类型五：
三角函数在几何中的应用
1．已知：
如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，sinA
求此菱形的周长．
12
13
2．已知：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC3，作∠DAC
＝30°，AD交CB于D点，求：
（1）∠BAD；
（2）sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
3.已知：
如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，tanB
1
，求：
sin∠CAD、cos
3
∠CAD、tan∠CAD．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB
3
，点D在BC边上，DC=AC=6，求tan∠BAD
5
的值．
A
BC
D
5（.本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，tanB
3
，
2
AC43．求AB的长.
C
AB
知识点三：
解直角三角形：
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：
________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
sinA
cosB
______；
cosAsinB
_______；
1
_____；
1
tanA
tanB______．
tanB
tanA
④直角三角形中成比例的线段
（如图所示）．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．
例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知：
a
23，b
2，求∠A、∠B，c；
（2）已知：
sinA
2
6，求a、b；
，c
3
（3）．已知：
△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．
类型六：
解直角三角形的实际应用
仰角与俯角
1．如图，从热气球
C处测得地面A、B两点的俯角分别是
30°、45°，如果此时热气球
C处
的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则
AB
两点的距离是（
）
A．200米
B．200
米
C．220
米
D．100（
）米
2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去
测万泉河河宽，如图
13所示，某学生在河东岸点
A处观测到
河对岸水边有一点
C，测得C在A北偏西31
的方向上，沿
河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45
的方向
上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参
考数值：
tan31°≈3，sin31°≈1）
5
2
图13
3.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，
且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.
C
AD
BE
4．一数学兴趣小组为测量河对岸树
AB
的高，在河岸边选择一点
C，从C处测得树梢A的
仰角为45°，沿BC方向后退
10
米到点
D，再次测得点
A的仰角为30°．求树高．（结果精
确到0.1米．参考数据：
2
1.414，
31.732）
A
30°
45°
D
C
B
5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的
知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆
小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：
sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，
3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）
坡度与坡角
1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡
AB
的坡比是
1：
3，堤坝高
BC=50m，则应水坡面
AB的长度是（
）
A．100mB．100
3m
C．150m
D．50
3m
2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度.如图，老师测得升旗
台前斜坡FC的坡比为i=1:
10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）
处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=3，升旗台高AF=1m，小明身高
7
CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度.
B
iFC=1:
10
A
Dα
F
C
E
3.如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校
A，
当重型运输卡车
P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心、50米长为半径的圆形区域
内部会受到卡车噪声的影响，且卡车
P与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重
型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.
（1）求对学校A的噪声影响最大时,卡车P与学校A的距离;
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪影响的时间.
N
P
30°
O80米AM
4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度
DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，
DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：
sin31°≈0.，52cos31°≈0.86，tan31°≈0.）60
C
E
D
45°
F
31°
A
N
M
B
5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定
将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在
同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？
（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的
空地，像这样改造是否可行？
说明理由。
（参考数据：
21.414,31.732,62.449）
方位角
1．已知：
如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以
每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮
继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?
（精确到0.1海里，31.732）
2.如图9所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西600的方向．一艘游船从港口O
出发，沿OA方向（北偏西300）以vkm/h的速度驶离港口D．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东300的方向
以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海
里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东
30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200
海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入
圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是
否有触礁的危险，并说明理由．
类型七：
综合题
三角函数与四边形
（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，
6
tan∠BDC=．
（1）求BD的长；
（2）求AD的长．
2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：
∠BAE=∠DAF；
（2）若AE=4，AF=24，sinBAE3，求CF的长．
55
三角函数与圆
1.
已知：
在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接
AC与⊙O交于点D,
C
（1）
求证：
∠AOD=2∠C
（2）
若AD=8，tanC=
4，求⊙O的半径。
D
3
A
B
O
2..如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.
（1）求证:
BF是⊙O的切线;
（2）若cosC
4
E
DE=9，求BF的长．
5
O
D
F
B
C
3．已知，如图，在△ADC中，
ADC90，以DC为直径作半圆
O，交边AC于点F，
点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，BED
2C．
（1）求证：
BF是O的切线；
（2）若BFFC，AE
3，求
O的半径．
A
F
E
BDOC
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