新七年级数学暑假培训班讲义Word版.docx

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新七年级数学暑假培训班讲义Word版

前言

同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？

为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？

数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？

请同学们来讨论下面的几个问题：

（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?

（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？

你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么?

（3）有这样一个故事：

太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛．A岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而B岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个，但不能分辨这个岛是A岛还是B岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛？

”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：

他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛．

你知道这个旅游者问的问题是什么吗？

他又是怎样做出判断的呢？

数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第

（1）题；也有关于图形的问题，如第

（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．

此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”

下面我们来尝试解答以上三个问题。

第

（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．

法一：

由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．

法二：

假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．

法三：

假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x=3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．

按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．

假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．

设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视

．

对于第

（2）个问题，我们可以通过动手操作来解决问题。

比如先可以将三个正方形中的两个沿对角线剪开，如图1，然后再拼成图2的形状．再在图2的基础上，连结AB、BC、CD、DA，将画阴影的四个三角形剪掉，补到黑色部分上去，如图3，这样所得到的四边形ABCD就是一个符合条件的较大的正方形了．

这个问题的求解过程，作为图形的拼合时用到了旋转的方法；若要证明最后拼合而成的四边形是一个正方形的话，则需要用到全等或者图形的旋转等．不论是旋转变换，还是全等等方法都是初中数学所不可回避的重要内容．

第（3）题是一道逻辑推理题，可以先把学生分成小组让他们讨论几分钟，让他们相互交流一下思想，然后再找学生来谈自己的想法或推导过程，教师再在此基础上综合学生的发言，进行适当的补充或深化．

我们在下表中列出了在不同的地点，不同的被访问者，针对同一问题的不同回答．

问题：

你是这个岛的居民吗？

问话的地点

被访问者

A岛居民

B岛居民

A岛

回答

是

是

B岛

不是

不是

借助这张表我们可以一目了然地得到这样的一个结论：

如果这个问题是在A岛提出来的，那么不论是A岛的居民，还是B岛的居民，给出的答案都应该是“是”；如果这个问题在B岛提出来的，答案总“不是”．

这就为旅游者判断提问的地方是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”就得到了解决．聪明的旅游者的问话是“你是这个岛的居民吗？

”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛就一定是B岛．

学习数学是件很有趣的事情，数学可以让我们变得聪明，“数学是思维的体操”，只要我们多与数学打交道，与数学交朋友，坚持用数学的眼光去看问题，用数学的头脑去想问题我们就一定能感受到数学的魅力与乐趣，就一定能够学好数学，成为主宰世界未来的科学家。

拓展练习

（1）如图4，要在所有的台阶上铺上地毯，至少需要长为多少米地毯？

（2）用火柴棒拼成图5所示的“田”字形图，拼1个“田”字要12根火柴棒，拼2个这样的田字形图，需要多少根火柴棒？

拼3个呢？

4个呢？

5个呢？

你能从中找到规律，拼写n个这样的田字形图，需要多少根火柴棒吗？

（3）扑克牌游戏：

在扑克牌1~k中，请你任抽一张，点数记在心，然后做下面的计算：

把这张牌的点数乘以2，再加上3，把得数乘以5，最后减去25．我将这个得数加上10后再除以10就可以知道你抽取的牌的点数了，你知道

个中的缘由吗?

第一章有理数

正数负数

（1）

一、学前准备

1、小学里学过哪些数请写出来：

、、.

2、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？

有没有比0小的数？

如果有，那叫做什么数？

二、探究新知

1、正数与负数的产生

1）、生活中具有相反意义的量

如：

运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量.

请你也举一个具有相反意义量的例子：

.

2）负数的产生同样是生活和生产的需要

2、正数和负数的表示方法

1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：

下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。

正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。

2）活动两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示.

