什么是长度：
长度是一维空间的度量。
（二）长度常用单位
*千米（km）*米（m）*分米（dm）*厘米（cm）*毫米（mm）
（三）单位之间的换算
1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米
1米＝100厘米1千米＝1000米
二面积
（一）什么是面积
面积，就是物体所占平面的大小。
对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
（二）常用的面积单位
*平方千米*公顷*平方米*平方分米*平方厘米
（三）面积单位的换算
*1平方分米=100平方厘米*1平方米＝100平方分米
*1公顷＝10000平方米*1平方千米＝100公顷
三体积和容积
（一）什么是体积、容积
体积，就是物体所占空间的大小。
容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（二）常用单位
体积单位：
*立方米*立方分米*立方厘米
容积单位：
*升*毫升
（三）单位换算
体积单位：
*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米
*1立方米=1000000立方厘米
容积单位：
*1升=1000毫升*1升=1立方分米
*1毫升=1立方厘米
四质量
（一）什么是质量：
质量，就是表示表示物体有多重。
（二）常用单位
*吨t*千克kg*克g
（三）常用换算
*1吨=1000千克*1千克=1000克*1吨=1000000克
五时间
（一）什么是时间：
是指有起点和终点的一段时间
（二）常用单位
世纪、年、月、日、时、分、秒
（三）单位换算
*1世纪=100年
*1年=365天（平年）*1年=366天（闰年）
*1年=4个季度*1个季度=3个月
*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天
*四、六、九、十一是小月小月小月有30天
*平年2月有28天闰年2月有29天
*1天=24小时*1小时=60分*1分=60秒
六货币
（一）什么是货币
货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。
货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。
（二）常用单位
*元*角*分
（三）单位换算
*1元=10角*1角=10分*1元=100分
平面图形【认识、周长、面积】
1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。
线段、射线都是直线上的一部分。
线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。
2、从一点引出两条射线，就组成了一个角。
角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。
角的大小的计量单位是（°）。
3、角的分类：
小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
4、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。
5、三角形是由三条线段围成的图形。
围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
6、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。
7、三角形的内角和等于180度。
多边形的内角和=180°×（n-2）。
8、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
9、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
10、四边形是由四条边围成的图形。
常见的特殊四边形有：
平行四边形、长方形、正方形、梯形。
11、圆是一种曲线图形。
圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。
通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
12、圆环：
两个半径不等的圆，当圆心重合时，两圆之间的部分叫圆环。
下图一中阴影部分就是一个圆环，我们通常把较大的圆叫外圆，半径用R表示；较小的圆叫内圆，半径用r表示。
13、扇形：
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。
上图二中阴影部分就是一个扇形。
圆上A、B两点之间的部分叫弧，读作“弧AB”；像角AOB这样，顶点在圆心的角叫圆心角。
14、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
15、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
16、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
常用π值
2π=6.28
12π=37.68
3π=9.42
15π=47.1
4π=12.56
16π=50.24
5π=15.70
18π=56.52
6π=18.84
20π=62.8
7π=21.98
25π=78.5
8π=25.12
32π=100.48
9π=28.26
2.25π=7.065
10π=31.4
6.25π=19.625
专题讲解及训练
（一）平面图形
平面图形计算公式
1、正方形（C：
周长S：
面积a：
边长）
周长＝边长×4C=4a
周长÷4＝边长
面积=边长×边长S=a×a
2、长方形（C：
周长S：
面积a：
边长）
周长=（长+宽）×2C=2（a+b）
周长÷2-长＝宽周长÷2-宽＝长
面积=长×宽面积÷长＝宽面积÷宽＝长S=ab
3、三角形（s：
面积a：
底h：
高）
面积=底×高÷2s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高
4、平行四边形（s：
面积a：
底h：
高）
面积=底×高s=ah
面积÷底=高面积÷高=底
5、梯形（s：
面积a：
上底b：
下底h：
高）
面积=（上底+下底）×高÷2s=（a+b）×h÷2×2÷高
面积×2÷高-下底=上底面积×2÷高-上底=下底
6、圆形（S：
面积C：
周长лd=直径r=半径）
（1）周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr
（2）面积=半径×半径×л
长方体
正方体
特征
面
6个面，6个面都是长方形，有时有两个相对的面是正方形。
相对的两个面面积相等
6个面,6个面都是完全相同的正方形, 6个面的面积都相等.
