中山大学概率统计第3习题解docx.docx
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中山大学概率统计第3习题解docx
习题三
先介绍两个常用的恒等式•对于I兀|V1,
证明如下:
V°°M-1-1V°°Qz_1+兀
S_（1一才’乙曰"（1-X）3,
工和（屮尸匹爲广）"=&爲
匸/対匹二心+】）尸-工二宀
1.求习题2.4屮的随机变量X的期望.
解X有概率分布
P（X=k）=pk~]（l-^+d-p/-1p,R=2,3,….
ex壬肿x=k）=xr=2时（i-刃+“尸p
/、
=d-P）工：
=2炒7+P》；/（l-P）I=0-P）
—1―-1+p1（1-"丿
=2p-p2|]_p2」_p+p2二]]
1一PPPQ_P）p（l—P）
2.求习题2.9屮的随机变量X的期望和方差.
解EX=匚顾兀宓=J[城兀/[01）（兀）+（2-兀）/[12]（兀）皿
EX2
=匚F〃（x）dx=J：
gx2[x/l01）（x）+（2-x）ZL12J（x）]dr
DX=EX2-（EX）2=7/6-l=l/6.
3.某种彩票中奖的概率是0.1,连续地购买这种彩票，设直到第X张彩票才获奖.求X的期望与方差.
解X有分布
P（X=k）=0」x0・9*t,R=l,2，….
EX=》；,P（X*）=》：
/x0.1x0.91=0.yxO.k=_^_=W,
0」X（l+O・9）
（1-0.9）3
=190
EX2=》；」2p（X=灯二工二八x0.1x0.91-1
所以
DX=EX2-（EX）2=190-100=90.
4.某小组有男生4人女主3人从中随机选出2人.设X为选到的女牛的人数，求X的期望和方差.
解X冇分布
"八、43243344……321
p（X=0）=-x-=-,P（X=l）=-x-+-x-=-,P（X=2）=-x-=-.
76776767767
EX=》：
_‘P（X=k）=0x（2/7）+lx（4/7）+2x（l/7）=6/7,
EX?
=》；=2“P（X=k）=0x（2/7）+lx（4/7）+4x（l/7）=8/7,
DX=EX2-（EX）2=8/7-（6/7）2=20/49.
5.同时投掷4个骰子一次.约定没有掷出6点得1分,掷岀1个6点得5分，掷出2个6点得25分,掷出3个6点得125分,4个6点得625分.问期望能得多少分？
解X有分布
P（X=1）=Cf（1/6）°（5/6）4=625/64,
P（X=5）=C^（1/6）1（5/6）3=4x125/64,
P（X=25）=C：
（1/6尸（5/6尸=6x25/64,
P（X=125）=C^（l/6）3（5/6）1=4x5/64,
P（X=625）=C4（1/6）4（5/6）°=1/64・
EX=lxP（X=l）+5xP（X=5）+25xP（X=25）+625xP（X=625）
=（625+5x4x125+25x6x25+5x4x125+625）/64=625/81.
6.某人携带5发子弹射击一H标,一旦射中或子弹打光了便停止射击.设这个人每次射击命屮目标的概率是p,问他平均会射击儿次？
解1设q=\—p,X有分布
p（X=k）=pqk~x,£=1,2,3,4,P（X=5）=q4.
EX=XLiX=k）=HW1+=工仁fc（l-q）qi+5/
=1+2q+3/+-q-2q2--4q4+5c/4
=]+g+g2+/+?
4.
解2设q=\-p,X有分布
p（X=k）=pq-',£=1,2,3,4,P（X=5）=护.
因为对于|x|X—
1-x
1-5x4+4x5
（1一兀）2
=ZL^（X=^=ZLW-1
EX
所以
解1ex=\Zxp^c1x=JS|xe~^dx=JLxeX（ix+\
4-001
0尹如
丄xe~xdx=--xe~xJo22
\^-e~xdx=--e~xJo22
+8]o飞'
_4（/-Q）+5护=]+q+『+g34/+5g4=l+g+『+q3+g4i_q
DX=EX2-（EX）2=\/2.
fo1v,x="zf+°°1-/.