3、正数、负数的概念

1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。

2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。

三、练习

1、读出下列各数，指出其中哪些是正数，哪些是负数？

—2，0.6，+

，0，—3.1415，200，—754200，

2、举出几对（至少两对）具有相反意义的量，并分别用正、负数表示

四、应用迁移，巩固提高（A组为必做题）

A组

1．任意写出5个正数：

________________；任意写出5个负数：

_______________．

2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．

3．已知下列各数：

，

，3.14，+3065，0，-239．

则正数有_____________________；负数有____________________．

4．如果向东为正，那么-50m表示的意义是………………………（）

A．向东行进50mC．向北行进50m

B．向南行进50mD．向西行进50m

5．下列结论中正确的是…………………………………………（）

A．0既是正数，又是负数B．O是最小的正数

C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数

6．给出下列各数：

-3，0，+5，

，+3.1，

，2004，+2008．

其中是负数的有……………………………………………………（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

B组

1．零下15℃，表示为_________，比O℃低4℃的温度是_________．

2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______地，最低处为_______地．

3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________．

C组

1．写出比O小4的数，比4小2的数，比-4小2的数．

2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．

正数负数

（2）

一、学前准备

通过上节课的学习,我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分它们,我们用正数和负数来分别表示它们.

问题1：

“零”为什么即不是正数也不是负数呢?

思考讨论,借助举例说明.参考例子:

温度表示中的零上,零下和零度.

二.探究理解解决问题

问题2：

先分析，再独立完成

例

（1）一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;

（2）2001年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是:

美国减少6.4%,德国增长1.3%,法国减少2.4%,英国减少3.5%,

意大利增长0.2%,中国增长7.5%.

写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率.

三、巩固练习

从0表示一个也没有,是正数和负数的分界

用正负数表示加工允许误差.

问题:

1.直径为30.032mm和直径为29.97的零件是否合格?

2.你知道还有那些事件可以用正负数表示允许误差吗?

请举例.

四、练习

1）.甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度是.

2.）一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05（单位:

mm）,表示这种零件的标准尺寸是9mm,加工要求最大不超过标准尺寸多少?

最小不小于标准尺寸多少?

有理数

一、探究新知

1、通过两节课的学习,我们已经将数的范围扩大了,那么你能写出3个不同类的数吗?

.

问题1：

任意写出9个数，再将这9个数做一下分类..

该分为几类，又该怎样分呢？

先分组讨论交流，再写出来

分为类，分别是：

引导归纳：

统称为整数，统称为有理数.

问题2：

我们是否可以把上述数分为两类?

如果可以,应分为哪两类?

2、正数集合与负数集合

所有的正数组成集合，所有的负数组成集合

二、知识应用

把下列各数填入它所属于的集合的圈内:

15,-

-5,

0.1,-5.32,-80,123,2.333.

正整数集合负整数集合

正分数集合负分数集合

三、引导归纳

有理数分类

或者

四、练习

1、下列说法中不正确的是……………………………………………（）

A．-3.14既是负数，分数，也是有理数

B．0既不是正数，也不是负数，但是整数

c．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数

D．O是正数和负数的分界

2、在下表适当的空格里画上“√”号

有理数

整数

分数

正整数

负分数

自然数

-9是

-2.35是

O是

+5是

数轴

一、创设情境，引入新课

1、观察下面的温度计,读出温度.分别是°C、°C、°C.

2、在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境?

东

汽车站

请同学们分小组讨论，交流合作，动手操作

二、合作交流，探究归纳

1、由上面的两个问题，你受到了什么启发？

能用直线上的点来表示有理数吗？

2、自己动手操作，看看可以表示有理数的直线必须满足什么条件？

1）、画数轴需要三个条件，即、方向和长度.

2）数轴：

三、动手操作，学用新知

1、请画好一条数轴

2、利用上面的数轴表示下列有理数

1.5，—2，2，—2.5，

，0.

四、寻找规律，探究新知

1、观察数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？

2、每个数到原点的距离是多少？

由此你又有什么发现？

五、巩固练习

1.在数轴上,表示数-3,2.6,

0,

-1的点中,在原点左边的点有个.

2.写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数:

3、在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A表示的数是（）

A.-5，B.-4C.-3D.-2

4、你觉得数轴上的点表示数的大小与点的位置有关吗?

为什么?

相反数

一、学前准备

1、请把下列四个数分成两类，再说说你这样分的理由：

5，—2，—5，2

2、把上面的四个数画在数轴上，请观察它们表示的点具有的特征是

.换成2.5和—2.5试试，怎么样？

从上面问题可以看出，一般地，如果a是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a的点有两个，即一个表示a，另一个是，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称.

