整式乘除经典讲义.docx
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整式乘除经典讲义
整式的乘除讲义
三.同底数幂的乘法
同底数幕的乘法法则：
amanamn（m,n都是正数）是幕的运算中最基本的法则，在应用法则运算时,要注意以下几点:
1法则使用的前提条件是：
幕的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式
字母，也可以是一个单项或多项式；
2指数是1时，不要误以为没有指数；
3不要将同底数幕的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
4当三个或三个以上同底数幕相乘时，法则可推广为amanaPamnp（其中mn、p均为正数）；
5公式还可以逆用：
amnaman（mn均为正整数）
四．幕的乘方与积的乘方
1.幕的乘方法则：
（am）namn（m,n都是正数）是幕的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.
2.（am）n（an）mamn（m,n都为正数）.
3.底数有负号时，运算时要注意，底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成
同底,
如将（-a）3化成-a3
4.底数有时形式不同，但可以化成相同。
5.要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。
6.积的乘方法则：
积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即
（ab）nanbn（n为正整数）。
7.幕的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
五•同底数幕的除法
1.同底数幕的除法法则：
同底数幕相除,底数不变,指数相减,即amanamn（a工
0,m、n都是正数，且m>n）.
2.在应用时需要注意以下几点：
1法则使用的前提条件是“同底数幕相除”而且0不能做除数，所以法则中a^0.
2任何不等于0的数的0次幕等于1,即a01（a0）,如1001,（-2.5°=1）,则0°无意
义•
3
任何不等于0的数的-p次幕（p是正整数），等于这个数的p的次幕的倒数，即
ap
4运算要注意运算顺序
六.整式的乘法
1.单项式乘法法则：
单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
1积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的
是，将系数相乘与指数相加混淆；
2相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
3只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
4单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
5单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2•单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
1单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同;
2运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
3在混合运算时，要注意运算顺序。
3．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
1多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：
在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
2多项式相乘的结果应注意合并同类项；
3对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘
（xa）（xb）x2（ab）xab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。
对于一次项系数不为1的两个一次二项式
（mx+a和（nx+b）相乘可以得到（mxa）（nxb）mnx2（mbma）xab
七．平方差公式
1．平方差公式：
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
即（ab）（ab）a2b2。
其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
八．完全平方公式
1．完全平方公式：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
即（ab）2a22abb2;
口决：
首平方，尾平方，2倍乘积在中央;
2．结构特征：
1公式左边是二项式的完全平方;
2公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现（ab）2a2b2这样的错误。
九．整式的除法
1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式;
2．多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
（1）填空题（每小题2分，共计20分）
1.x=（—x3）2•=x12十x（）【答案】x4；2.
2.4（m—n）3*（n—m）2=.【答案】4（m—n）.
3.—x2•（—x）3•（—x）2=.【答案】x7.
4.（2a—b）（）=b2—4a2.【答案】—2a—b.
5.（a—b）2=（a+b）2+.【答案】—4ab.
6.（-）—2+?
°=;4101x0.2599=.【答案】10;16.
3
7.202x191=（）•（）=.【答案】20+-，20—-，399-.
33339
8.用科学记数法表示—0.0000308=.
【答案】—3.08x10—5.
222
9.（x—2y+1）（x—2y—1）=（）—（）=.
2
【答案】x-2y，1x-4xy+4y.
z_xn22nzx/3、25z437zx2n—33—n3n—6
（A）a•a=a（B）（a）=a（C）x•x•x=x（D）a十a=a
【答案】D.
12.x21*1可写作（）
（A）（x2）时1（B）（X。
2+1（C）x•x21（D）（X。
n*1【答案】C.
13.下列运算正确的是（）
344
（A）（-2ab）•（-3ab）=—54ab
（B）5x•（3x）=15x
237
（C）（—0.16）•（—10b）=—b
1
（D）（2X10n）（—X10n）=1021【答案】D.
2
14•化简（anbn）n,结果正确的是（）
（A）a2nbmn（B）an2bmn（C）an2bmn（D）a2nbm"
【答案】C.
15.若a^b,下列各式中不能成立的是（）
（A）（a+b）=（—a—b）（B）（a+b）（a—b）=（b+a）（b—a）
（C）（a—b）2n=（b—a）2n（D）（a—b）3=（b—a）3
【答案】B.
16.下列各组数中，互为相反数的是
（）
（A）（-2）—3与23（B）（-2）—2与2-2
（C）-33与（-1）3（D）（-3）-3与（-）3
33
【答案】D.
17.下列各式中正确的是
（）
22
（A）（a+4）（a-4）=a-4（B）（5x—1）（1-5x）=25x-1
（C）（-3x+2）2=4-12x+9x2（D）（x—3）（x-9）=x2-27
【答案】C.
18.如果x2-kx-ab=（x-a）（x+b）,则k应为（）
（A）a+b（B）a—b（C）b—a（D）—a—b
【答案】B.
（3）计算（每题4分，共24分）
19.
（1）（-3xy2）3•（丄x3y）2;【答案】一3x9y8.
64
22/2433152164
（2）4ax•（axy）*（axy）；【答案】一axy.
525
（3）（2a-3b）2（2a+3b）2；【答案】16a4-72a2b2+81b4.
（4）（2x+5y）（2x-5y）（-4x2-25y2）;【答案】625y4-16x4.
（5）（20an—2bn-14an-1bn+1+8a2nb）宁（-2an—3b）；【答案】一10abn—1+7a2bn-4an+3.
（6）（x—3）（2x+1）-3（2x-1）
【答案】—10x2+7x-6.
20•用简便方法计算：
（每小题3分，共9分）
2
（1）98;
【答案】（100-2）2=9604.
（2）899X901+1;
2
【答案】（900-1）（900+1）+1=900=810000.
、，10、2002,、1000
（3）（-）•（0.49）
7
（四）解答题（每题6分，共24分）
【答案】-41.
a2b2
22.已知a+b=5,ab=7,求,a2-ab+b2的值.
2
【答案】
a2b2121z_.x2.11
一[（a+b）2ab]一（a+b）ab一
2222
2
a-
22
ab+b=（a+b）—3ab=4.
23.已知（a+b）2=10,（a-b）2=2,求a2+b2,ab的值.
【答案】a2+b2=1[（a+b）2+（a—b）]=6,
2
ab=1[（a+b））+（a—b）2]=2.
4
24.已知a2+b2+c2=ab+bc+ac，求证a=b=c.
【答案】用配方法，a2+b2+c2—ab—bc—ac=0,二2（a2+b2+c2—ab—ac—bc）=0,
即（a—b）2+（b—c）2+（c—a）2=0.aa=b=c.
（5）解方程组与不等式（25题3分，26题4分，共7分）
25（x1）（y5）x（y2）0.（x4）（y3）xy3.
7
【答案】x3y2.
26.（x+1）（x2—x+1）—x（x—1）2v（2x—1）（x—3）.
【答案】x>—1.
3
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