—xedx=-\—tedt=
J-oo2Jo2
故EX=0.
+°°
=2,o
EX2訂二*代T%訂;。
V厂必=J厂
+vv
2（Txdx=-2e^xo
f+8|j
=0'f.hr
+°°
x=l
f+oo丄
J-OO2
血Txl
dx=^
+oo
0
xe~xdx<
DX=EX2-（EX）2=2.
又由于丄宓Fl是奇函数，故
2
EX=J+xp（x）dx=j+£xe~^dx=0.
EX2=J+x2p（x）dx=J+x2e~xdx=-x2e~x+J；2xe~xdx
DX=EX2-（EX）2=2.
9.在赌场上，赌博的人每次交纳个一个筹码便可以同时投掷3个骰子一次，并获取一笔奖金，奖金的数目（元）等于3个骰子掷出的的点数的乘积•如果每个筹码的价钱是45元,那么赌场老板平均每次可以获利多少？
解分别以XPX2和X3记3个骰子掷出的的点数，则
EXt=EX2=EX3=（1+2+3+4+5+6）/6=3.5Y=X^X2X3.
以Y这些点数的乘积，即丫=XK2X3，赌场老板平均每次的获利是
45-EY=45-EX}EX2EX3=45-3.53=45-42.875=2」25.
10.对某一目标进行射击，肓到击中r次为止.如果每次射击的命屮率为p,求需要射击次数的期望与方差.
解1分别以X],…,X,.记笫1次击中需要射击次数，第1次击中后开始到第2次击中需要射击次数，…，笫厂-1次击中后开始到笫r次击中需要射击次数.对i=…，厂，X,有分布
P（Xi=k）=pql',"1,2,…，
其屮qT—p.因而
EXi=LZ=1kP（Xi=k）=》；=[kpqk-'=,
EX?
=ZLkg=k）吃爲卄=氓p存卩墙学
（|一q）p
DXj=EX：
-（EX；=qjp2
以Y记需要射击的次数贝ljY=X]+…+X八
EY=EX\+・・+EXr=Hp,DY=DX\+..・+DXr=rq）p?
解2以Y记需要射击的次数，则Y有分布
P（Y=k）=pC；二严孑-r=C^prqk~r，—,广+1,….
EY=&」P（Y=約==吃二沽鬆”
r
（l-6/）r+，~~P
r\
pr（r-1）!
Py00k'・—
（厂_1）!
乙妇厂伙_广）!
纟
上式中
EY12=M/P（Y=k）=工；」伙+l）g//qS-工二如曲"
ey2_心+1）r
r_rq
_=7-
因而
2-4+4,"=曲_仰）一吕+马
p~pp~p~p~p~p~
解3以厂记需要射击的次数，则Y有分布
P（Y寸）=〃C吕/厂=C吕prqk-r,—,厂+1,….
根据命题2.2.1,
工―P&='=1-
分别以r+1和厂+2代替上式的r,则分别有
k=k*+l
8
k=r（k-r）lrl
~=乞二耳严厂、工;上严厂.
EV2=工;」沁丫=k）=工;丿伙+DC：
二”严-工二姒二必，上式中
&丿伙+心严=工二斜启討旷
由此得
r（r+l）r
9
P「P
9?
D"加-（刃）一二+马-二二卑.p~pp~p~
「（Q+0）
W）「（0）
严七-兀严心」）（兀）,
11・设X服从0分布，即它的密度为
一其中a>0,0>0.求EX和DX.（提示:
称BU,r）=['us~x（1-m）/_i力为0函数，由微积分J0
的知识知b（s,h=r（5）r（r）/r（5+1））
解（见p.239,命题2.1）
12.分别以下的几种情况，求z=Vx2+r2的均值.请用两利方法分別计算,即利用1.10
式直接计算，以及先求Z的密度，再利用1.4式计算.