棱
12条棱
相对的棱长度相等
12条棱
12条棱的长度都相等
顶点
8个顶点
8个顶点
表面积
意义
长方体或正方体6个面的面积之和，叫做它们的表面积
计算公式
（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
棱长×棱长×6
S=（ab+ah+bh）×2
S=6a²
单位
平方厘米平方分米平方米相邻单位之间进率是100
棱长和
意义
4条长，4条宽，4条高之和。
12条棱长之和
计算公式
（长＋宽＋高）×4
棱长×12
C=（a＋b＋h）×4
C=a×12a
单位
米、分米、厘米相邻单位之间进率是10
体积
意义
物体所占空间的大小叫做物体的体积
计算公式
长×宽×高
棱长×棱长×棱长
V=abhV=sh
V=a³V=sh
单位
立方厘米（升毫）立方分米（升）立方米
相邻单位之间进率是1000
容积
意义
容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积
计算公式
长×宽×高
棱长×棱长×棱长
V=abhV=sh
V=a³V=sh
单位
升（立方分米）毫升（立方厘米）
相邻单位之间进率是1000
立体图形长方体、正方体
主要内容
圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱圆锥的体积
考点分析
1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。
形成圆柱的面还有一个曲面，叫做圆柱的侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。
4、圆柱的侧面积=底面周长×高
5、圆柱的表面积=侧面积+底面积×2
6、圆柱的体积=底面积×高
典型例题
例1、（圆柱和圆锥的特征）圆柱和圆锥分别有什么特点？
分析与解：
长方体和正方体的六个面都是平面图形（长方形或正方形），而圆柱和圆锥除了底面是平面图形（圆）外，都有一个曲面。
圆柱和圆锥的特征见下表。
S表=2πrh+2πr²V锥=
πr²h＝
Sh
V柱=πr²h
圆柱
圆锥
底面
两个底面完全相同，都是圆形。
一个底面，是圆形。
侧面
曲面，沿高剪开，展开后是长方形。
曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。
高
两个底面之间的距离，有无数条。
顶点到底面圆心的距离，只有一条。
例2、求下面立体图形的底面周长和底面积。
半径3厘米直径10米
例3、判断：
圆柱和圆锥都有无数条高。
分析与解：
圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。
正确解答：
错误
点评：
圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有无数条高。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
顶点和底面圆心都是唯一的点，所以圆锥只有一条高。
例4、（圆柱的侧面积）一个圆柱，底面直径是5厘米，高是12厘米。
求它的侧面积。
分析与解：
高
底面周长
点评：
圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。
推导出侧面积的计算公式也用到了转化的思想。
把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面积就是这个圆柱的侧面积。
例5、（圆柱的表面积）
做一个圆柱形油桶，底面直径是0.6米，高是1米，至少需要多少平方米铁皮？
（得数保留整数）
分析与解：
求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的和。
点评：
这里不能用四舍五入法取近似值。
因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多一些。
因此这儿保留整数，十分位上虽然是4，但也要向个位进1。
例6、（辨析）一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是30厘米，高是50厘米。
做这样一个水桶，至少需用铁皮6123平方厘米。
分析与解：
题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶，只有一个底面。
在计算铁皮面积时只要用圆柱的侧面积加上一个底面的面积。
例7、（考点透视）一个圆柱的侧面积展开是一个边长15.7厘米的正方形。
这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
分析与解：
圆柱的侧面积展开是一个正方形，即圆柱的高和底面周长都是15.7厘米。
根据圆柱的底面周长可以算出底面积。
例8、（考点透视）一个圆柱形的游泳池，底面直径是10米，高是4米。
在它的四周和底部涂水泥，每千克水泥可涂5平方米，共需多少千克水泥？
这个游泳池可以装水多少立方米？
分析与解：
要求水泥的质量，先要求水泥的面积。
在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥，涂水泥的面积是一个底面积加上侧面积。
装水多少是求游泳池的体积。
解答：
侧面积：
底面积：
涂水泥的面积：
水泥的质量：
体积：
例9、把一个体积是18立方厘米的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是（ ）立方厘米。
例10、（考点透视）把一个底面半径是2分米，长是9分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？
点评：
这是一道在实际生活中应用的题目，对于这一类题目，它的规律就是每切一次就增加两个面。
但切的方式不同，增加的面也不同。
如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分，增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。
专题讲解及训练
（二）
主要内容
比例尺、确定位置
考点分析
1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2、比例尺=
，比例尺有两种形式：
数值比例尺和线段比例尺。
3、把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（
）后，放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n²:
1（或1:
n²）。
4、知道了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。
5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。
画的时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。
6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。
典型例题：
例1、（认识比例尺）
王伯伯家有一块长方形的菜地，长40米，宽30米。
把这块菜地按一定的比例缩小，画在平面图上长4厘米，宽3厘米。
你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗？
点评：
求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。
做的时候唯一要注意的就是末尾0的问题：
一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上2、5个0；二是在求比例尺的结果时要注意0的个数。
例2、（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）
比例尺1:
1000表示图上距离是实际距离的几分之几？
实际距离是图上距离的多少倍？
图上1厘米表示实际距离多少米？
例3、一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是多少？
点评：
比例尺通常情况下都应该写成前项是1的比。