二、探究新知

1、相反数的概念

像2和—2、5和—5、2.5和—2.5这样，只有不同的两个数叫做互为相反数.

2、练习

1）、3.5的相反数是，—

和是互为相反数，的相反数是73.24.

2）、a和互为相反数，也就是说，—a是的相反数

例如a=7时，—a=—7，即7的相反数是—7.a=—5时，—a=—（—5），“—（—5）”读作“－5的相反数”，而—5的相反数是5，所以，—（—5）=5

你发现了吗，在一个数的前面添上一个“—”号，这个数就成了原数的

3）简化符号：

－（＋0.75）=，－（－68）=，－（－0.5）=，－（＋3.8）=.

4）、0的相反数是.

3、数轴上表示相反数的两个点和原点的距离.

三、练习

1.分别写出下列各数的相反数：

2.在数轴上标出2，－4.5，0各数与它们的相反数.

3.填空：

（1）－1.6是______的相反数，______的相反数是－0.2.

4.化简下列各数：

（1）－（－16）；

（2）－（＋20）；（3）＋（＋50）；

5.填空：

（1）如果a＝－13，那么－a＝______；

（2）如果-a＝－5.4，那么a＝______；

（3）如果－x＝－6，那么x＝______；（4）－x＝9，那么x＝______.

绝对值

一、学前准备

问题：

小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线（填相同或不相同），他们行走的距离（即路程远近）

二、合作探究、归纳

1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，—10到原点的距离也是

到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对.

这时我们就说10的绝对值是10，—10的绝对值也是10.

例如，—3.8的绝对值是3.8；17的绝对值是17；—6

的绝对值是

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣

2、练习

1）、式子∣-5.7∣表示的意义是.

2）、—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作.

3）、∣24∣=.∣—3.1∣=，∣—

∣=，∣0∣=.

3、思考、交流、归纳

由绝对值的定义可知：

一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是.

用式子表示就是：

1）、当a是正数（即a>0）时，∣a∣=；

2）、当a是负数（即a<0）时，∣a∣=；

3）、当a=0时，∣a∣=.

在数轴上表示的两个数，右边的数总要左边的数。

（1页）

也就是：

1）、正数0，负数0，正数大于负数.

2）、两个负数，绝对值大的.

三、巩固新知，灵活应用

2、比较下列各对数的大小：

—3和—5；—2.5和—∣—2.25∣

四、练习

1．

；

；

．

2．

；

；

．

3．

；

．

4．______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．

5．一个数的绝对值是

，那么这个数为______．

6．绝对值等于4的数是______．

7、比较大小；0.3—564；—

—

8．绝对值等于其相反数的数一定是…………………………………（）

A．负数B．正数C．负数或零D．正数或零

9．给出下列说法：

①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．

其中正确的有…………………………………………………（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

五、拓展练习（有困难同学可以不做）

1．如果

，则

的取值范围是…………………………（）

A．

＞OB．

≥OC．

≤OD．

＜O

2．

，则

；

，则

．

3．如果

，则

，

．

4．绝对值不大于11.1的整数有……………………………………（）

A．11个B．12个C．22个D．23个

有理数加法

（1）

一、学前准备

1、正有理数及0的加法运算，小学已经学过，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。

例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数。

如果，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球.于是红队的净胜球数为4＋（－2），

蓝队的净胜球数为1＋（－1）。

这里用到正数和负数的加法。

那么，怎样计算4＋（－2）呢

2、一艘潜艇在水下20米，过了一段时间又下潜了15米，现在潜艇在水下米，你是怎么知道的？

能用一个算式表示吗？

.

又该怎样计算呢？

下面我们一起借助数轴来讨论有理数的加法。

二、探究新知

下面的问题请同学们认真思考完成，再与同伴交流交流.