1）（X,Y）有联合密度p（x,y）=丄不
2兀
2）（X,y）有联合密度p（x,y）=丄e-C）.
71
3）（X,D有联合密度p（x,y）=4xye^（x2+y2）ID（x9y）,其中D=（x,y）:
x>0,y>0）.
解
1）方法1
饯⑵二P（Zx=rcos^
-z
y=rsin01「％rzr2
=云/（0卄）⑵Ld&Lre~，dr=心Q⑵Lr^dr=（1-厂-z严”（0+8）⑵,
Pz⑵=Fz（z）=Z€pOy）⑵,
EZ=Jz〃z（z）dz=J
「—（3）=2.
方法2
EZ=Eylx+Y2=f+O°f"J兀2+丹（兀,y}dxdy
.v=rcos^
广广产升R如广罗J—OOJ_8V
J—ooJ—OO
1
-2^
v2,.,2*+）dxdy
2）方法1
5（z）=P（Zz=
zV/Jz=r（3/2）=V^/2.
Pz⑵"？
⑵=2z£7/（os（z）,r4-00r4-0002Z=\[i
EZ=Jzpz⑵Jz=2joz~e~~dz=2
方法2
EZ=Eylx2+Y2=Tf+°°Jx2+y2p（x,y）dxdy
J—8J—OO
A-rcos^尸广sin&
X2+Y2/（0卄）⑵J；、4sin&cos&d&J：
Pe~r~dr=21
fZ?
22
3d「力二「（5/2）=3石/4.
卄）⑵J：
te~{dt=（\-e~2~-zV2-）/（0+oo）⑵，
=j+j+4>/x2+y2xye~（x+v}ID{x,y）dxdy
x=rcosOy二rsin&
ett/2
J。
4sin&cos&d&
）Ae~rldro
=j^OO2rVr\/z，=/j（^r3/2e_zt/r=r（5/2）=3A/i/4.
13.设X〜N（Od）,求EX".
EX°=[px{x）dx=1•J—oo
由于xe~^n是奇函数，兰厂引曲力广；''『「「宀加=2v+oo,故
EX'
—OO
r+8
xpxMdx=
J—OO
当心2吋,
■°°J2兀（7
—8
=^£Lde-x2,（2^++/（―淫_2厂2叫5_i）/ex“・
J2兀』2兀
—OO
由此得
“[0汹奇数
EXn=<^
（/?
—1）（〃—3）・・・3・1•（yn〃为偶数
2x"Px
—8
EX2=E[/?
cosg]2訂二[Rcos自2Ps（s）ds二J；
"丄R2cos2—
027T17V
=—f2；r（l+cos-）ds=—（5+sincos-）
4龙J0714"71
2龙c
_R^—?
14.设球的点径服从［⑦方］上的均匀分布，求球体积的期望.
解设球的直径为X,球的体积为Y.则丫=丄兀X有密度PX（X）=J—I（X）^
6b-a
15.点随机地落在中心在原点、半径为R的圆周上，并对弧长是均匀分布的.求落点横处标的期望和方差.
解从点（1,0）沿反时针方向到落点的弧长为S,落点横坐标为X,则X=Rcos^-fS有
密度PsG）=Z—/［0,2龙］（"）•因而
Sr+°°sr2兀1s1s
EX=^cos-]4_^cos-p5（^=f0-^cos-^=-^2.sin-
2兀
DX=EX2-（EX）2=R2/2.
16.设X〜N（〃q2）,Y=axy其中«>0,a^\.求丫的密度，期望和方差.
解FY（y）=P（Y-In。
jiny/\na）2/（2a2）
当yS0,a<0lit,7y（y）=P（X>ln^/lna）=l-Fx（Iny/Ina）,
PY（y）=用（y）=（（Iny//lna）px（Iny/\na）=
Indg-（lny/Ina-ju）2/（2a2）
当y50,av0吋，FY（y）=P（XPY（y）=用（y）=（（Iny）'/\na）px（Iny/\na）=
由上知y有密度
內（刃=用O）=（dny）'/lna）px=^£-e~^加心）心卄）（刃.
