圆锥曲线习题双曲线精.docx

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圆锥曲线习题双曲线精

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圆锥曲线习题――双曲线

1.如果双曲线（

（A）x2y2＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是?

42

）

463

（B）

263

（C）26

（D）23

2.

x2y2已知双曲线C∶2?

2=1（a＞0,b＞0）,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的ab

圆的半径是

（A）a以双曲线

（B）b

（C）ab

（D）a+b

2

2

3.

x2y2?

=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（916

B．x+y?

10x+16=0

22

）

A．x+y?

10x+9=0

22

C．x+y+10x+16=0

22

D．x+y+10x+9=0

22

4.

以双曲线x2?

y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（Ｂ．x2+y2?

4x+3=0Ｄ．x2+y2+4x+5=0

）

Ａ．x2+y2?

4x?

3=0Ｃ．x2+y2+4x?

5=0

5.若双曲线

x2y23a?

2=1（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准2ab2

）D.（5,+∞）

线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（A.（1,2）6.若双曲线率是（（A）3

7.

B.（2,+∞）

C.（1,5）

x2y2?

=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：

2那么则双曲线的离心a2b2

）（B）5（C）3（D）5

过双曲线

x2y2?

=1（a>0,b>0）的右顶点A作斜率为?

1的直线，该直线与双曲线的a2b2

1BC，则双曲线的离心率是（2

）

.

两条渐近线的交点分别为B,C．若AB=

A．2

B．3

C．5

D．10

8.

x2y2已知双曲线?

=1（b>0）的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为2b2

y=x，点P（3,y0）在双曲线上.则PF1?

PF2＝（

A.-12B.-2C.0）D.4

二、填空题过双曲线

9.

x2y2?

=1的右顶点为A，右焦点为F。

过点F平行双曲线的一条渐近线的直916

线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______10.已知双曲线

x2y2?

=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1（?

c,0）,F2（c,0），若双曲a2b2

线上存在一点P使

sinPF1F2a=，则该双曲线的离心率的取值范围是sinPF2F1c

．

11.过双曲线

x2y2?

=1（a>0,b>0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于a2b2

M,N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为______

12.已知点P在双曲线

x2y2?

=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到双169

曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是_________13.已知F1,F2是双曲线

x2y2?

=1的两个焦点，PQ是过点F1的弦，且PQ的倾斜角169

为α，那么|PF2|+|QF2|?

|PQ|的值是__________14.已知B（?

6,0）,C（6,0）是△ABC的两个顶点，内角A,B,C满足

sinB?

sinC=

1sinA，则顶点A的轨迹方程是________________2

15.过双曲线x2?

y2=4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.

16.已知P是双曲线

x2y2?

=1上除顶点外任意一点，F1,F2为左右焦点，C为半焦距，a2b2

△PF1F2内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|?

|F2M|的值为__________

三、解答题17.如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|?

|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线

C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、.F若△OEF的面积不小于22，求直线l斜率的取值范围.．．．

18.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、、ABOB成等差数列，BF与FA且同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

19.已知双曲线x2?

y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．（I）若动点M满足F1M=F1A+F1B+F1O（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CA・CB为常数？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

y2x2520.已知双曲线C的方程为2?

2=1（a>0,b>0），离心率e=，顶点到渐近线的距ab2

离为

25。

5

（1）求双曲线C的方程；

（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

1AP=λPB,λ∈[,2]，求?

AOB面积的取值范围3

双曲线习题解答题详细答案

选择题：

1.A7.C填空题：

9.2.B8.C3.A4.B5.B6.D

3215?

10.

（1,1+2）

11.2

12.

645

13.16

14.

x2y2?

=1（x

3）927

833

2

15.|FP|?

|FQ|=

16.|F1M|?

|F2M|=b

17.

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB

中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线

C是满足||MA|?

|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线

C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于22，求直线l斜率的取值范围.．．．解：

（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0,2）,P（3,1），依题意得

2｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝（2+3）2+12?

（2?

3）+12＝22＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为

x2y2?

=1.22

解法2：

同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为

x2y2?

=1（a＞0，b＞0）.a2b2

则由

?

3）1（2?

2?

2=1解得a2=b2=2,b?

a?

a2+b2=4?

x2y2?

=1.22

∴曲线C的方程为

（Ⅱ）解法1：

依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴

?

1－k2≠0?

?

?

?

?

=（?

4k）2+4×6（1?

k2）?

0?

?

k≠±1?

?

?

?

3

∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E（x，y），F（x2,y2），则由①式得x1+x2=｜EF｜＝（x1?

x2）+（y1+x2）=

22

4k6,x1x2=?

于是21?

k1?

k

（1+k2）（x1?

x2）2

2

＝1+k?

（x1+x2）?

4x1x2=1+k?

22

223?

k21?

k2

.

而原点O到直线l的距离d＝

21+k2

，

∴S△DEF=

112223?

k2223?

k2d?

EF=?

?

1+k2?

=.221+k21?

k21?

k2

若△OEF面积不小于22,即S△OEF≥22，则有

223?

k21?

k

2

≥22?

k4?

k2?

2≤0,解得?

2≤k≤2.　

③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（1-,1）∪（1,

2）.

解法2：

依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-K2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴

2?

?

1－k≠0?

?

22?

?

=（?

4k）+4×6（1?

k）>0?

?

k≠±1?

?

?

?

3

.∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则由①式得

｜x1-x2｜=（x1+x2）?

4x1x2=

2

?

1?

k2

=

223?

k21?

k2

.

