人教版八年级上册数学第十四章《整式的乘法与因式分解》备课攻略.docx
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人教版八年级上册数学第十四章《整式的乘法与因式分解》备课攻略
人教版八年级上册数学第十四章《整式的乘法与因式分解》备课攻略
【课程标准解读】
新课程标准在整式这一部分的要求是：
（1）重视用字母表示数的意义，并能够用于表示具体问题中蕴涵的数量关系与规律；
（2）重视一些简单代数式的实际背景或几何意义；（3）明确要求能根据特定问题查找数学公式，并代入具体的值进行计算．对整式的乘法与因式分解这一部分则是：
（1）重视对乘法公式几何背景的了解和公式的推导． 要求降低的方面：
（1）整数指数幂的性质只要求了解，没有要求字母指数幂的运算：
（2）多项式相乘仅指一次式相乘；（3）乘法公式只限两个——平方差公式、完全平方公式：
（4）整式除法只限定多顼式除以单项式．对因式分解要求降低的方面：
（1）没有十字相乘法和分组分解法．
（2）直接用公式不超过两次，并且指数是正整数．
【知识要点解析】
1．幂的运算性质：
am·an＝am＋n（m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【典型例题】（湘西）在下列运算中，计算正确的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.
【解答】根据同底数幂的乘法运算法则知
，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知
，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知
，所以（C）错；故选（D）.
【点评】幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.
【变式训练】（2014山东济南，第3题，3分）下列运算中，结果是
的是
A．
B．
C．
D．
【解析】由同底的幂的运算性质，可知A正确．
【解答】A
【点评】准确把握同底的幂的运算公式。
【变式训练】（2014•浙江杭州，第1题，3分）3a•（﹣2a）2=（ ）
A． ﹣12a3 B． ﹣6a2 C． 12a3 D．6a3
【解析】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．首先利用积的乘方将括号展开，进而利用单项式乘以单项式求出即可．
【解答】3a•（﹣2a）2=3a×4a2=12a3．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算等知识，熟练掌握单项式乘以单项式运算是解题关键．
【变式训练】（齐齐哈尔）已知
，
，则
____________．
【解析】本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则
将指数相加化为幂相乘的形式,再逆用幂的乘方的法则
将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可
【解答】
.
【点评】整式运算公式的转化将是解决问题的关键。
2．
＝amn（m、n为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【典型例题】（2014•江苏盐城,第2题3分）下列运算正确的是（ ）
A． a3•a2=a5 B． a6÷a2=a3 C． （a3）2=a5 D．（3a）3=3a3
【解析】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
分别根据同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可．
【解答】解：
A、原式=a2+3=a5，故本选项正确；
B、原式=a6﹣2=a4，故本选项错误；
C、原式=a6，故本选项错误；
D、原式=9a3，故本选项错误．
故选D．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
【变式训练1】（2015年浙江金华3分）计算
结果正确的是【】
A.
B.
C.
D.
【解析】幂的乘方，牢记公式并灵活运用。
【解答】
.
故选B.
【点评】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则计算作出判断：
【变式训练2】（2014•四川南充，第2题，3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2
【解析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据合并同类项，可判断C；根据完全平方公式，可判断D．
【解答】A、底数不变指数相加，故A正确；B、底数不变指数相乘，故B错误；
C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；
故选：
A．
【点评】本题考查了完全平方公式，和的平方等于平方和加积的二倍．
3．
（n为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
【典型例题】（2014•山东临沂,第4题3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a=3a2 B． （a2b）3=a6b3 C． （am）2=am+2 D．a3•a2=a6
【解析】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分别进行合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法运算，然后选择正确答案．
【解答】解：
A、a+2a=3a，故本选项错误；
B、（a2b）3=a6b3，故本选项正确；
C、（am）2=a2m，故本选项错误；
D、a3•a2=a5，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式训练】（2014•新疆，第3题5分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3=3a5 B． （a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a•a2=a3
【解析】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：
A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；
D、a•a2=a1+2=a3，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键．
4．
＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【典型例题】（2014•娄底2．（3分））下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3=x6 B． （x3）3=x9 C． x2+x2=x4 D．x6÷x3=x2
【解析】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：
底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：