17.设轮船横向摇摆的振幅X是随机变量,有密度p（x）=Axe-x2/2a2/（o卄）◎）.求A和X的期望和方差，并求振幅大于其期望的概率.
解1=j*[=f[Axe~x~2<7_/（0+oo）（x）dx
二可。
xe（}dx=4bJ。
edt=A（y^.
故A=[/（y2.
EX=j^xp（X）dx寸二+代？
/2a2心*（x）dx
=A厂代"7$/心=叵厂x21厂2冷心=。
后.
，」°2（7J—莎（J
22
£0（兀）必二A兀3厂2/2,心卄）（劝心'工）12a2te~ldt=2a2.
DX=EX2-（EX）2=（2-7r/2）（y2.
18.设等腰点角三角形的直角边长X为随机变量，服从[0,1]上的均匀分布.求这个三角形的面积的期望.
解X冇密度px（x）=/|o.i]W，这个三角形的面积S=X2/2.
ES=E（X2/2）=j（x2/2）p（x）dx=J二（x2/2）I[QA]（x）dx=j^（x2/2）dx=1/6.
19.设园的面积服从指数分布,有密度/心）二冷—巧（o.s（x）•求这个园的半径的期望.解设园的而积为X,则这个园的半径R=
匸加]p+oo
Jo
ER=E（x!
XI兀）=j\Jx/7Tpx（x）dx=jVx/7tXe~^x/（0>+oo）（兀）必
=f「丘忌严dxr怎J=怎「（3/2）=怎•挣=壶•
20.设x.r独立，分别有密度px（兀）=*仏3］（兀）和PyM=2尸〉«0心）（刃，又设z=XY.求Z的期望和方差.
解EX=J+xpx（x）^£v=|+右兀/「3］（兀）必=］*：
£”必=13/6,
f+°°9f+°°13r
=j_ooXPx（劝心=Loo才兀41,31
EY訂二啊（刃狞=匚y•2e~2yI[0^y（y）dy=J「2y严=1/2,
EY2=J二y2pY（y）dy=j^y2•2宀o,“）心
=J；°°ly2e~2ydy=|^re~ldt=右「（3）=1/2.
EZ=E（XY）=EXEY=（13/6）（1/2）=13/12,
EZ2=£（X2y2）=£X2EK2=5x（l/2）=5/2,DZ=EZ2-（EZ）2=5/2-（13/12）2=191/144.
21.
设某人在3天中共收到5份电子邮件，每份电子邮件在这3天中的那一天被收到都是等可能的•设这3天中有X天当天都至少收到一份电了邮件，求X的期望.（提示:
设
解对于21,2,3,设
则X胡+込+匕,
p（£=0）=（2/3）'=32/243,?
（｝；.=1）=1-?
（｝；.=0）=1-32/243=211/243,故E〜3（1,65/81）.因而
49
EX=E”+E§+EE=211/243+211/243+211/243=211/81=2下.
22.设（X』）有联合密度p（xo9=A/（x2+y2+1）2,其中A是常数.求出A的值，并问
解1=f+f+p（x,y）dxdy=f+[+A/（x2+y2+I）2dxdy
J—OOJ—8■J—OOJ—8
x=rcos^・y=rsin^
+81r+8r+
xp（x.y）dxdy=—I—8兀J—OOJ—
+8『4*oo
•OO
/（x2+y2+\）2dxdy
=丄+8（+二心2+>,2+1）2必兀J—OO\J—OO
类似地，£7=0.
71
—OO
X
+8
0・d）：
=0,
故A=l//r•
+8f+8aaa*>
x2心2+y2+I）2dxdy
■8
+8?
]r+8『•+
Xp（x.y）dxdy=—|
•8兀J—OOJ—
x=rcos^y=^in&]2龙°r+oor3
=—Icos*0d0\d广=+<>o,
龙JoJo（/+1）2
故Ex=DX=E（X-EX）2=EX2不存在，类似地ayY亦不存在.