③

当E、F在同一去上时（如图1所示），S△OEF＝S?

ODF?

S?

ODE=

11OD?

x1?

x2=OD?

x1?

x2;22

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S?

OEF=S?

ODF+S△ODE=

综上得S△OEF＝

11OD?

（x1+x2）=OD?

x1?

x2.22

1OD?

x1?

x2,于是2223?

k21?

k2.

由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=

若△OEF面积不小于22,即S?

OEF≥22,则有

223?

k21?

k

2

≥22?

k4?

k2≤0,解得?

2≤k≤2.

④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.

18.

（Ⅰ）设OA=m?

d，AB=m，OB=m+d

由勾股定理可得：

（m?

d）2+m2=（m+d）2得：

d=

1bAB4m，tan∠AOF=，tan∠AOB=tan2∠AOF==4aOA3

ba=4，解得b=1,则离心率e=5．由倍角公式∴23a22?

b?

1?

?

?

?

a?

2

（Ⅱ）过F直线方程为y=?

ax2y2（x?

c）,与双曲线方程2?

2=1联立bab

15285x?

x+21=04b2b

将a=2b，c=

5b代入，化简有

2?

?

a?

2?

?

a?

4=1+?

?

x1?

x2=?

1+?

?

?

?

（x1+x2）2?

4x1x2?

?

?

?

b?

?

?

b?

?

?

?

?

?

325b?

228b2?

?

解得b=3将数值代入，有4=5?

?

?

?

4?

?

5?

?

?

15?

?

?

故所求的双曲线方程为

x2y2?

=1。

369

19.

解：

由条件知F1（?

2，，F2（2，，设A（x1，y1），B（x2，y2）．0）0）

（I）解法一：

（I）设M（x，y），则则F1M=（x+2，y），F1A=（x1+2，y1），

F1B=（x2+2，y2），1O=（2，，由F1M=F1A+F1B+F1O得F0）

?

x+2=x1+x2+6，?

x1+x2=x?

4，即?

?

?

y=y1+y2?

y1+y2=y

于是AB的中点坐标为?

?

x?

4y?

，?

．?

22?

yy1?

y2yy2当AB不与x轴垂直时，==，即y1?

y2=（x1?

x2）．x1?

x2x?

4?

2x?

8x?

82

22又因为A，B两点在双曲线上，所以x12?

y12=2，x2?

y2=2，两式相减得

（x1?

x2）（x1+x2）=（y1?

y2）（y1+y2），即（x1?

x2）（x?

4）=（y1?

y2）y．

将y1?

y2=

y（x1?

x2）代入上式，化简得（x?

6）2?

y2=4．x?

8

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，，也满足上述方程．0）所以点M的轨迹方程是（x?

6）2?

y2=4．解法二：

同解法一的（I）有?

?

x1+x2=x?

4，?

y1+y2=y

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x?

2）（k≠±1）．代入x2?

y2=2有（1?

k2）x2+4k2x?

（4k2+2）=0．

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=

4k2．k2?

1

?

4k2?

4ky1+y2=k（x1+x2?

4）=k?

?

4?

=2．?

k?

1?

k?

1

由①②③得x?

4=

4k2．…………………………………………………④k2?

1

y=

4k．……………………………………………………………………⑤k2?

1x?

4=k，将其代入⑤有y

当k≠0时，y≠0，由④⑤得，

x?

44y（x?

4）yy==．整理得（x?

6）2?

y2=4．222（x?

4）（x?

4）?

y?

12y4×

当k=0时，点M的坐标为（4，，满足上述方程．0）当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，，也满足上述方程．0）故点M的轨迹方程是（x?

6）2?

y2=4．（II）假设在x轴上存在定点C（m，，使CAiCB为常数．0）当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x?

2）（k≠±1）．代入x2?

y2=2有（1?

k2）x2+4k2x?

（4k2+2）=0．则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=

2

4k24k2+2，x1x2=2，k2?

1k?

1

于是CAiCB=（x1?

m）（x2?

m）+k（x1?

2）（x2?

2）

=（k2+1）x1x2?

（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2

（k2+1）（4k2+2）4k2（2k2+m）=?

+4k2+m222k?

1k?

1=2（1?

2m）k2+24?

4m+m2=2（1?

2m）+2+m2．2k?

1k?

1

因为CAiCB是与k无关的常数，所以4?

4m=0，即m=1，此时CAiCB=?

1．当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为（2，2），（2，2），?

此时CAiCB=（1，2）i（1，2）=?

1．?

故在x轴上存在定点C（1，，使CAiCB为常数．0）

20.（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线ax?

by=0的距离为

25，5

所以

aba2+b2

=

25ab25所以=5c5

?

ab25?

=5?

c?

a=2?

c?

5?

得?

b=1由?

=2?

a?

2?

c=a2+b2?

c=5?

?

?

所以曲线C的方程是

y2?

x2=14

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m,由题意知k<2,m>0

由?

?

y=kx+mm2m得A点的坐标为（,）,2?

k2?

k?

y=2x?

y=kx+m?

m2m得B点的坐标为（,）,2+k2+k?

y=?

2x

由?

uuuruurm1λ2m1λAP=λPB,得P点的坐标为（（?

）,（+）1+λ2?

k2+k1+λ2?

k2+ky24m2（1+λ）22将P点的坐标代入?

x=1得=44?

k2λ

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）

S?

AOB=S?

AOQ+S?

BOQ

111OQgxA+OQgxB=m（xA?

xB）222114m2mm）=g=m（+22?

k2+k24?

k211=（λ+）+12λ=

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