把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：
底数不变，指数相减可得答案．
【解答】解：
A、x2•x3=x5，故原题计算错误；
B、（x3）3=x9，故原题计算正确；
C、x2+x2=2x2，故原题计算错误；
D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；
故选：
B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．
【变式训练1】（2015年深圳）下列说法错误的是（）
A、
B、
C、
D、
【解析】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：
A、a•a=a2，正确，故本选项错误；
B、2a+a=3a，正确，故本选项错误；
C、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确；
D、a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，正确，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
【变式训练2】（2014•黑龙江绥化,第12题3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）2=a6 B． 3a+3b=6ab C． a6÷a3=a2 D．a3﹣a=a2
【解析】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．根据幂的乘方，可判断A，根据合并同类项，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C、D．
【解答】解：
A、底数不变指数相乘，故A正确；
B、不是同类项不能合并，故B错误；
C、底数不变指数相减，故C错误；
D、不是同底数幂的除法，指数不能相减，故D错误；
故选：
A．
【点评】本题考查了幂的运算，根据法则计算是解题关键．
5．零指数幂的概念：
a0＝1（a≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
【典型例题】
（2014年云南省，第2题3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+2x3=5x6B．50=0C．2﹣3=
D．（x3）2=x6
【解析】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；零指数幂；负整数指数幂．根据合并同类项，可判断A，根据非0的0次幂，可判断B，根据负整指数幂，可判断C，根据幂的乘方，可判断D．
【解答】解：
A、系数相加字母部分不变，故A错误；
B、非0的0次幂等于1，故B错误；
C、2
，故C错误；
D、底数不变指数相乘，故D正确；
故选：
D．
【点评】本题考查了幂的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘是解题关键．
6．负指数幂的概念：
a－p＝
（a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．
也可表示为：
（m≠0，n≠0，p为正整数）
【典型例题】（2014•湖南永州,第3题3分）下列运算正确的是（ ）
A． a2•a3=a6 B．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b C．2x2+3x2=5x4 D．（﹣）﹣2=4
【解析】同底数幂的乘法；合并同类项；去括号与添括号；负整数指数幂．根据同底数幂的乘法，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：
A、结果是a5，故本选项错误；
B、结果是﹣2a+2b，故本选项错误；
C、结果是5x2，故本选项错误；
D、结果是4，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则，负整数指数幂的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力．
【变式训练】（2014•湖北荆门,第2题3分）下列运算正确的是（ ）
A．3﹣1=﹣3 B．
=±3 C． （ab2）3=a3b6 D．a6÷a2=a3
【解析】同底数幂的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．运用负整数指数幂的法则运算，开平方的方法，同底数幂的除法以及幂的乘方计算．
【解答】解：
A、3﹣1=≠3a，故A选项错误；
B、
=3≠±3，故B选项错误；
C、（ab2）3=a3b6故C选项正确；
D、a6÷a2=a4≠a3，故D选项错误．
故选：
C．
【点评】此题考查了负整数指数幂的运算，开平方，同底数幂的除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．
【变式训练2】（2015•咸宁）下列运算正确的是（ ）
A． a6÷a2=a3 B．（a+b）2=a2+b2 C．2﹣3=﹣6 D．
=﹣3
【解析】同底数幂的除法；立方根；完全平方公式；负整数指数幂．A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；C、原式利用负整数指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用立方根定义计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：
A、原式=a4，错误；
B、原式=a2+b2+2ab，错误；
C、原式=
，错误；
D、原式=﹣3，正确，
故选D
【点评】此题考查了同底数幂的除法，立方根，完全平方公式，以及负整数指数幂，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
7．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
【典型例题】（贺州）计算：
=．
【解析】本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.
【解答】
＝
＝
.
【点评】
【变式训练】（2014•株洲，第9题，3分）计算：
2m2•m8= 2m10 ．
【解析】单项式乘单项式．先求出结果的系数，再根据同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：
2m2•m8=2m10，
故答案为：
2m10．
【点评】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法的应用，主要考查学生的计算能力
8．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
【典型例题】（山西省）计算：
【解析】运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.
【解答】
=
=
=
.
【变式训练】（宁夏）已知：
，
，化简
的结果是 ．
【解析】本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（
）与
，以便求值.