但比例尺的作用除了把实际距离缩小，还可以把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成1。
在解答时，只要坚持好“图上距离:
实际距离=比例尺”，图上距离在前就可以了。
例4、（根据比例尺求图上距离或实际距离）
在比例尺是
的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.5厘米。
两地的实际距离是多少米？
例5、（平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍）
下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。
说说大长方形与小长方形面积的比是几比几。
图形与位置:
1、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、后来描述具体位置。
2、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东……来描述方向。
再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。
3、用数对来确定位置，主要用来确定平面图上物体的位置。
例6、（认识北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向）
如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？
N
商场北
45º
60º书店
0369千米
汽车
例7、（知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置）
量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东60º方向的多少千米处？
商场呢？
点评：
只有在方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。
确定方向时，一定要先确定好南或北，再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。
算实际距离就根据前面比例尺的相关知识去求。
例8辨析）书店在汽车的北偏东60º方向，表示汽车也在书店的北偏东60º方向。
例9、（根据给定的方向和距离，有序地确定物体的具体位置）
海面上有一座灯塔，灯塔北偏西30º方向30千米处是凤凰岛
N
北
W西东E
灯塔
0102030千米
南
S
你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？
点评：
在表示凤凰岛的具体位置时，先要画出表示方向的射线，再确定灯塔到凤凰岛的图上距离。
且在画表示方向的射线时，应从表示灯塔的点开始画起，并注意正确摆好量角器。
例10、（用方向和距离描述简单的行走路线）
下图是某市旅游1号车行驶的线路图，请根据线路图填空。
（1）旅游1号车从起点站出发，向（）行驶到达青水公园，再向（）偏（）（）的方向行（）千米到达抗战纪念碑。
（2）由绿博园向南偏（）（）的方向行（）千米到达购物中心，再向北偏（）（）的方向行（）千米到达人民公园。
点评：
在进行描述的时候，一定要先说清楚方向再说路程。
说方向的时候为了说清楚，通常情况下不用东北、西北、东南、西南等说法，而用南偏东、南偏西、北偏东、北偏西多少度的说法更为准确。
例11、（用数对确定位置）
1、在右图中，如果图书馆的位置是（2,1），则文化馆的位置是（）。
【A.（1,1）B.（1,3）C.（3,1）】
2、小军在教室里的位置可以用点（3,2），（3,2）中的3表示第3列，则2表示2（），小红在教室里的位置是（4,6），表明小红坐在第（）列第（）行。
专题讲解及训练（三）
主要内容比例的意义和基本性质
考点分析
1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。
2、表示两个比相等的式子叫做比例。
3、组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例的未知项，叫做解比例。
典型例题
例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）
ABC
（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。
这两个长方形的长有什么关系？
宽呢？
（2）如果要把长方形A按1:
2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？
各是多少？
例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按3:
2的比画出长方形A放大后的图形B，再按1:
2的比画出长方形A缩小后的图形C。
（1）图B的长、宽各是几格？
（2）图C呢？
（3）观察这三幅图形，你有什么发现？
A
B
C
点评：
按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的长度，画出图形就行了。
例3、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来.
（1） 5 ：
6 和15 ：
18
（2） 0.2 ：
0.1 和 3 ：
1
（3）
：
和 1.2 ：
0.8 （4） 6 ：
2 和
：
点评：
判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。
这样解题的依据是比例的意义。
例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）
一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。
你能根据数量间的关系写出比例吗？
例6、（比例基本性质的应用）根据2×7=1.4×10这个等式写出几个比例。
点评：
像这样的比例一共可以写8个。
但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，而1.4和10这一组数也一样。
写的时候可以一组一组地写了。
图形与变换
1、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。
2、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。
3、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。
统计与可能性
（一）统计
一、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。
二、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
三、条形统计图的特点：
从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。
四、折线统计图的特点：
不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
五、扇形统计图的特点：
表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。
六、中位数、众数、平均数
名称
意义
计算方法
中位数
一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。
中间的一个数或中间两个数的和÷2
众数
一组数中出现次数最多的数。
出现次数最多的数
平均数
反映一组数的总体水平的数据。
平均数=总数÷份数
（二）可能性
事件状态
生活情景
数学情景
一定会发生
太阳从东方升起
从5个红球中摸出一个红球
一定不会发生
鸭子会讲话
从5个红球中摸出一个白球
可能发生
今天会下雨
从5个红球，1个白球中摸出一个白球
在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。
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