1、问题：

1）一支球队在某场比赛中，上半场进了两个球，下半场进了3了个球，那么它的净胜球是个，列出的算式应该是

2）、若这支球队在某场比赛中，上半场失了两个球，下半场又失了3个球，那么它的净胜球是个，列出的算式应该是

3）、若这支球队在某场比赛中，上半场进了两个球，下半场又失了3个球，那么它的净胜球是个，列出的算式应该是

4）、若这支球队在某场比赛中，上半场没有进球也没有失球，下半场失了3个球，那么它的净胜球是个，列出的算式应该是

2、师生归纳两个有理数相加的几种情况.

3、借助数轴来讨论有理数的加法

1）如果规定向东为正，向西为负，那么一个人向东走4米，再向东走2米，两次共向东走了米，这个问题用算式表示就是：

2）如果规定向东为正，向西为负，那么一个人向西走2米，再向西走4米，两

次共向西走多少米？

很明显，两次共向西走了米.这个问题用算式表示就是：

如图所示：

3）如果向西走2米，再向东走4米，那么两次运动后，这个人从起点向东走了米，写成算式就是这个问题用数轴表示如下图所示：

4）利用数轴，求以下情况时这个人两次运动的结果：

先向东走3米，再向西走5米，这个人从起点向（）走了（）米；

先向东走5米，再向西走5米，这个人从起点向（）走了（）米；

先向西走5米，再向东走5米，这个人从起点向（）走了（）米。

写出这三种情况运动结果的算式

5）如果这个人第一秒向东（或向西）走5米，第二秒原地不动，两秒后这个人

从起点向东（或向西）运动了米。

写成算式就是

你能从以上几个算式中发现有理数加法的运算法则吗？

有理数加法法则

（1）、同号的两数相加，取的符号，并把相加.

（2）．绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的绝对值较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得.

（3）、一个数同0相加，仍得。

应用探究

例1计算（能完成吗，先自己动动手吧！

）

（－3）＋（－9）；

（2）（－4·7）＋3·9.

例2足球循环赛中,红队胜黄队4：

1，黄队胜蓝队1：

0，蓝队胜红队1：

0，计算各队的净胜球数。

解：

每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数。

三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为（+4）+（—2）=+（4—2）=2；

黄队共进2球，失4球，净胜球数为（+2）+（—4）=—（4—2）=（）；

蓝队共进（）球，失（）球，净胜球数为（）=（）。

3、课堂练习：

填空：

（1）（－3）+（－5）=；

（2）3＋（－5）=；

（3）5+（－3）=；（4）7＋（－7）=；

（5）8＋（－1）=；（6）（－8）＋1=；

（7）（－6）+0=；（8）0+（－2）=；

四、作业

1．计算：

（1）（－13）+（－18）；

（2）20＋（－14）；（3）1.7+2.8；（4）2.3+（－3.1）；

（5）（－

）+（－

）；（6）1

+（－1.5）；

（7）（－3.04）+6；（8）

+（－

）.

2．判断题：

（1）两个负数的和一定是负数；

（2）绝对值相等的两个数的和等于零；

（3）若两个有理数相加时的和为负数，这两个有理数一定都是负数；

（4）若两个有理数相加时的和为正数，这两个有理数一定都是正数.

4．当a=－1.6，b=2.4时，求a+b和a+（－b）的值.

5．已知│a│=8，│b│=2.

（1）当a、b同号时，求a+b的值；

（2）当a、b异号时，求a+b的值.

有理数加法

（2）

一、学前准备

1、小学里我们学过的加法运算定律有哪些？

先说说，再用字母表示写在下面：

、

2、计算30+（－20），（－20）+30.

[8+（－5）]+（－4），8+[（－5）]+（－4）].

思考：

观察上面的式子与计算结果，你有什么发现？

二、探究归纳

1、请说说你发现的规律

2、自己换几个数字验证一下，还有上面的规律吗

3、由上可以知道，小学学习的加法交换律、结合律在有理数范围内同样适应，即：

两个数相加，交换加数的位置，和.式子表示为

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和

用式子表示为

想想看，式子中的字母可以是哪些数？

三、定律应用

例1计算：

1）16+（－25）+24+（－35）

2）（—2.48）+（+4.33）+（—7.52）+（—4.33）

例2每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下：

919191.58991.291.388.788.891.891.1

10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?

10袋小麦的总重量是多少千克？

四、练习