23.设（XQ服从区域D={（x,y）：
OPx⑴=1心,y）dy=\^ID（x,y）dy=仏]（兀）J：
'购=2（1-x）Zl0JJ（x）‘
EX—jxpx（x）dx=J；2x（1—x）dx—（x2—2x3/3）|=1/3,
EX2=j二/心（x）dx=匸2兀2（1一X）dx=（2x3/3-x4/2）|l=1/6.
DX=EX1-（EX）1=1/6—（1/3）2=1/18.类似可得DY=\/\S.
=（x2/2-2x3/3+x4
/4）lo
=1/12,
EXY=JJ2兀y/d（x,y）dxdy=^2皿J；呛=匸x（l-^）2dx
cov（X,Y）=EXY-（EX）（EK）=1/12-（1/3）（1/3）=-1/36
24.设（XV）为随机向最（x,/3,a,b,c都是实数.证明：
cov（qX+a,0Y+/?
）=€^cov（X,y）,D（aX+卩Y+c）=a2DX+/3~DY+2妙cov（X,Y）.
25・已知DX=16,DY=25,p=-0.5.求cov（X,F）,D（X+Y）和D（3X-2y+4）.
cov（XyY）=JDXDYPxy=V16x25x（-0.5）=-10,
D（X+Y）=DX+DY+2cos（X,y）=16+25+2x（—10）=21,
D（3X-2y+4）=32r>X+22Z）y+2x3x（-2）cos（X,y）
=9x16+4x25+（—12）x（—10）=364.
26.设随机变量X有均值4和方差25.为了使得厂X—s有均值0和方差1，应该怎样选样r,s的值.
解由题意得
0=E（rX-s）=rEX-s=4r-y,1=D（rX-s）=r2DX=25r2,
解方程组
J4r-5=O
I25r2=1
#r=±l/5,5=±4/5・
27.设随机变量X],X2，X3独立同分布，有有限的不等于零的方差.乂设
y=2X]+X2+2X3,Z=2X1+3X2-6X3>求人Z的相关系数.
解设DX]二DX2=DX、=（T2，则
DY=D（2X]）+阻+D（2X3）=4cr2+/+4<72=9cr2,
DZ=£>（2兀]）+»（3勒）+D（-6X3）=4ct2+9cr2+36cr2=49cr2,
cov（K,Z）=cov（2X],2X]）+cov（2X],3X2）+cov（2X|,-6X3）
+cov（X2,2X]）+cov（X2,3X2）+cov（X?
-6X3）+
+cov（2X3,2X[）+cov（2X3,3X2）+cov（2X3,-6X3）+
=cov（2X|,2X0+cov（X2,3X2）+cov（2X3,-6X3）
=4（r2+3（r2-12cr2=-5<72.
_co^y,g）__-5亍_一"
"JDYDZ辰2）（4心）'•
28.设（X,Y）是二维正态随机向最，X和丫都有均值0和方差1,两者的相关系数为1/2.为了使得X和Y-kX和互独立，应该怎样选择常数k的值.
解设Z=，贝lj（X,Z）服从正态分布，X,Z相互独立的充分必要条件是
cov（X,Z）=0.山于
cov（X,Z）二cov（X,Y—£X）二cov（X,y）—£cov（X,X）
=y/DXDYpXY-kDX=>JMx（\/2）-kx\=\/2-k・故应选择k=\/2.
29.分别求习题2.26屮的随机变量X和丫的期望和方差,并求它们的协方差和相关系数.
解EX=》：
=o"（X=R）=0x0.4+lx0.3+2x0.3=0.9,
曲=工：
（,2p（x=R）=0x0.4+1x0.3+4x0.3=1.5,
DX=EX2-（EX）2=1.5-0.81=0.69,
EY==k）=0x0.1+1x0.2+2x0.3+3x0.4=2,
EY2==^）=0x0」+1x0.2+4x0.3+9x0.4=5,
z）y=Ey2-（Er）2=5-4=i,
=i,y=7）=1x0.1+2x0」+3x0」+4x0」+6x0.2=2.2,
_cov（x
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