【解答】
=
=
=
【点评】
9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【典型例题】（2014•连云港，第10题3分）计算：
（2x+1）（x﹣3）= 2x2﹣5x﹣3 ．
【解析】多项式乘多项式．.根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】解：
原式=2x2﹣6x+x﹣3
=2x2﹣5x﹣3．
故答案是：
2x2﹣5x﹣3．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
【变式训练】（2014•湖南衡阳,第21题6分）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，b=﹣2．
【解析】整式的混合运算—化简求值．先利用平方差公式和整式的乘法计算，再合并化简，最后代入求得数值即可．
【解答】解：
原式=a2﹣b2+ab+2b2﹣b2=a2+ab，当a=1，b=﹣2时原式=1+（﹣2）=﹣1．
【点评】此题考查代数式求值，注意先利用整式的乘法化简，再代入求得数值．
10．单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
【典型例题】（2014年湖北黄石）（2014•湖北黄石,第3题3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3x2y•5x2y=2x2yB．﹣2x2y3•2x3y=﹣2x5y4
C．35x3y2÷5x2y=7xyD．（﹣2x﹣y）（2x+y）=4x2﹣y2
【解析】整式的除法；单项式乘单项式；平方差公式．A、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．
【解答】解：
A、﹣3x2y•5x2y=﹣15x4y2，故选项错误；
B、﹣2x2y3•2x3y=﹣4x5y4，故选项错误；
C、35x3y2÷5x2y=7xy，故选项正确；
D、（﹣2x﹣y）（2x+y）=﹣（2x+y）2=﹣4x2﹣4xy﹣y2，故选项错误．
故选C．
【点评】此题考查了整式的除法，单项式乘除单项式，以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】（2014•湖南衡阳,第6题3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x2+x3=x5B．x3•x2=x6C．x5÷x=x5D．x3•（3x）2=9x5
【解析】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘单项式．.根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据单项式乘单项式，可判断D．
【解答】解：
A、指数不能相加，故A错误；
B、底数不变指数相加，故B错误；
C、底数不变指数相减，故C错误；
D、x3（3x）2=9x5，故D正确；
故选：
D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
11．多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【典型例题】（厦门）计算：
[（2x－y）（2x＋y）＋y（y－6x）]÷2x
【解析】本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.
【解答】[（2x－y）（2x＋y）＋y（y－6x）]÷2x＝（4x2－y2＋y2－6xy）÷2x＝（4x2－6xy）÷2x＝2x－3y.
【变式训练】先化简，再求值：
，其中
，x＝－4．
【解析】本题主要考查多项式除以单项式的有关计算．先进行多项式除以单项式的运算，然后求代数式的值．
【解答】解：
＝
＝
．
当a＝
，x＝－4时，
原式＝
＝
．
【点评】按照除法法则进行运算，注意符号变化。
12．乘法公式：
①平方差公式：
（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：
两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：
两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．
【典型例题】（2014•四川巴中，第13题3分）分解因式：
3a2﹣27= ．
【解析】因式分解．应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】3a2﹣27=3（a2﹣9）=3（a2﹣32）=3（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式分解因式，需要进行二次分解因式，分解因式。
【变式训练】（2014•遵义8．（3分））若a+b=2
，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A． 6 B． 4 C． 3
D．2
【解析】完全平方公式．利用a2+b2=（a+b）2﹣2ab代入数值求解．
【解答】解：
a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8﹣4=4，
故选：
B．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方公式，灵活运用它的变化式．
【变式训练】
（2014•湖南怀化，第10题，3分）分解因式：
2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2） ．
【解析】提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：
2x2﹣8
=2（x2﹣4）
=2（x+2）（x﹣2）．
故答案为：
2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．因式分解（难点）
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
【典型例题１】
（1）（本溪市）分解因式：
．
（2）（锦州市）分解因式：
a2b-2ab2+b3=____________________.
【解析】因式分解的一般步骤是：
若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.
【解答】
（1）
x（y2-9）=
．
（2）a2b-2ab2+b3=b（a2-2ab+b2）=b（a-b）2．
【点评】分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
【典型例题２】
（2014•山东威海，第3题3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）
A．x2﹣1 B． x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
【解析】因式分解－提公因式法；因式分解－运用公式法．分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案
【解答】解：
A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故此选项错误；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故此选项错误；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项符合题意．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
【变式训练】（2014•湖南怀化，第3题，3分）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x﹣6）（x+2） B．a（x﹣3）（x+4）
C．a（x2﹣4x﹣12） D．a（x+6）（x﹣2）
【解析】因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法，首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：
ax2﹣4ax﹣12a
=a（x2﹣4x﹣12）
=a（x﹣6）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．
【热点专题解析】
一、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（4）注意点：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式：
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
易错点：
用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；分解因式不彻底。
【典型例题】（2014•常德，第7题3分）下面分解因式正确的是（ ）
A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x
C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2
【解析】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．.直接利用因式分解法的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
【解答】解：
A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故此选项错误；
B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故此选项错误；
C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故此选项正确；
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